Инвариантное множество

Слово бифуркация означает раздвоение и употребляется как название любого скачкообразного изменения, происходящего при плавном изменении параметров в любой системе динамической, экологической и т. д. Наш обзор посвящен бифуркациям фазовых портретов дифференциальных уравнений — не только бифуркациям положений равновесия и предельных циклов, но перестройкам системы в целом и, прежде всего, ее инвариантных множеств и аттракторов. Такая постановка проблемы восходит к А. А. Андронову. [c.9]

Требования общности положения на семейство — те же, что в п. 3.2. Механизм возникновения инвариантного множества при р = 2 иллюстрируется примером п. 3.2. [c.114]

Бифуркации, названные в заглавии, приводят к возникновению инвариантных торов и бутылок Клейна, к рождению сложных инвариантных множеств со счетным числом циклов и странных аттракторов. Некоторые случаи изучены не полностью в п. 4.11 формулируются открытые вопросы. В конце параграфа рассматривается структурная устойчивость однопараметрических семейств диффеоморфизмов. [c.115]

Рождение сложных инвариантных множеств (некритический случай). [c.117]

Репеллер — инвариантное множество динамической системы, превращающееся в аттрактор при обращении времени. [c.117]

Все поля семейства, соответствующие значениям параметра по одну сторону от нуля и достаточно близким к нулю, имеют инвариантные множества Q . [c.118]

Теорема. Пусть в теореме пункта 5.2 оба условия 1 и 2 нарушены, то есть при 0<О (о>0) ведущее неустойчивое (соответственно, устойчивое) направление комплексно (и двумерно). Тогда все векторные поля семейства достаточно близкие к критическому, имеют гиперболические инвариантные множества преобразование монодромии поля имеет при е=5 0 конечное число подков Смейла, неограниченно растущее при стремлении е к нулю и равное бесконечности для поля Vo. Каждое из полей при достаточно малом е имеет счетное множество гиперболических предельных циклов, устойчивые многообразия которых имеют такую же размерность, как устойчивое многообразие гиперболического седла. [c.137]

Системы Аносова демонстрируют простейший, идеальный тип гиперболич. поведения и редко встречаются в приложениях. Гораздо чаще условия гиперболичности выполняются лишь для траекторий, заполняющих нек-рое инвариантное множество, не совпадающее со всем фазовым пространством. При этом, в зависимости от того, существуют ли точки нейтрального типа и равномерна ли экспоненциальная скорость сближения траекторий в определении гиперболичности, различают полную и частичную, а также равномерную и неравномерную гиперболичности (здесь возможны любые комбинации). Полная и частичная гиперболичности выражаются в терминах характеристич. показателей грубо говоря, первое свойство — это отсутствие нулевых, а второе—наличие ненулевых показателей. [c.632]

Приём, близкий к термодинамич. предельному переходу, используется при изучении фрактальной структуры (см. Фракталы) инвариантных множеств ДС и в нек-рых др. задачах. Весь этот круг идей получил название термодинамического формализма. [c.636]

Адекватным математическим образом временного порядка и хаоса стали аттракторы, т. е. устойчивые состояния равновесия, устойчивые периодические движения или автоколебания и, наконец, странные аттракторы. Адекватным математическим образом пространственного порядка и хаоса в двойственном представлении распределенной динамической системы оказались седловые состояния равновесия, седловые периодические движения и более сложные седловые инвариантные множества. [c.41]

Отображение Т взаимно однозначное, но на инвариантном множестве I отображение переменной ф не взаимно однозначное. В приведенном примере отображение Т трехмерное. Его легко обобщить на случай большей размерности, но построить аналогичные примеры с сохранением взаимной однозначности для меньшей размерности нельзя. [c.48]

Смейла, но с той существенной разницей, что области и Сз примыкают к границам области а О1 и О2 — устойчивые неподвижные точки вспомогательного отображения Т. Отсюда непосредственно следует состав инвариантного множества /. Осталось сказать, что в данном случае это седловое инвариантное множество / и есть сечение странного аттрактора уравнений Лоренца. Его особенностью является то, что его инвариантное множество 5 содержится в /. Вдоль своего инвариантного множества й " оно притягивает к себе соседние фазовые точки. [c.144]

В заключение укажем пример точечного отображения кольца в кольцо, изображенного ла рис. 6.21, с нетривиальным инвариантным множеством Л На этом же рис. 6.21 изображен граф допустимых последовательностей отображений. Отображение Т, изображенное па рис. 6.21, преобразует область С, в область 1. [c.146]

