Уравнения движения для физических переменных

Уравнения движения для физических переменных [c.29]

Во МНОГИХ случаях, представляющих физический интерес, источники Rm ) пропорциональны малому параметру. Это означает, что релаксация происходит медленно и оба члена в правых частях уравнений (8.1.1) могут оказаться одного порядка малости. Процессы, в которых одновременно происходят и релаксация и перенос, изучаются релаксационной гидродинамикой. В этой главе будут рассматриваться чисто гидродинамические процессы, когда уравнения движения для базисных динамических переменных имеют вид локальных законов сохранения [c.159]

Уравнение движения. Уравнение движения жидкости формулирует принцип равновесия всех массовых и поверхностных сил, действующих на элементарный объем жидкости в любой точке потока. В векторной (форме для вязкой, сжимаемой жидкости ири переменных физических параметрах р и fi это уравнение записывается [c.335]

Однако работа [Л. 1] выполнена с допущением, что физические параметры жидкости не зависят от температуры. Теплообмен при движении жидкости с переменной вязкостью впервые рассмотрен в работе Л. 2], где теоретически показано взаимодействие теплового и гидродинамического полей. Наиболее точные исследования по теплообмену в вязком потоке приведены в работе Л. 3], но эти исследования связаны с громоздкими расчетами нелинейных интегральных уравнений. Поэтому Г. Шу [Л. 3] удалось дать лишь оценку теплообмена в зависимости от направления теплового потока для двух случаев. В работе, [Л. 4] основное внимание уделяется напряжению сдвига в потоке газа при больших скоростях. Полной картины процесса теплообмена и гидродинамического сопротивления в вязком потоке ни одна из этих работ не отражает. [c.237]

Объем настоящего курса не позволяет останавливаться на изложении различных существующих методов приближенного решения нелинеаризированных уравнений. Наибольшее применение для решения газодинамических задач в последнее время получили уравнения Чаплыгина, открытые им еще в 1901 г. и опубликованные в известной докторской диссертации, представленной к защите в Московский университет в 1902 г. С. А. Чаплыгин показал, что, если в уравнениях движения сжимаемого газа перейти от независимых переменных X, у в физической плоскости к новым независимым переменным модулю скорости движения К , в дальнейшем обозначаемому через то, [c.340]

Уравнения движения (1.39), записанные в эйлеровых координатах X, t, называются уравнениями Эйлера. Обращая внимание на физический смысл отдельных членов в (1.39), отметим, что правая его часть дает выражение для полного ускорения в виде двух составных частей ускорения, которое вызывает массовые силы, и добавочного ускорения, учитывающего действие сил гидродинамического давления. Уравнение (1.39) можно записать в лагранжевых переменных [c.30]

Все сделанные нами допущения выполняются для систем, обычно рассматриваемых в физических приложениях статистической механики. Сверх того, полная энергия таких систем совпадает с гамильтоновой функцией отсюда следует, во-первых, что заданием величины Е как функции динамических переменных механическая природа данной системы исчерпывающим образом определяется во-вторых, это позволяет рассматривать проведенное нами в 3 рассуждение, показывающее, что гамильтонова функция служит интегралом системы уравнений движения, как доказательство закона сохранения энергии для тех систем, которые мы будем рассматривать. [c.26]

В настоящее время стало ясным, что основные проблемы внутреннего строения звёзд и проблемы выяснения грандиозных удивительных явлений, наблюдаемых в переменных звёздах, связаны тесным образом с исследованием проблем газовой динамики. В излагаемой теории даны новые рациональные постановки задач и точные решения уравнений адиабатических движений газа и уравнений равновесия газа с учётом эффектов излучения. Соответствующие идеализированные случаи движения или равновесия газа можно в некоторых случаях рассматривать как схематические процессы, моделирующие действительные газодинамические эффекты в звёздах. Они могут служить источником для получения представления о возможных механизмах вспышек звёзд, пульсаций звёзд, о внутреннем строении звёзд и о влиянии различных физических факторов, связанных с выделением и поглощением энергии внутри звёзд, роли переменности плотности, о влиянии тяготения, о возможных движениях, обусловленных отсутствием начального равновесного распределения давлений, и т. п. [c.9]

