Принцип Якоби

Следствие 8.12.4. Принцип Якоби позволяет свести задачу об определении траектории движения изображающей точки к экстремальной задаче в пространстве конфигураций с римановой метрикой. В области Г + / > 0 конфигурационного пространства зададим риманову метрику формулой [c.620]

Доказательство. Функционал принципа Якоби принимает вид [c.620]

Согласно принципу Якоби (следствие 8.12.3) действительная траектория между точкой Ро и точкой Р1 доставляет экстремум функционалу [c.621]

Сформулировать принцип Якоби. [c.625]

В рассматриваемом случае функция Я не зависит явно от времени. Поэтому справедлив принцип Якоби (следствие 8.12.3). Вычислим действие по Мопертюи для фазовой кривой, соответствующей постоянной энергии О- [c.690]

Пусть конечные положения системы Ро и P заданы наперед. Для действительной траектории при рассматриваемых силах п связях имеет место принцип Якоби [c.228]

Принцип Якоби, наоборот, выражает свойство движения, не зависящее от времени. Якоби рассматривает интеграл [c.226]

Принцип Якоби. — Приведем здесь доказательство, уже данное в а° 432, несколько его уточняя. Выразим Т я и в функции от и от обобщенных координат 9J, q2,. .., независимых между собой. Рассмотрим вдоль траектории эти координаты и t как функции параметра X, приписывая ему значения Хр и в крайних положениях (Ро) и (Р]) системы. Мы могли бы, в частности, выбрать в качестве X одну из координат д. Обозначим через (Г) ту величину, в которую обращается Г, когда мы заменим производные д по t производными (д ) по X (п°432). [c.322]

Принцип Якоби может быть теперь сформулирован следующим образом [c.322]

Замечание. — Определение траекторий при помощи принципа Якоби сводится к чисто геометрической задаче нахождения экстремума интеграла (2), представляющей собой задачу на определение геодезических линий. "Время при этом исключается из рассмотрения, и мы имеем экстремальную задачу, если оставить в стороне механическую интерпретацию интеграла (2). Некоторые авторы сохраняют за этим интегралом название действия вдоль траектории. Следует, однако, заметить, что рассматриваемый интеграл представляет собой действие в механическом смысле лишь при условии, что вводится гипотеза, согласно которой при движении материальной системы ее энергия Т — 7 остается постоянной. [c.324]

Принцип Якоби показывает, что если связи и силовая функция не зависят от времени, то и определение траектории выполняется независимо от времени. Это свойство, не представляющееся очевидным в уравнениях Лагранжа, обнаруживается при первом взгляде, когда уравнения написаны в канонической форме. Из канонических уравнений видно также, что если траектория известна, то t определяется квадратурой (п° 450), [c.324]

Число подобных вариационных принципов классической механики весьма велико. Так, например, из принципа наименьшего действия непосредственно вытекает принцип Герца наименьшей кривизны. Согласно этому принципу точка, на которую не действуют активные силы, движется вдоль траектории наименьшей кривизны, что можно получить непосредственно из принципа Якоби, так как согласно этому принципу траекторией такой точки должна быть геодезическая линия, являющаяся, как известно, линией наименьшей кривизны. [c.260]

При изложении вариационных принципов мы не будем придерживаться исторической последовательности, а начнем с принципа Гамильтона , который является наиболее прямым и наиболее естественным преобразованием принципа Даламбера в минимальный принцип. Из него при некоторых ограничениях мы сможем получить более старые формы принципа, применявшиеся Эйлером и Лагран-жем, а также принцип Якоби. [c.136]

Время как циклическая переменная принцип Якоби 159 [c.159]

Время как циклическая переменная принцип Якоби принцип наименьшего действия. Рассмотрим склерономную или консервативную систему с функцией Лагранжа, не зависящей явно от времени. Представим себе, что мы не используем время t как независимую переменную и что все п + 1 переменных q , и заданы как функции некото- [c.159]

Принцип минимизации, примененный к интегралу (5.6.12) с целью нахождения пути механической системы, называется принципом Якоби . Время не входит в его формулировку. Он определяет траекторию С-точки в пространстве конфигураций, а не движение во времени. Однако это последнее легко найти путем интегрирования уравнения [c.162]

Принцип Якоби является фундаментальным принципом механики. Если ограничиться случаем одной частицы, то линейный элемент ds совпадает с линейным элементом обычного трехмерного пространства в произвольных криволинейных координатах. Принцип Якоби в этом случае оказывается механическим аналогом принципа Ферма наименьшего времени в оптике, согласно которому оптический путь светового луча определяется минимизацией интеграла [c.162]

