Динамические функции

Классические динамические функции А (q, р) обобщенных координат и импульсов (фазовой точки) сопоставляются в квантовой теории эрмитовым операторам А с непрерывным или, чаще, с дискретным спектром Ai, которые действуют на волновую функцию l)i(q). Скобки Пуассона [А, В динамических функций [c.220]

ДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. Пусть т= гпи т ). Динамической функцией называется семейство скалярных или векторных функций [c.215]

Лемма. Динамические функции имеют вид [c.215]

Примеры динамических функций [c.215]

При движении системы производная динамической функции [c.216]

Когда электроны проводимости рассеиваются на ионах аморфного сплава, между ними происходит обмен импульсом й Q и энергией Йсо. Вероятность рассеяния описывается динамическим структурным фактором S(QI, <й), характеризующим пространственно-временную структуру аморфного сплава. Функцию 5(Q , со) называют также динамической функцией рассеяния или динамической интерференционной функцией. Динамический структурный фактор S Q, (о) пропорционален статическому структурному фактору S(Q), обычно определяемому в экспериментах по рентгеновской или нейтронной дифракции, который равен интегралу по энергии при постоянном Q в динамическом структурном факторе S(Q, со) [c.203]

Динамическая функция отклика для твердых деформируемых тел, находящихся под воздействием высокого давления [c.99]

Логарифмическая функция Людвика не была той функцией, которая могла описать зависимость между напряжением и деформацией (в условиях вязкости) в общем случае поведения твердых тел, как это часто утверждается скорее всего она позволяла сравнивать, и то для одного лишь твердого тела —олова,—скорости ползучести при постоянном напряжении, соответствующем специфической дес рмации, со скоростью деформации при измеренном предельном напряжении, соответствующем той же специфической деформации в опыте с постоянной скоростью деформации. То, что значение предельного напряжения в олове изменяется со скоростью деформирования, не дает, к сожалению, информации о динамической функции отклика для промежуточной II стадии деформирования— зоны Треска, предшествующей III стадии с постоянным [c.186]

Фиг. 1.2.1. Различные объекты в фазовом пространстве а — точка S представляет состояние системы б — образ гладкой динамической функции Ъ q, р), в — траектории динамических систем.

Рассмотрим теперь произвольную динамическую функцию Ь q, р). Вследствие движения ее значение также изменяется [c.18]

Коэффициенты могут быть сингулярными функциями своих аргументов. Например, динамическая функция 6 q, р) = qi представляется формулой [c.18]

Это выражение называется скобкой Пуассона двух динамических функций Ь q, р), с q, р). Следовательно, можно написать [c.19]

Можно рассматривать скобку Пуассона как специальную алгебраическую операцию над динамическими функциями, которая связывает с каждой парой Ь, с новую динамическую функцию [c.19]

Следовательно, действие оператора [.. ., dip на любую динамическую функцию аналогично действию дифференциального оператора первого порядка. Это не удивительно в случае скобки Пуассона (1.2.6), но сказанное остается справедливым также и в более общих случаях, с которыми мы встретимся позже. Используя приведенные выше правила, можно вычислить скобку Пуассона любых двух элементов при условии, что известна скобочная таблица умножения основных элементов q , р . Такую таблицу легко найти при помощи (1.2.6) [c.20]

Множество всех динамических функций будет именоваться динамической алгеброй 3). Причина этого названия заключается в том, что можно комбинировать любые элементы 3) посредством операций сложения, умножения и образования скобок Пуассона, не выходя за пределы множества. Любое множество, на котором определены три перечисленные операции, формально называется алгеброй, или, точнее, алгеброй Ли. [c.20]

Возвратимся теперь к закону движения и, прежде чем продолжать изложение, сделаем следующее замечание. Вначале мы имеем произвольную динамическую функцию, заданную в нулевой момент времени формулой (1.2.2). При эволюции она преобразуется к моменту времени t в новую динамическую функцию Ь q, р t), которую можно интерпретировать двояким образом. Ее можно рассматривать как ту же самую функцию, зависящую от преобразованных переменных [c.21]

Но, поскольку Ъ также является динамической функцией, ее производная по времени снова дается уравнением (1.2.7) [c.22]

Тогда имеется следуюш,ее совершенно обш,ее соотношение, справедливое для любой динамической функции [c.24]

Все динамические функции в квантовой механике являются операторами, которые могут быть представлены в виде [c.27]

В этом месте необходимо сделать существенное предостережение. Мы разрабатывали структуру квантовой механики, исходя из классической механики и используя правило соответствия. С каждой классической динамической функцией мы связали единственный квантовый оператор. Однако зто соответствие не всегда имеет обратное. Существуют квантовые операторы, не имеющие классических аналогов. Такие операторы необходимы для полного описания системы частиц, обладающих внутренними степенями свободы. Известным примером является оператор спина. Если для описания электрона использовать только динамические операторы, построенные из g и р, мы не сможем объяснить всех свойств зтой системы. Мы должны дополнительно ввести три новых основных оператора s, Sy, s , связанных со спином, подчиняющихся перестановочным соотнощениям [c.31]