Интегрируя для этого уравнения (9.63), мы можем получить W как функцию констант р, рщ и Е и, следовательно, как функцию переменных J. Подставив эту функцию в равенство (9.76), мы можем получить затем соотношение между w и константами движения, чем и определится физический смысл величин w. Практически, однако, этот путь оказывается весьма длинным. К счастью, здесь можно высказать некоторые качественные соображения, достаточные для выяснения смысла постоянных угловых координат w и w 2. Мы знаем, что действие равно произведению 2я на составляющую кинетического момента [c.333]

Применим метод характеристических рядов [8, 9] для нахождения функции a t), В [1,2] для начальной стадии движения поршня Rt при относительно небольших скоростях течения (несколько скоростей звука) приведены отрезки характеристических рядов в плоскости переменных t, и и получено обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка для a t). Там же упомянута возможность применения характеристических рядов непосредственно в физической плоскости t. Исследуем более подробно этот случай и покажем, что соответствующие отрезки рядов позволяют получить приближенное представление для a t) даже при неограниченной скорости. [c.420]

В предыдущих главах мы пользовались эйлеровым методом описания движений жидкости. При использовании этого метода течение несжимаемой жидкости в момент I характеризуется полем скорости и(Х, 1)у т. е. значениями вектора скорости во всевозможных точках = Хи Х2, Хг) пространства (в настоящем разделе по причинам, которые будут ясны из дальнейшего, нам будет удобно обозначать координаты А /, а не л /, как в предыдущих главах). Уравнения гидродинамики (из которых давление можно исключить с помощью уравнения (1.9)) при этом в принципе позволяют определить значения переменных Эйлера и(Х, t) в любой момент времени > /о по заданным начальным значениям и(Х, о) = ио(Х). Однако для изучения таких явлений, как турбулентная диффузия (т. е. распространение примесей в поле турбулентности) или деформация материальных поверхностей и линий (состоящих из фиксированных элементов жидкости) в тур-булентном течении, более удобным оказывается лагранжев метод описания движений жидкости. Он заключается в том, что вместо скоростей жидкости в фиксированных точках X пространства за основу берется движение фиксированных жидких частиц , прослеживаемое, начиная от некоторого начального момента времени / = to. Под жидкими частицами при этом понимаются объемы жидкости, размеры которых очень велики по сравнению со средним расстоянием между молекулами (так что для соответствующих объемов имеет смысл говорить об их скорости, оставаясь в рамках механики сплошной среды), но все же настолько малы, что скорость и давление внутри частицы можно считать практически постоянными и в течение рассматриваемых промежутков времени эти частицы можно считать перемещающимися как одно целое (т. е. без заметной деформации). Лагранжев метод самым непосредственным образом связан с реальными движениями отдельных элементов жидкости, совокупность которых и составляет течение поэтому его можно считать физически более естественным, чем эйлеров метод описания. В то же время в аналитическом отношении использование переменных Лагранжа, относящихся к индивидуальным частицам жидкости, оказывается гораздо более громоздким, чем использование переменных Эйлера и(Х, t), вслед- [c.483]

Физической модели должна однозначно соответствовать система уравнений, описывающих ее поведение. Такую систему уравнений называют математической моделью. Займемся ее составлением. Из курса механики известно, что состояние механической системы полностью определяется заданием координат и скорости системы в данный момент времени. Поведение системы определяется изменением переменных состояния системы с течением времени, что описывается дифференциальными уравнениями. Применить общие теоремы динамики для расчета движения поезда нельзя, так как силы, на него действующие, являются переменными. Эти силы проявляются в процессе движения и, влияя на кинематические характеристики движения, сами зависят от них. [c.229]

Зададим теперь вопрос, можно ли эту нелинейную теорию простых волн расширить настолько, чтобы она была применимой к случаям с неоднородными (в отсутствие возмущений) физическими характеристиками жидкости и переменным поперечным сечением, аналогичным случаям, проанализированным в рамках линейной теории в разд. 2.3—2.6. Ответ на этот вопрос для случаев, подобных тем из изученных в разд. 2.3—2.5, которые содержали разрывы проводимости, должен быть отрицательным фундаментальное свойство простой волны, с ее тождественным равенством нулю величины и — Р вдоль каждой С -характеристики (уравнение (168)), состоит в том, что отсутствует какое-либо распространение в отрицательном направлении X, сопровождающее волновое движение в положительном направлении х очевидно, это свойство исключает возможность появления отраженных волн, которые обязательно возникают (разд. 2.3) на любом разрыве проводимости. Однако эти рассуждения не распространяются на случаи с постепенно меняющейся проводимостью, в которых, как было показано в разд. 2.6, изменение, достаточно постепенное в масштабе длины волны, по [c.228]

