Классические интегралы

Эти три интеграла называют классическими интегралами. Выведем их. [c.456]

Вторым классическим интегралом является интеграл анергии. При идеальной связи этот интеграл можно представить в его общем виде [c.457]

Кроме трех классических интегралов интеграла сохранения кинетического момента относительно оси Oz, интеграла энергии и тривиального интеграла (III. 17), легко найти четвертый интеграл уравнений движения. [c.428]

Кроме того, поскольку статистическая сумма берется по различным состояниям и квантовые частицы неразличимы, а в классическом интеграле, взятом по всему фазовому пространству, каждому квантовому состоянию соответствует Л разных фазовых точек, то для соответствия статистической суммы в классическом пределе статистическому интегралу последний надо разделить на iV . [c.222]

Случай Ковалевской. В п. 24 уже говорилось, что интегрирование уравнений (34 ), (35 ) движения тяжелого твердого тела, закрепленного в одной своей точке, приводится к квадратурам всякий раз, когда удается определить еще один интеграл, кроме классических интегралов живых сил и момента количеств движения. [c.165]

О задаче трех и более тел. Задача п тел (п 2) состоит в следующем. В пустоте находятся п материальных точек, взаимодействующих по закону всемирного тяготения Ньютона. Заданы начальные положения и скорости точек. Требуется найти положения всех точек как функции времени. Эта задача не решена до сих пор. Более того, показано, что даже в случае трех тел помимо классических интегралов, существование которых следует из общих теорем об изменении количества движения, кинетического момента и кинетической энергии, дифференциальные уравнения движения не имеют других интегралов, которые выражались бы через алгебраические или через однозначные трансцендентные функции координат и скоростей точек. [c.244]

Существует десять классических интегралов уравнений Лагранжа и соответственно десять классических интегралов уравнений Гамильтона. Шесть из них выражают то, что центр масс G движется равномерно и прямолинейно [c.574]

Последним классическим интегралом является интеграл энергии [c.574]

Десять интегралов (29.1.18) уравнений Гамильтона независимы между собой и представляют алгебраические соотношения между координатами, импульсами и временем. Возникает вопрос не существует ли других алгебраических интегралов, не зависящих от уже найденных Ответ на этот вопрос дается замечательной теоремой, доказанной Брунсом в 1887 г. Оказывается, что новых алгебраических интегралов не существует любой алгебраический интеграл уравнений Гамильтона для задачи трех тел представляет комбинацию десяти классических интегралов. [c.575]

Как известно, дифференциальные уравнения задачи п тел допускают десять классических интегралов шесть интегралов количества движения, три интеграла площадей и один интеграл энергии, которые соответствуют законам сохранения количества движения, кинетического момента и механической энергии системы. Эти интегралы обладают тем свойством, что они алгебраически содержат координаты и скорости точек. На вопрос, существуют ли другие подобные интегралы, отвечает теорема Брунса [c.108]

Каждый интеграл задачи трех тел, содержащий их координаты и скорости алгебраически, является алгебраической комбинацией классических интегралов . [c.108]

Эти решения имеют прозрачный механический смысл они совпадают с неустойчивыми стационарными вращениями твердого тела вокруг средней оси инерции в противоположных направлениях. Из неравенства (т, 7) (т,т)(7,7) и независимости классических интегралов на вытекает, что > 0. [c.269]

Т. е. десять классических интегралов механики. [c.111]

Правые части этих уравнений обращаются в нули, если выполняются условия (8.6), и тогда интегрирование равенств (8.8 ) дает три следующих интеграла, вполне тождественных с классическими интегралами площадей [c.342]

При произвольно заданных телах и законах действующих сил уравнения движения системы (9.8) — (9.10) не допускают каких-либо первых интегралов. Однако в некоторых случаях эта система уравнений, так же как и система уравнений движения системы материальных точек, может иметь первые интегралы, аналогичные классическим интегралам задачи многих тел, элементарные частицы которых взаимно притягиваются по закону Ньютона, что было показано нами в первой нашей книге. [c.408]

Выведем эти десять первых интегралов, называемых обычно классическими интегралами задачи многих тел. [c.333]