Якоби раскритиковал рассуждения Лагранжа, касающиеся принципа наименьшего действия , указав на важность того обстоятельства, что варьирование происходит при определенных граничных значениях последнее невозможно, если в качестве аргумента выбрано время. В этом случае верхний предел интеграла действия должен варьироваться определенным образом с тем, чтобы обеспечить сохранение энергии вдоль истинного и варьированного путей. Тем не менее если соответствующим образом понять формулировку принципа наименьшего действия, данную Эйлером и Лагранжем, то окажется, что их выкладки совершенно правильны, а их принцип отличается от принципа Якоби лишь формально. Как мы видели, принцип Якоби представляет собой результат следующих операций. [c.163]

В качестве действия Эйлер и Лагранж использовали тот же самый интеграл, который является основой принципа Якоби — разница заключалась только в параметре т. Более того, Эйлер и Лагранж использовали соотношение (5.6.15) в качестве дополнительного условия, что эквивалентно исключению Г из этого выражения. Как известно, дополнительные условия можно учитывать либо путем исключения переменных, либо при помощи метода неопределенных множителей, Первый способ соответствует методу Якоби, а второй — методу Лагранжа. При этом второй способ приводит к появлению новой формы интеграла действия [c.164]

Принцип Якоби и риманова геометрия 165 [c.165]

Резюме. При параметрическом задании движения время является дополнительной координатой, которая может принять участие в процессе варьирования. Импульс, соответствующий временной координате, является полной энергией, взятой с обратным знаком. Для склерономных систем время становится циклической координатой, а соответствующий импульс — константой. Это приводит к теореме сохранения энергии для консервативных систем. Исключение времени как циклической координаты позволяет сформулировать новый принцип, определяющий лишь путь механической системы, а не ее движение во времени. Это — принцип Якоби, аналогичный принципу Ферма в оптике. Этот же принцип может быть сформулирован как принцип наименьшего действия . В последнем случае интеграл по времени от удвоенной кинетической энергии минимизируется с дополнительным условием, что при движении и вдоль истинного, и вдоль проварьированного пути должна выполняться теорема о сохранении энергии. Если этот принцип рассматривать с помощью метода неопределенных множителей, то в качестве результирующих уравнений получаются уравнения движения Лагранжа. [c.165]

Принцип Якоби и риманова геометрия. Как было выяснено в гл. I, п. 5, геометрическая структура простран- [c.165]

Принцип Якоби наглядно поясняет внутренние соотношения, существующие между движением консервативной голономной системы и геометрией пространств, обладающих кривизной. Введем в дополнение к линейному элементу ds пространства конфигураций еще один риманов линейный элемент da, определяемый равенством [c.166]

Согласно (5.6.12), принцип Якоби требует минимизации определенного интеграла [c.166]

Отметим тесную связь между этим геодезическим принципом и динамическим принципом теории Эйнштейна. Там также задача о движении эквивалентна нахождению геодезической линии риманова пространства. Это риманово пространство имеет четыре измерения, так как пространство и время вместе образуют единый четырехмерный континуум. Из закона инерции получается решение задачи о движении планет без введения каких бы то ни было сил гравитации. Принцип Якоби применим в релятивистской механике частицы. Единственная разница заключается в том, что риманова структура четырехмерного континуума является внутренним свойством вселенной, а не следствием наличия кинематических связей. [c.167]

Задача I. Пусть дан интеграл действия из принципа Якоби A=j /2 d.. [c.219]

Как было установлено в задаче 1 настоящего пункта, дополнительное условие принципа Якоби принимает вид [c.222]

Это есть принцип Якоби, хотя и без обычного квадратного корня. Траектории, получаемые из интеграла (6.10.29), тем не менее те же самые, что и из принципа Якоби. Разница заключается лишь в выборе независимой переменной т. В обычной формулировке принципа Якоби т — произвольный параметр в принципе же (6.10.29) т выбрано определенным образом. [c.223]

А это ие что иное, как принцип Якоби (см. гл. V, п. 6), который снова оказался эквивалентным принципу наименьшего действия. Параллелизм между механическими и оптическими явлениями можно усмотреть уже из сравнения принципа Якоби с принципом Ферма, Принцип Якоби допускает оптическую интерпретацию, если консервативной механической системе поставить в соответствие оптическую среду с коэффициентом преломления, меняющимся пропорционально Ye— V. Эта аналогия может быть использована обеими науками. С одной стороны, канонические уравнения Гамиль-тона становятся применимыми в оптических задачах. С другой стороны, из оптики в область механики могут быть перенесены методы построения волновых фронтов Гюйгенса, [c.311]