Во всех вышеупомянутых работах было показано, что при заданных заранее переменных условиях на поверхности тела (близких к реальным) использование закона Ньютона, а следовательно, и коэффициента теплообмена неприемлемо. Однако закон зависимости температуры стенки от координат и от времени не может быть задан apriori , а должен быть получен путем совместного решения уравнений распространения теплоты в жидкости и твердом теле вместе с уравнениями движения, причем на границе твердое тело — жидкость температуры и тепловые потоки равны, т. е. должна решаться так называемая сопряженная задача теплообмена [Л. 4-4, 4-5]. При такой постановке учитывается взаимное тепловое влияние тела и жидкости, которое при прежней постановке не учитывалось, в результате чего теплообмен оказывался не зависящим от свойств тела, его теплофизических характеристик, размеров, распределения источников в теле и т. д., что, очевидно, противоречит физическому смыслу. Особенно важно рассматривать задачи теплообмена как сопряженные для случая нестационарного теплообмена. Действительно, даже в предельном случае, когда коэффициент теплопроводности твердого тела очень большой (Xj->-oo), температуру поверхности нельзя считать постоянной, так как хотя она и не зависит от координат точек поверхности, но изменяется во времени. Однако в отличие от стационарного теплообмена даже н в этом предельном случае [c.258]

В главе 2 исследованы нелинейные физические эффекты, обусловленные вязкоупругими свойствами жидкости. Отличительная черта большинства рассмотренных задач - наличие в потоке сильного разрыва гидродинамических параметров. Получено новое точное решение полных уравнений движения жидкости выполнен анализ релаксационных свойств вязкого касательного напряжения и завихренности. Изучены условия, в которых изотермическая жидкость Максвелла проявляет гиетерезисную нелинейность, Представлены закономерности поведения вихря скорости под воздействием вязкоуирзтости, переменной плотности, зависимости теплофизических параметров жидкости от температуры. Подробно изучен "трансзвуковой" эффект для вихря скорости на линии сильного гидродинамического разрыва. Проанализированы условия движения, при которых диссипативная функция отрицательна, [c.4]

Соотношения упругости, записанные для вариаций физических составляющих тензоров внутренних напряжений и деформаций, тождественны соотношениям (3.5.1), соотношения связи между вариациями физических составляющих обобщенных внутренних усилий и моментов в отсчетной поверхности оболочки Q и вариациями составляющих внутренних напряжений в ее слоях — соотношениям (3.5.4), вариации физических составляющих даламберовых массовых сил инерции определяются формулами (3.5.5). Наконец, при переходе к физическим переменным в уравнениях движения в вариациях (3.4.7), последние принимают такой вид [c.73]

Вместе с тем, подобное осреднение (одинаковое для всех переменных состояния) в случае многокомпонентного континуума с изменяющейся плотностью р, приводит не только к громоздким гидродинамическим уравнениям среднего движения, что связано с необходимостью удержания в структуре уравнений корреляторов типа р VJ, р У-У , р2 и т. п., но и к затруднениям физической интерпретации каждого отдельного члена осредненных уравнений. Поэтому далее при разработке моделей турбулентности химически активной газовой среды будем использовать, наряду с обычным средним значением некоторой пульсирующей величины A(r,t), так называемое средневзвешенное значение этой величины (среднее по Фавру Фавр, 1969)), задаваемое, например, соотношением [c.117]