Остается получить последний из классических интегралов уравнений (7.1). Умножим для этого уравнения (7.1 ) соответственно на I/, Т1г> сложим и просуммируем по I от нуля до п. Мы получим следующее уравнение, являющееся следствием уравнений (7.1) [c.338]

Весьма существенным является также то обстоятельство, что левые части всех десяти классических интегралов суть простые алгебраические фуикции от координат и их первых производных по времени. [c.340]

Уравнения (7,38 ) имеют, разумеется, те же классические интегралы, как и уравнения (7.1), но эти интегралы нужно пре образовать к новым переменным при помощи формул (7.38). [c.364]

Классические интегралы системы (7.49") получатся из интегралов (7.8 ), (7.10) и (7.11) простым переходом к новым [c.375]

Переходим теперь к выводу классических интегралов системы уравнений поступательно-вращательного движения (8.7) Для этого просуммируем по индексу I каждое из равенств группы уравнений (8.6), что дает следующие три уравнения, являющиеся следствиями уравнений (8.6), а также уравнений (8.7) [c.389]

Десять классических интегралов (8.11), (8.13) и (8.14) уравнений поступательно-вращательного движения -fl тел в абсолютной системе координат позволяют, конечно, понизить порядок системы (8.7) на десять единиц. [c.395]

НЫХ расстояний) мы, по существу, заменяем в уравнениях (8.6) полную силовую функцию функцией и°, а в уравнениях (8.6 ) — функцией Тогда уравнения (8.6) превращаются в уравнения (8-28) и имеют все десять классических интегралов. [c.409]

Эта задача не решена до сих пор. Более того, показано, что даже в случае трех тел помимо классических интегралов, существование которых следует из общих теорем об изменении количества движения, кинетического момента и кинетической энергии, дифферепци-альиые уравнения движения не имеют других интегралов, которые выражались бы через алгебраические или через однозначные транс-цепдентные функции координат и скоростей точек. [c.205]

Алгебраические первые интегралы. Случай Гесса. В случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской последний из первых интегралов, приводящий к интегрированию посредством квадратур уравнений движения тяжелого твердого тела с одной закрепленной точкой (п. 24), является, как и интегралы живых сил и моментов, алгебраическим относительно неизвестных функций. Поэтому естественно, что предпринимались общие исследования вопроса о том, допускают ли и в каких случаях динамические уравнения тяжелого твердого тела, закрепленного в одной точке, помимо двух классических интегралов, какой-нибудь новый алгебраический интеграл, относительно переменных р, 1 f, Yu Тэ> Ifs Однако глубокое исследование Гюссона ), выполненное в более изящной форме Бургаттив), привело к заключению, что, помимо рассмотренных ранее случаев Эйлера, Лагранжа и Ковалевской, не существует других алгебраических интегралов, кроме интегралов живых сил и моментов. [c.168]

Классические интегралы ). Три частицы A , А2, А , имеющие массы соответственно nii, т , m3, двин утся в пространстве под действием сил взаимного притяжения. В момент t = О заданы координаты и скорости частиц. Требуется определить полон ения частиц в любой момент времени. [c.573]

П. Пенлеве обобщил эту теорему, освободив ее от требования алгебраического характера координат. Он доказал таким образом, что всякий интеграл задачи трех тел, являющийся произвольной функцией координат и алгебраической функцией скорости этих тел, есть алгебраическая комбинация классических интегралов. [c.108]

Каждый интеграл задачи п тел, в которой входят алгебраически декартовы) компоненты скоростей гравитирующих точек координаты могут входить любым образом, алгебраически или неалгебраически), является следствием известных десяти классических интегралов. [c.177]

Теорема 3. Если А > В > С и форма Ух невырождена т.е. 1 0), то уравнения (4.1) не имеют в области /5 С К четвертого аналитического интеграла, не зависящего от классических интегралов энергии, площадей и геометрического. [c.69]

Вернемся к динамике твердого тела. Теорема С. В. Ковалевской о мероморфных общих решениях была существенно усилена А. М. Ляпуновым [42] и Г. Г. Аппельротом [43], доказавшим, что общее решение уравнений движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки представляется однозначными (е частности, мероморфными) функциями времени только в классических случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. В этих случаях дополнительные интегралы, как и классические интегралы, являются многочленами, т. е. рассматриваемые как функции многих комплексных переменных, они однозначны в прямом произведении комплексных плоскостей. Эти результаты указывают на целесообразность расширения задачи Пенлеве какова связь между существованием новых однозначных интегралов и однозначностью общего решения [c.128]

