Переменные годографа

В работах [2-5] для конкретных нелинейных уравнений, которым удовлетворяет потенциал скоростей газодинамических течений, с использованием пространства переменных годограф-время , были получены представления решений в виде рядов вида [c.332]

Заметим, что в случае дозвуковых течений этот якобиан отличен от нуля всюду, кроме, быть может, некоторого множества изолированных точек. Точнее говоря, введение переменных годографа основано на предположении независимости 9 и а не л и у. решения, для которых эти переменные являются зависимыми, т. е. [c.128]

Уравнения для потенциала скорости ф и функции тока "ф, записанные в переменных годографа, после введения вместо скорости V переменной г (М — 1)—1/2 были преобразованы им к следующему виду [c.184]

Плоские и осесимметричные стационарные течения. Функция тока. Естественная система координат. Физический смысл функции тока. Теорема Крокко о вихрях. Образование завихренности в потоке сжимаемого газа за счет ударных волн переменной интенсивности. Потенциальные течения, уравнение для потенциала. Переменные годографа. Уравнение Чаплыгина. [c.124]

Переменные годографа. Уравнение Чаплыгина [c.130]

Оказывается, что в переменных годографа плоское потенциальное движение газа описывается линейным уравнением. Под переменными годографа обычно понимают переменные, связанные так или иначе со скоростью движения газа. Это могут быть либо компоненты и, V, либо модуль и угол скорости и>, О, либо их некоторые комбинации. Ниже приводится уравнение для описания плоского потенциального движения газа, известное в литературе как уравнение С.А.Чаплыгина. [c.130]

Особенности решения задач в переменных годографа. Предельная линия. Уравнение Эйлера-Трикоми. Характеристики. Уравнение для потенциала плоского почти однородного трансзвукового течения газа. [c.131]

Особенности решения задач в переменных годографа [c.131]

Решение задачи в переменных годографа состоит из двух этапов. [c.131]

Плоскость изменения переменных и, V или переменных У, 0, рассматриваемых как полярные координаты в этой плоскости, называется плоскостью годографа, а сами переменные V, 0—переменными годографа. [c.254]

Не останавливаясь на случае осесимметричных течений, для которых переход к переменным годографа не приводит к каким-либо упрощениям системы уравнений, получим уравнения для ф и г ) в переменных годографа для плоских течений. [c.254]

Это обстоятельство затрудняет использование в таких случаях уравнений в переменных годографа. В значительной степени успехи их применения связаны с разработкой непрямых методов решения задач, когда область в плоскости годографа находится в результате последовательных приближений. [c.256]

Существуют, однако, важные задачи о движениях газа, которые естественно формулируются в переменных годографа. К таким задачам относится задача о нахождении формы профиля с заданным на его контуре годографом скорости (обратная задача теории обтекания профиля), ряд задач о струйных течениях газа, в которых на заранее неизвестной границе струи задана величина давления, а, следовательно, и модуля скорости, и некоторые другие задачи. Во многих таких случаях удается получить эффективные решения задач в переменных годографа. [c.256]

Линейность уравнений плоских движений в переменных годографа облегчает изучение важных свойств течений сжимаемого газа на частных примерах. Эти уравнения служат также основой для создания рациональных приближенных методов решения многих задач газовой динамики, включая и задачи об обтекании тел. [c.256]

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ В ПЕРЕМЕННЫХ ГОДОГРАФА 257 [c.257]

Несмотря на большой интерес к изучению течений с переходом через скорость звука, в их теории вследствие сложности исследования все еще много нерешенных задач. Наибольшее продвижение достигнуто в теории плоских потенциальных околозвуковых течений газа. Это продвижение связано в основном с использованием переменных годографа, в которых уравнения движения газа становятся линейными (см. 3), причем в околозвуковом приближении уравнение для функции тока сводится к уравнению Эйлера—Трикоми (6.26). Линеаризация уравнений в исходных переменных в рамках теории малых возмущений скорости, как уже говорилось ранее, при околозвуковых скоростях невозможна. [c.384]

Параметры торможения 50 Переменные годографа 254 [c.422]

В соответствии с общей теорией уравнений в частных производных [55 в областях гиперболичности существуют действительные характеристики. Напомним, что характеристики представляют собой многообразия, на которых система дифференциальных уравнений не может быть приведена к нормальному виду, т. е. не может быть разрешена относительно производных, выводящих из такого многообразия. Это препятствует применению теоремы Коши-Ковалевской, следовательно, решения задачи Коши с начальными данными на характеристическом многообразии, вообще говоря, не существует. Для его существования (которое в данном случае уже оказывается не единственным) необходимо и достаточно выполнения условий согласования начальных данных, которые называются условиями совместности. Интересно, что эти условия совместности являются не чем иным как характеристиками системы уравнений газовой динамики, рассматриваемой в переменных годографа, а условиями совместности последней, наоборот, служат уравнения характеристик в физической плоскости. [c.21]