Здесь я — кривизна контура профиля. Для получения оценки внутри сверхзвуковой области уравнения движения потенциального течения в переменных годографа преобразуются к характеристическим независимым переменным они сводятся к линейному гиперболическому уравнению второго порядка в канонической форме. Интегрирование этого уравнения (как обыкновенного уравнения первого порядка ) вдоль характеристик (но не до звуковой линии) позволяет получить оценки снизу для производных Фыхч (3 через их значения на контуре. Совершаемый затем переход в физическую плоскость (с учетом гомеоморфности отображения сверхзвуковой области) позволяет получить искомую оценку для градиента скорости, которая означает, что если кривизна контура профиля ограничена, то градиент скорости внутри сверхзвуковой области ограничен. Если скачок имеет сверхзвуковую концевую точку, то в этой точке происходит касание характеристик одного семейства (точнее, концевая точка скачка—это точка возврата огибающей характеристик одного семейства), поэтому градиент скорости в концевой точке бесконечен. Таким образом, из полученной оценки следует, что при непрерывной деформации гладкого профиля (изотопии) разрушению непрерывного потенциального течения в сверхзвуковой зоне не может предшествовать образование огибающей характеристик внутри этой зоны. Иначе говоря, скачок [c.179]

Более детально теплообмен и сопротивление в круглой трубе при течении газа с переменными физическими свойствами исследованы Ворсе-Шмидтом и Леппертом [Л. И]. Система уравнений движения, энергии и неразрывности, записанная в приближении пограничного слоя, решалась численно, методом конечных разностей. Расчеты проведены для воздуха с учетом зависимости р, ср, ц и Я, от Г, а р также и от /7 в соответствии с уравнениями (3-5), (3-7),. (3-9) и (3-10) при значениях Пс=0,12 ==0,67 и п. =0,7il и значении числа Рг= 0,72 (при температуре газа на входе). Параметры потока выбраны так, чтобы влияние диссипации энергии, работы расширения газа и свободной конвекции было пренебрежимо малым. На входе в трубу заданы параболический профиль скорости и однородное распределение температуры (7 =7 о), а на стенке задано постоянное значение температуры (Т=Тс), [c.137]

В гидродинамике невязкой жидкости к этой системе уравнений добавлялось уравнение непрерывности движения жидкости, и тогда при учете несжимаемости жидкости (р = onst) -и равенстве нормальных напряжений Рхх = Руу — pzz эта система уравнений легко решалась, так как при этом исключались все касательные напряжения. В гидродинамике вязкой жидкости эта система уравнений имеет много независимых переменных и поэтому для ее решения необходимо принимать ряд дополнительных условий, не противоречащих, конечно, физической основе капельной несжимаемой жидкости. К таким условиям можно отнести следующие допущения. [c.437]

Уравнение (3.39) можно рассматривать как уравнение движения только тогда, когда известно, как именно зависит сила Р от переменных физической системы, вызывающих изменение импульса част]]цы. Когда скорость частицы мала по сравнению с с, релятивистские уравнения должны совпадать со вторым законом Ньютона, Поэтому в инерциальной системе 5°, относительно которой част ца в рассматриваемый момент имеет нулевую скорость, си лу Р можно считать тождественной ньютоновой силе. Тогда с помощью (3.40) люжио вы-числ 1ть силу Р в произвольной 1нерциальной системе 5, Пусть скорость частицы относительно 5 равна и если 5 в (3.40) — система покоя 5 , то V = и и и = О, и для силы Р в системе 5 получим выражение [c.58]

По сравнению со случаем изотропных твердых тел нелинейная акустика кристаллов отличается большей сложностью и многообразием, что объясняется как анизотропией упругих свойств кристаллов, так и возможностью взаимодействия акустических волн с полями другой физической природы. Мы кратко опишем основные нелинейные эффекты, акцентируя внимание на тех из них, которые характерны именно для кристаллов и не встречаются в изотропных твердых телах. При этом из соображений простоты будем ограничиваться рассмотрением непьезоэлектрических кристаллов, за исключением тех ситуаций, когда наличие пьезоэффекта принципиально необходимо для осуществления тех или иных взаимодействий, например акустической волны с электрическим полем. Будем, кроме того, считать, что статические воздействия на кристалл отсутствуют, и можно использовать для его описания переменные естественного состояния ( 2). Тогда из уравнения движения (2.5) и уравнения состояния (2.3) нетрудно получить следующее нелинейное волновое уравнение [c.291]