При пересечениях и при касаниях или случаях, близких к касанию, но без пересечений, может возникнуть сложное седловое инвариантное множество. Возникновение такого сложного инвариантного множества имеет место при пересечениях и в двух остальных случаях, если седловая величина Ху < 1. Общая роль седловой величины будет выяснена в дальнейшем. [c.156]

При наличии сложного инвариантного множества, если бы фазовая точка могла оставаться в его малой окрестности, или, еще лучше, к нему асимптотически приближаться, появляется новая возможность хаотического изменения разности фаз и, в соответствии с этим, амплитуды колебаний. Такой синхронизм естественно назвать стохастическим синхронизмом. Стохастичность его проявляется на фазовом портрете отображения в медленном хаотическом блуждании фазовой точки в окрестности точек О1, О2,. .., Ор и кривых 8 и (рис. 6.41). [c.157]

Теорема 1.3. Ограниченное замкнутое инвариантное множество содержит минимальное множество. [c.14]

Ф М и замкнуто и инвариантно. Если Ж, не содержит в качестве правильной части замкнутого инвариантного множества, то оно минимально. Пусть существует замкнутое инвариантное множество Жз с Ж, и М2Ф и т. д. Продолжим этот процесс если на конечном шаге не появится минимального множества, то существует последовательность замкнутых инвариантных множеств [c.14]

Если Жщ не является минимальным, то выберем замкнутое инвариантное множество с т<= Ж ) и т. д. [c.15]

Определение 2.4. Инвариантное множество М называется устойчивым, если по любому е > О можно указать 8 > О такое, что если р(А о, < 8, то р(Х(t, Хд, tg), Ж )<е при всех Ь 0- [c.36]

Определение 2.5. Инвариантное множество Ж называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и если существует такое 8, что из соотношения р(А о, ЖiJ < 8 следует соотношение [c.36]

Определение 2.6. Инвариантное множество Ж называется устойчивым в целом, если оно устойчиво и для всякого решения системы (2.1) выполняется соотношение (2.31). [c.36]

Из определения 7 следует, что Г У = 7. Так же, как и при доказательстве инвариантности множества I диссипативной системы (см. 2, п. 3), устанавливается, что множество У инвариантно относительно преобразования Г, т. е. [c.255]

А в фазовом пространстве М, сохраняющийся в соответствии с Лиуеилля теоремой. Согласно П. т., через любую окрестность V любой точки х — [pi, ), принадлежащей инвариантному множеству конечной положительной меры аз М, проходит траектория, к-рая возвращается в 1/, П. т. доказана А. Пуанкаре в 1890. [c.174]

Т. о., эргодич. теоремы позволяют говорить о предельных временных средних или о временнь1х средних пй бесконечному отрезку времени. Существование последних — признак нек-рой регулярности в поведении траектории ДС, но эта регулярность связана с усреднением, а потому носит лишь статистич. характер. Что касается предельного временного среднего, то его можно охарактеризовать в гсом. терминах, не прибс1 ая к помощи усреднения. Здесь ключевую роль играет понятие инвариантной функции. Так называются ф-пии, постоянные вдоль траекторий почти всех точек фазового пространства. Множества, индикаторы к-рых инвариантны, наз. инвариантными множествами. В пространстве инвариантные ф-ции образуют линейное подпространство, и предельное временное среднее / любой ф-ции feL совпадает с её ортогональной проекцией на это подпространство. Аналогичным образом можно охарактеризовать / ив том случае, когда / имеет лишь интегрируемый модуль, т, е. принадлежит пространству L . [c.627]

График отображения (1.2) показан на рис. 2.6. Это отображение (1.2) растягивающее всякий малый отрезок длины А 5 оно преобразует ]в отрезок длины 2Аг1). Последовательные преобразования 1]), ф, г1),. .. образуют периодическую последовательность, если 1]) = 2яА /(2 — 1), где к и и —целые числа. Таких значений ф счетное множество и их лебегова мера равна нулю. Последовательность 1]), 1]), ф,. .. с значением ф, не принадлежащим этому множеству, всюду плотно покрывает окружность О ф < 2я. Таким образом, отображение Т на инвариантном множестве / экспоненциально неустойчивое, растягивающее, и последовательные преобразования любой его точки в общем случае всюду плотно [c.47]

Временной хаос имеет своим адекватньш геометрическим образом странный аттрактор, пространственный хаос—согласованное седловое (гиперболическое) инвариантное множество. Здесь, по-видимому, необходимо дальнейшее уточнение. [c.92]