Татаринов Я. В. Портреты классических интегралов задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки. Вести. Моск. ун-та. Сер. матем., мех., 1974, № 6, с. 99-105. [c.230]

Проблема точного интегрирования уравнений динамики — одна из самых популярных тем исследования, начиная со знаменитых Математических начал натуральной философии Ньютона. Руководящей идеей в этом круге вопросов является общая идея симметрии. При решении задачи о центральном движении Ньютон уже использовал соображения симметрии факторизуя орбиты группы вращений, он свел эту задачу к изучению движения по прямой в потенциальном поле. Впоследствии Лагранж и Якоби заметили, что классические интегралы задачи многих гравитирующих тел связаны с инвариантностью уравнений движения относительно группы преобразований Галилея. Это фундаментальное наблюдение обобщено Эмми Нётер каждой группе преобразований, сохраняющих действие по Гамильтону, отвечает интеграл уравнений движения. Верно и обратное фазовый поток уравнений Гамильтона, в которых гамильтонианом служит известный интеграл, переводит решения исходных уравнений движения в решения тех же уравнений. На этой идее основано доказательство известной теоремы Лиувилля о полной интегрируемости уравнений Гамильтона фазовые потоки инволютивных интегралов попарно коммутируют и порождают абелеву группу симметрий максимально возможной размерности на многообразиях их совместных уровней. [c.6]

Работы аналитического направления посвящались сначала попыткам уточнения и придания большей математической строгости астрономическим теориям небесной механики. Поэтому в этих работах рассматривались сначала вопросы существования решений дифференциальных уравнений, в частности, вопросы о существовании и нахождении новых, отличных от десяти известных классических, интегралов в задаче трех или многих тел. Так как такие интегралы упорно не находились, то был поставлен вопрос о несущестеовании интегралов известного типа (алгебраических и однозначных трансцендентных), и эта проблема была блистательно разрешена Г. Брунсом в 1887 г. и А. Пуанкаре в 1889 г. [c.326]

Уравнения движения и классические интегралы. Предположим, что рассматриваемые три тела, которые мы будем считать материальными точками, находятся в точках Ро, Рх, Р2 и имеют массы то, т.1, т.2 соответственно. Обозначим расстояние Р0Р1 через Г2, расстояние Р0Р2 через гх и расстояние Р1Р2 через го. Если мы теперь положим [c.260]

Уравнения (9,89) всегда, т, е. каковы бы ни были тела Ti, лишь бы они обладали плоско-осевой симметрией, допускают интеграл, соответствующий классическому интегралу Якобн в круговой плоской ограниченной задаче трех материальных точек. Этот И1пе1 рал, как легко можно установить, имеет вид [c.444]

Найденные десять классических интегралов являются единствеииымн известными до сих иор интегралагли задачи многих тел и имеют, как мы видели, простое механическое значение. [c.340]

Посмотрид теперь, какую пользу мо кет нам принести знание известных, классических интегралов. [c.341]

Так как знание каждого первого интеграла системы обыкновенных дифференциальных уравнений позволяет принципиально понизить порядок системы на одну единицу, то прн помощи десяти классических интегралов уравнений (7.1) мы имеем возможность П01и1зить порядок этой системы на десять единиц. [c.341]

Это преооразоваипе можно выполнить, во всяком случае теоретически, либо исключая из ) равнсн1п"1 движения, записанных в виде системы урапиеиий первого порядка, какие-нибудь десять из неизвестных функций либо выражая все 6/И-6 неизвестных через 6/г — 4 новых независимых переменных, которые могут быть выбраны совершенно произвольно, прн том лишь условии, чтобы все классические интегралы тождественно удовлетворялись. [c.341]

Мы знаем, что уравнення абсолютного движения системы, состоящей из любого числа взаимно притягивающихся материальных точек, допускают десять первых (классических) интегралов, имеющих простое механическое значение. Для системы трех тел эти интегралы напищутся следующим образом. [c.731]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...