В работе Лакса, опубликованной в 1954 г., сама численная схема гораздо менее важна, чем использованная форма дифференциальных уравнений — консервативная форма. Лаке показал, что преобразованием обычных уравнений гидродинамики, в которых зависимыми переменными являются скорость, плотность и температура, можно получить систему уравнений, в которой в качестве зависимых переменных служат количество движения, плотность и удельная внутренняя энергия торможения. Эта новая система уравнений отражает сущность физических законов сохранения и позволяет сохранять интегральные характеристики течения в конечно-разностной схеме. Такая система уравнений широко используется в настоящее время для расчета распространения ударных волн независимо от применяемых конечно-разностных схем, поскольку скорость плоской ударной волны точно рассчитывается любой устойчивой схемой (см. Лонгли [1960] и Гари [1964]). [c.23]

Правда, предположение Клаузиуса о том, что закон для сил взаимодействия материальных точек изменяется с течением времени, дает возможность, провести полную аналогию с термодинамическими уравнениями, однако в природе мы не замечаем ничего, что указывало бы на изменение закона действия каких-либо определенных сил в зависимости от времени. Более того, всякому физическому исследованию пришел бы конец, если бы мы не были уверены в том, что законы природы, которые мы установили сегодня, остаются в силе и в последующее время. Таким образом, при упомянутом предположении Клаузиуса баланс энергии получается совершенно неопределенным и к его однозначному установлению можно прийти лишь путем более или менее произвольных допущений. Поэтому представляется удобным вместо предположения о переменном законе действия сил допустить, что с п материальными точками, образующими рассматриваемую систему, взаимодействуют еще V других материальных точек. Последние точки остаются совершенно неподвижными при неварьированном движении, а при варьировании движения они в высшей степени медленно изменяют свое положение. При таком предположении также отпадает вышеупомянутая трудность вычислительного характера. [c.469]

Более универсальны методы расчета Р. Дайслера и К. Голдмана i[3.3—3.5], так как они свободны от ограничений по характеру зависимости физических свойств от давления и температуры. Суть двух подходов к решению задачи одинакова и заключается в численном решении системы дифференциальных уравнений энергии и движения. Различие состоит в методах расчета коэффициентов турбулентного переноса тепла и массы. Р. Дайслером принято, что коэффициенты переноса ет и Eq не зависят от изменения физических свойств, что отражается на точности расчетов при резко переменных свойствах. К. Голдман на основе выдвинутой им гипотезы о том, что изменение турбулентности в каждой точке потока зависит от изменения физических свойств только в данной точке, сумел применить для расчета распределения скоростей и коэффициента турбулентного обмена те же зависимости, что и при постоянных физических свойствах при соответствующей записи в новых переменных. Р. Дайслером и К. Голдманом принято [c.51]

Здесь сразу следует обратить внимание на то, что стационарные кривые, представляющие зависимость величины квадрата амплитуды колебаний от отношения частот (nlX , не будут одинаковыми для гироскопических роторных систем с постоянной и переменной массой. Это объясняется тем, что в первом случае движение системы описывается дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, а во втором случае—дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами (1). Поэтому в последнем случае фундаментальное уравнение (2а) является уравнением с переменными коэффициентами. G физической точки зрения это означает, что в гироскопической роторной системе с переменной массой, в отличие от такой же системы с постоянной массой, спектр собственных частот зависит не только от угловой скорости вращения, но и переменности массы. Так как в рассматриваемых стационарных режимах проявляется лишь одна собственная частота, а именно первая частота прямой прецессии то для иллюстрации сказанного выше на рис. 8 приводятся зависимости собственной частоты от угловой скорости вращения (О с различными скоростями изменения массы f j при указанных параметрах системы vi к = 200 секГ , е = 1,0 мм. Из кривых на рис. 8 видим, что в рассматриваемой системе по отношению к системе с постоянной массой (к = 0) с ростом со величина падает при увеличении массы и растет при уменьшении массы тем больше, чем больше скорость изменения массы. [c.134]