Уравнения газодинамики в переменных годографа 25 [c.25]

Большинство известных точных решений уравнение (7) принадлежат этому классу. При его изучении оказались плодотворными два подхода, основанные на том, что как в физических переменных, так и в переменных годографа уравнения трансзвуковых течений имеют автомодельные решения. [c.60]

Прежде чем переходить к их изложению, опишем класс автомодельных решений в переменных годографа. Существование этого класса определяется групповыми свойствами уравнения Трикоми, его инвариантностью относительно преобразования подобия. Следуя [32], решения уравнения Трикоми для функции тока ф и у) будем искать в виде [c.61]

Рассмотренный случай плоского течения имеет методический характер. Практически важным является осесимметричное течение. В 3 гл. 4 приведено уравнение в переменных годографа, описывающее осесимметричное течение. Оно представляет собой обобщенное уравнение Чаплыгина с нелинейной правой частью, содержащей якобиан преобразования в плоскость годографа и значение расстояния от оси симметрии в физической плоскости. [c.107]

Групповое свойство. Представляет интерес рассмотрение системы (23) с групповой точки зрения. При это.м выявляется принципиальное различие в случаях г/ = О и г/ = 1. Так как при и = О система (23) становится линейной в переменных годографа, то она допускает бесконечную группу преобразований, действие которой сводится к сложению и умножению на числа любых решений уравнения (40) или (47). Именно это свойство и делает метод годографа эффективным при исследовании плоскопараллельных течений. Кроме того, в случае и = Q система (23) допускает однопараметрическую группу вращений (8.5.7°). Следствием этого является тот факт, что коэффициенты уравнений С. А. Чаплыгина (45)-(47) не содержат угловой координаты в. В случае же г/ = 1 система (23) не допускает ни бесконечной группы, ни группы вращений. Если эти группы преобразований во внимание не принимать, то при любом I/ остаются допускаемые системой (23) однопараметрические группы переносов по X (в случае и = О также и переносов по у) и растяжений с одним параметром а (здесь штрихом обозначены координаты преобразованной точки) [c.234]

Теперь нетрудно получить уравнения (57а) и (576), исходя из уравнения (56) и только что указанных определении, но вовсе не ясно, почему нужно было испо ьзовать эти переменные годографы, чтобы получить линейные уравнения. Одним из мотивов могло быть то соображение, что метод годографа успешно применяется в задачах со свободными линиями тока (как в 38). Сейчас мы приведем другую мотивировку, использующую три соображения из теории групп. [c.190]

В силу параболического вырождения, имеющего место для О < 7 < А < Ао, течение в полностью определяется, если из расчета ближнего ноля струи построен отрезок изобары на котором 7 = А <Ао,аО<1 < где 11 - значение в верхней точке Е . Отсюда и из того, что при ь> = О в уравнения не входят хну, очевидна целесообразность перехода в плоскость годографа 771 . При этом [7] задача сводится к нахождению потенциала Лежандра Ф, через производные от которого по переменным годографа выражаются хну. Для совершенного газа с 77 и в качестве независимых неременных уравнение для Ф = Ф( 7,1 ) и формулы для хну при и = О принимают вид [c.349]

Проблема исследования течений сжимаемой жидкости приобрела большую актуальность в связи с ростом скоростей в авиации в конце тридцатых — начале сороковых годов. К этому времени уже был разработан ряд методов теоретического анализа этой проблемы метод итераций, основанный на разложении решения в степенные ряды по квадрату числа Маха невозмущенного потока (Рейли — Янцен, 1913—1916) теория тон-КОГ0 тела, базирующаяся на линеаризации уравнений газовой динамики (Прандтль — Глауерт, 1926—1930) метод годографа скорости, основанный на линеаризации уравнений плоских течений газа путем преобразование их к переменным годографа (С. А. Чаплыгин, 1902). Эти методы и были положены в основу многочисленных исследований, посвященных изучению обтекания крыльев и тел при дозвуковых скоростях. [c.98]

Для случая бесскачкового течения с местной сверхзвуковой зоной А. А. Никольский (1948) привел задачу о вариациях функции тока и потенциала скорости при малом изменении контура обтекаемого тела или числа Маха набегающего потока к краевой задаче Дирихле для одного и того же для всех задач линейного уравнения в частных производных второго порядка в переменных годографа скорости. [c.102]