Эту же задачу можно решить методом Гамильтона. Для этого используем наш прежний результат, связанный с принципом Якоби (см. гл. 6, п. 10). Формально принцип эквивалентен принципу действия (9.7.4), следует лишь заменить Y2( — У) на m + V/с . Отсюда получаем функцию Лагранжа в каноническом виде [c.365]

Этот принцип сходен с принципом Якоби (5.6.12), если только в последнем опустить член с потенциальной энергией V. Кроме того, ds —это уже не линейный элемент трехмерного пространства, а элемент (9.3.8) четырехмерного пространства. Минковского. Предположим, что с помощью некоторого точечного преобразования мы переходим от прямоугольных к произвольным криволинейным координатам. Тогда тот же самый линейный элемент ds примет форму (1.5.16), с суммированием от 1 до 4 13 [c.371]

N измерений. В этом пространстве принцип Гаусса может быть сформулирован как принцип прямейшего пути . Такая интерпретация устанавливает тесную связь между принципом Гаусса и принципом Якоби. [c.393]

Следствие 8.12.3. (Принцип Якоби). Пусть система с го-лономными связями находится под действием потенциальных в обычном смысле) сил, а связи не зависят явно от времени. Тогда функцгюнал принципа Мопертюи-Лагранжа-Якоби представляется в форме [c.619]

В принципе Якоби время t и дуга 8 связаны дифференциальным ode [c.619]

Докажем теперь, что условие 1° выполняется и для принципа Якоби. В принципе Якоби при времени, измеряемом по искомой траектории, от скоростей gs зависит лишь множитель 2Т qi, q ). Разложение ]/ 2Т q , q i +е)в ряд по 8,- осуществляется разложением по параметру и выражения2T qi, q + г ) после чего принимается м = 1. Пусть [c.230]

Чтобы вывести принцип Якоби, достаточно повторить до-казательство, уже данное в п° 432, т. е. показать, что исключение времени из уравнений Лагранжа [c.323]

Первым, кто обратил внимание на существование связи между динамикой и геометрией искривленных пространств, был Якоби (1845) (ср. гл. V, пункт Принцип Якоби ). Более поздние исследования связаны с именами Липке, Бервальда и Франка, Эйзенхарта и других. Наиболее исчерпывающее исследование этого вопроса, основанное на последовательном использовании тензорного исчисления, произведено Дж. Л. Сингом в работе Тензорные методы в динамике , ИЛ, М., 1947. [c.39]

Аналогия между принципом Якоби, с одной стороны, и принципом Ферма — с другой, касается лишь пути, описываемого движущейся точкой в механике и лучом света в оптике. Протекание процесса во времени в механическом и в оптическом случаях совершенно различно (см. гл. VIII, п. 7). [c.163]

Резюме. Принцип Якоби связывает движение голо-номных консервативных систем и риманову геометрию. В частности, если система движется под действием собственной инерции в отсутствии приложенных сил, то изображающая эту систему С-точка описывает геодезическую (кратчайшую) линию в пространстве конфигураций, которое является п-мерным римановым пространством. Из теоремы о сохранении энергии следует к тому же, что движение происходит с ио-стояннной скоростью. Все это является естественным обобщением обычного закона инерции, который утверждает, что при наличии лишь собственной инерции частица движется по прямой линии с постоянной скоростью. [c.168]

Резюме. Механические траектории консервативных систем могут быть получены из частного решения уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби с помощью построения ортогональных траекторий к поверхностям S = onst. Это построение аналогично построению волнового фронта и световых лучей в геометрической оптике. Поверхности равного времени в оптике соответствуют поверхностям равного действия в механике, а принцип наименьшего времени Ферма — принципу наименьшего действия или принципу Якоби. И оптические и механические явления могут быть описаны как с помощью волн, так и с помощью частиц. При описании с помощью волн мы оперируем с бесконечным семейством поверхностей, которое определяется уравнением в частных производных Гамильтона. При описании же с помощью частиц мы оперируем с ортогональными траекториями к этим поверхностям, и они определяются принципами. Ферма и Якоби. Аналогия распространяется только на траектории механических частиц, не касаясь того, как движение происходит во времени. Кроме того, ири этой аналогии среди всех возможных механических траекторий выделяются те, по которым движение начинается перпендикулярно к заданной поверхности. [c.314]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...