Виртуальное варьирование предполагает использование виртуальных перемещений, определяющих свойства реакций связей. Таким путём применение операций вариационного исчисления при варьировании функционала действие увязывается с физическим смыслом учитываемых ограничений. Вспомогательный характер имеет заметка 7 о дифференцировании функции при неявной зависимости от переменных и о вариационной производной. Способы синхронного, асинхронного варьирования и способ, применённый Гельмгольцем (и его расширение), а также варьирование в скользящих режимах реализации связей рассматриваются в заметке 8. В заметке 9 обсуждается составление уравнений для виртуальных вариаций неголономной связи связи, представляющей огибающую связи, зависящей от двух независимых параметров неравенства для виртуальных перемещений при неудерживающих связях. В одном из пунктов заметки 10 полностью содержится (с нашим примечанием) двухстраничная работа М. В. Остроградского Заметка о равновесии упругой нити , написанная им по поводу одной известной классической ошибки Лагранжа в других пунктах рассматривается использование неопределённых множителей при представлении реакций связей. Некоторое ограничение множества виртуальных перемещений позволило сформулировать обобщение принципа наименьшей кривизны Герца для систем с нестационарными связями (заметка 11). Несвободное движение систем с параметрическими связями (заметка 12) изучается на основе принципа освобождаемости по Четаеву, сформулированному им в задаче о вынужденных движениях составлено общее уравнение несвободных динамических систем, основные уравнения немеханической части которых имеют первый порядок (в отличие от механической части, основные уравнения которой второго порядка), предложено общее уравнение динамики систем со случайными параметрами. Центральное вириальное равенство (заметка 13) выводится с помощью центрального уравнения Лагранжа. [c.13]

Анализ системы уравнений показывает, что в ней не учитывается ряд явлений, протекающих в реальной механической системе. В частности, поворот масс относительно центров тяжести, влияние поворотов на действительное перемещение отдельных точек масс и т. д. Однако эти уравнения в достаточной степени выявляют основные- закономерности процессов. Очевидно, что учесть все факторы в точных математических зависимостях чрезвычайно сложно. При этом возникают существенные трудности при рещении полученной системы дифференциалыных уравнений. Последнее объясняется тем, что в уравнениях коэффициенты жесткости стыков по соответствующим направлениям и сопротивление движению масс в виде трения, действующего на отдельные грани стыка, являются переменными величинами, зависящими от реакций на гранях скорости относительного движения и т. д. Рассмотрим другой вариант расчетаой схемы (рис. 2), который с точки зрения динамики колебательной системы полнее отражает физическую сторону явлений. Для [c.305]

Наш результат показывает, что мы можем аналитически продолжить Хк, у к через особенность t = ti теперь нужно исследовать поведение Хк, у к при прохождении s через si по действительной оси s. В соответствии с разложением (14) t остается при этом действительным и проходит, возрастая, через ti. Вследствие действительности всех коэффициентов разложений в ряды Хк, Ук также остаются действительными при этом аналитическом продолжении. Из разложения (13) можно заметить, что обе материальные точки Pi п Рз, двигаясь по направлению вектора ( f i), сталкиваются при i = ii и затем отталкиваются друг от друга. Это заключение имеет, разумеется, только математический смысл, но не имеет физического значения. Для всех t > t, достаточно близко лежагцнх к ti, опять имеем х > О, и у является конечным. В силу обратной подстановки (7 31), (7 32) можно ввести опять старые координаты Хк, у к вместо f , Щ- При этом значения постоянных в интегралах движения центра инерции, постоянных в интегралах пло-ш,адей и постоянной в интеграле энергии остаются те же, что и для т i < 1, так как они получаются при аналитическом продолжении функций переменной t. То же самое справедливо и для дифференциальных уравнений, поэтому уравнения (7 16) также удовлетворяются, и можно опять перейти от них через (7 6) к системе (7 2). [c.70]

Хотя рассмотренные общие приемы построения дискретных моделей в принципе применимы к любым непрерывным полям, мы удем заниматься главным образом термомеханическими явлениями, поскольку именно с ними связаны наиболее важные проблемы нелинейной механики твердых тел. Термодинамические законы естественным образом устанавливают связь кинематических и динамических переменных с другими величинами, характеризующими термодинамическое состояние тел. Глобальные знергетические законы сохранения дополняют локальные уравнения сохранения количества движения и момента количества движения. Их можно использовать для получения конечнозлементных уравнений, удовлетворяющих, по крайней мере в некотором осредненном смысле, основным физическим законам (например, законам движения Коши) для конечных объемов тела. [c.189]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...