Значительные результаты в исследовании плоских потенциальных установившихся движений газа были получены на основе обобщения метода Чаплыгина перехода к переменным годографа в качестве независимых переменных). Уже в тридцатах годах были достигнуты хорошие результаты в применении приближенного метода Чаплыгина к задачам дозвукового обтекания тел. Приближенный метод Чаплыгина для расчета адиабатических потенциальных движений газа, как известно, основан на замене истинной адиабатической связи между давлением р и плотностью р линейной связью между р и 1/р. При этом уравнение для потенциала скорости ф или функции токал ) в специальным образом преобразованных [c.162]

С. А. Христианович (1947) произвел аппроксимацию функции модуля скорости, входяш,ей в преобразованные к характеристическим координатам в переменных годографа уравнения для ф и г , с помощью кусков парабол. Эта аппроксимация, по существу эквивалентная аппроксимации адиабаты, позволила свести уравнение для ф или дляг[)к уравнению Дарбу, причем к тому его типу, который в общем случае интегрируется до конца. Христианович дал решение основных краевых задач газодинамики с использованием этого уравнения. Аппроксимация, введенная Христиановичем, пригодна для скоростей, не слишком близких к скорости звука и не слишком больших по сравнению с ней в диапазоне чисел Маха от 1,05 до 3,5). [c.162]

В самое последнее время (1966 и сл.) появилась серия работ, посвященная изучению плоских задач нелинейной фильтрации с начальным градиентом (М. Г Алишаев, В, М. Ентов и др.), в основу которых положены преобразование уравнений движения к переменным годографа (модуль скорости и угол ее наклона) и последующее их решение. Такой подход дал возможность исследовать ряд задач и определить для них форму и размеры застойной области, обязанной своим происхождением начальному градиенту. [c.612]

Как уже говорилось ранее, в случае плоских баротропных и в частности, изоэнтропических движений соотношения вдоль характеристик образуют интегрируемые комбинации, так что вдоль характеристик значения I+ = I+ V, 9) и, соответственно, I = I. V, 0) сохраняются неизменными. Поэтому сетка характеристик /+ = onst, / = onst в плоскости годографа (или в плоскости других переменных, связанных с переменными годографа, например 0 и / ) может быть построена для всех течений одновременно. [c.284]

Здесь я — кривизна контура профиля. Для получения оценки внутри сверхзвуковой области уравнения движения потенциального течения в переменных годографа преобразуются к характеристическим независимым переменным они сводятся к линейному гиперболическому уравнению второго порядка в канонической форме. Интегрирование этого уравнения (как обыкновенного уравнения первого порядка ) вдоль характеристик (но не до звуковой линии) позволяет получить оценки снизу для производных Фыхч (3 через их значения на контуре. Совершаемый затем переход в физическую плоскость (с учетом гомеоморфности отображения сверхзвуковой области) позволяет получить искомую оценку для градиента скорости, которая означает, что если кривизна контура профиля ограничена, то градиент скорости внутри сверхзвуковой области ограничен. Если скачок имеет сверхзвуковую концевую точку, то в этой точке происходит касание характеристик одного семейства (точнее, концевая точка скачка—это точка возврата огибающей характеристик одного семейства), поэтому градиент скорости в концевой точке бесконечен. Таким образом, из полученной оценки следует, что при непрерывной деформации гладкого профиля (изотопии) разрушению непрерывного потенциального течения в сверхзвуковой зоне не может предшествовать образование огибающей характеристик внутри этой зоны. Иначе говоря, скачок [c.179]

Уравнения на плоскости годографа. Метод годофафа и состоит в рассмотрении определяющих течение величин как функций переменных годографа (u.v). Существует несколько вариантов получения преобразованных уравнений (23) на плоскости годофафа, каждый из которых имеет свои преи.мущества и недостатки. Ниже излагаются два наиболее часто используемых варианта такого преобразования. [c.229]

Первая производная но времени от радиуса-вектора есть скорость [ОЧКИ, направленная по касательной к /раектории. Следовательно, параллельно касательной к годографу направлена первая производная 1Ю скалярному аргументу от любого переменною вектора. [c.105]

При движении точки М ее радиус-вектор г = ОМ изменяется, причем начало радиуся-вектора всегда находится в одной неподвижной точке, например в точке О (рис. 3), а конец М скользит по траектории (описывает траекторию). Напомним, что всякую линию, описываемую концом переменного вектора, выраженного функцией времени и выходящего из одной точки, называют годографом этого вектора. Следовательно, траектория точки является годографом ее радиуса-вектора. [c.18]

Построим из какого-либо полюса, например начала координат, годограф переменного, вообще говоря, с течением времени вектора К. Если главный момент внещних сил относительно оси е обращается в нуль, то мы будем иметь интеграл площадей Л = с , и рассматриваемый годограф будет кривой в плоскости, перпендикулярной вектору е. Когда суммарный момент внещних сил обращается в нуль отно-сите.чьно двух неколлинеарных осей ех и ег, то мы будем иметь два интеграла площадей [c.387]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...