В частности, есть седловая замкнутая фазовая траектория, обходящая Г т > т раз и затем замыкающаяся вдоль у. Есть замкнутая седловая кривая, обходящая вдоль Г тч > т раз, затем проходящая вдоль у, после чего снова идущая вдоль Г Шг > т раза, и, наконец, замыкающаяся вдоль у и т. д. Более того, для любой бесконечной последовательности чисел вида (2.1) сущест-нует единственная фазовая траектория, проходящая вдоль Г именно указанное число раз и одновременно проходящая вдоль у. Все эти фазовые траектории вместе образуют седловое континуальное инвариантное множество /. Все это континуальное множество / помещается в окрестности кривых Г и При увеличении т эти фазовые кривые размещаются все в меньшей и меньшей окрестности б фазовых кривых Г и у- Через каждую из фазовых кривых у из множества / проходит два инва- [c.139]

Вспомогательное отображение Г, трехзначпо. Каждая его однозначная ветвь определена в области и преобразует ее впутрь области Си лежащей внутри 5 1. Из этого следует существование сложного инвариантного множества I. [c.146]

Из предыдущего ясно, что в окрестности неподвижных точек Ои Ог,. .., Ор и их инвариантных кривых в случае точечного отображения могут существовать сложные седловые инвариантные множества. В случае дифференциальных уравнепий аналогом такого множества могут быть только совпадающие попарно кривые 5+ и 8 . При разрушении этого слияния могут возникнуть либо внутри петель, либо вне их устойчивые периодические движения. Такой же фазовый портрет для точечного отображения на секущей поверхности отвечал бы появлению тороидальных интегральных многообразий у исходной системы, в которой взята эта секущая. Вносит ли что-нибудь новое в эту картину возможность возникновения сложного седлового инвариантного множества Оказывается, вносит. Чтобы придать конкретный смысд этому различию, будем рассматривать переменные на секущей плоскости как разность фаз с неким внешним периодическим воздействием и результирующую амплитуду колебаний, возникающих в результате зтого внешнего воздействия. При этом переход к дифференциальному уравнению можно трактовать, например, как результат использования метода усреднения. Если речь идет о фазовом портрете дифференциального уравнения, то возможные общие случаи — это либо синхронизм фаз и постоянство амплитуды (устойчивые состояпия равновесия), либо периодическое изменение разности фаз и величины амплитуды. [c.157]

Все рассмотренные выше ситуации допускают непосредственные многомерные обобщения. Их рассмотрение мало чем отличается от приведенного, но, конечно, теряет в наглядности. Отметим, что принимаемые при этих рассмотрениях упрощенные записи некоторых отображений пе снижают их общности, поскольку основываются на свойствах вспомогательных отображений, не нарушаемых пренебрегаемыми нелинейными членами. Вместе с тем, следует иметь в виду, что существуют ситуации, приводящие к сложным седловым инвариантным множествам, которые могут быть реализованы только при размерности точечного отображения, большей двух. Одна из таких сутуаций была описана в гл. 2. Заметим, что если не требовать взаимной однозначности преобразования, то она реализуема даже при размерности единица. При исследовании этой ситуации также мончет быть применен переход от негатива к позитиву. [c.157]

В предыдущей главе были рассмотрены простейшие тпповыв ситуации, приводящие к существованию сложных нетривиальных сеДловых инвариантных множеств /. Если такое сложное инвариаптное множество / еще и притягивающее, то оно — странный аттрактор, обладающий свойством локальной неустойчивости, по устойчивый в целом. Наряду с таким статическим изучением сложных седловых множеств / представляют интерес и исследования, выясняющие, как они возникают в динамике — при изменении параметров. Сочетание статического и динамического подходов позволяет не только полнее исследовать стохастические и хаотические движешя, но во многих случаях облегчает их обнаружение и изучение. [c.162]

При исех t. Из определения инвариантного множества следует, что ипнариантное множество состоит из целых траекторий и, обратно, множество, состоящее из целых траек-Ти 111Й, ИНЙЙрИЙНГИО. [c.11]

Осталось доказать, что множество Ф(р, /(,)= мини М11Л1.Н0. Допустим, напротив, что это ие так, тогда суще стпуст замкнутое инвариантное множество М, представляю щсе собой правильную часть И. Тогда р не входит в М ибо в противном случае оказалось бы, что М = Ф(р. /о) = 2 Так как М ограничено и замкнуто, то р(А1, р) = >0 [c.18]

Отметим, что определение устойчивости инвариантных множеств динамических систем было дано Барбашиным [12]. [c.36]

Выделенные ""частичные положения равновесия (называемые также " равновесным движением") как бы ""безразличны" в отношении оставшейся части переменных. При условии единственности решений исходной системы эти положения равновесия являются инвариантными множествами систем и, фактически, имеем дело с задачей устойчивости множеств. В случае асимптотической устойчивости таких множеств они являются достаточно нетривиальными аттракторами исходной системы [Мирошник и др., 2000]. [c.12]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...