Статистическая механика служит связующим звеном между двумя уровнями описания, т. е. устанавливает соответствие между любой микроскопической динамической функцией Ь (q, р х, t) и единственной макроскопической динамической функцией [c.52]

Совершенно естественно потребовать, чтобы наш функционал был линеен-, это означает, что для данных двух динамических функций Ь, с и двух чисел р, у должно выполняться следующее соотношение [c.52]

Любая функция F, удовлетворяющая условию (2.2.5), пригодна для построения функционала (2.2.4). Множество таких функций является подмножеством множества динамических функций они называются функциями распределения в фазовом пространстве, короче, функциями распределения или просто распределениями. Теперь мы в состоянии сформулировать основной постулат статистической механики [c.53]

В описании такого рода имеется некоторая трудность. Из соотношения (2.2.9) видно, что приходится решать отдельную задачу на начальные значения для каждой динамической функции Ъ (q, р X, t), макроскопическое среднее значение которой В (х, t) мы хотим найти. Покажем теперь, что процедуру поиска можно сильно упростить, по крайней мере в принципе. В самом деле, достаточно решить одну задачу на начальные значения для уравнения в частных производных решение такой задачи для любых значений времени позволяет при помощи простых квадратур найти значения всех макроскопических функций В (х, t). Сначала докажем следующую лемму. [c.55]

Ясно, что два последовательных канонических преобразования, действующие на Ь, эквивалентны тождественному преобразованию. Результат проделанной процедуры сводится к тому, что временная зависимость переходит от динамических функций к функции распределения. В самом деле, естественно определить функцию распределения, зависящую от времени [c.56]

Теоретические и экспериментальные методы определения поверхностных теорм о динамических функций были подробно рассмотрены в работах [380, 422, 435]. Было отмечено, что все термодинамические функции, относящиеся к поверхности, могут быть получены, если известны удельная поверхностная теплоемкость при постоянном давлении как функция температуры и значение поверхностной энтальпии при комнатной температуре (см. рис. 12, а). Используемые в этом случае соотношения имеют вид [c.129]

В 1935 г. Манн (Mann [1935, 1]), не собиравшийся определять динамические функции, так как его интересовала только термодинамика энергетического критерия, ввел быстро вращающийся маховик для придания почти постоянной скорости одному концу растягиваемого образца. Манн надеялся с помощью этого эксперимента изучить термодинамику быстрого деформирования. По этой причине он сконцентрировал свое внимание на измерении потери энергии. Хотя вклад Манна в термопластичность был невелик, он добился успеха, обнаружив скорость перехода (опытное обнаружение еще в 1935 г. критической скорости Кармана 1942 г. (von Karman [1942, [c.206]

Очень часто нас будут интересовать значения некоторых величин, которые характеризуют систему и которые в принципе могзгг быть измерены. Примеры таких величин — энергия, импульс и момент количества движения. Эти величины имеют определенное значение в каждом состоянии системы q, р). Другими словами, они могут быть охарактеризованы как множество всех вещественных функций 2N переменных (Qi,. . ., q , pi,. . р ). Мы будем называть их динамическими функциями и обозначать через Ъ д, р) они описывают всевозможные свойства системы. Можно ограничиться определенными типами таких функций. Например, можно использовать все аналитические функции q, р в этом случае каждая из них имеет следующий вид [c.17]

Приведенное выше описание полностью определяет состояние системы в данный момент времени, скажем при t = 0. Однако главная цель динамики заключается в изучении эволюции системы во времени. В динамике Гамильтона движение полностью определено, если мы зададим для системы некоторую особую динамическую функцию Н q, р), назьшаемую гамильтонианом ). Эта функция полностью характеризует динамическую природу системы. Известно, что с физической точки зрения в большинстве случаев (но не всегда) Н q, р) представляет полную энергию системы. [c.18]

Представление о скобках Пуассона можно использовать для определения класса операторов, действующих на динамические функции. Пусть а — фиксированная динамическая функция, принадлежащая 3. Мы определяем оператор [а], действуюпщй на произвольный элемент Ь динамической алгебры 3) посредством формулы [c.20]

Зная динамическую функцию Ъ q, р) в можнт t = 0, найти динамическую функцию Ь q, р t), соответствующую Ъ в можнт врежни t, если закон движения выражен уравнением (1.2.7). [c.21]

Иными словами, при каноническом преобразовании произвольная динамическая функция переходит в ту же самую функцию преобразованных переменных. В самом деле, для любой аналитической функции вида (1.2.2) величина Ъ q, р) строится из переменных (q, р) комбинированием операций сложения и умножения. Так как операции сзпимирования и умножения сохраняются при канонических преобразованиях [см. формулы (1.2.30) и (1.2.31)], сразу же получаем (1.2.33). [c.24]

Построим реализацию квантовой гамильтоновой динамики, используя такой же ход рассуждений, как и в разд., 1.2. Вместо точки в фазовом пространстве состояние системы будет характеризоваться элементом гильбeipтoвa пространства (т. е. волновой функцией). Вместо функций в фазовом пространстве роль динамических функций теперь играют операторы, действующие в гильбертовом пространстве. Мы отложим более детальное рассмотрение состояний до следующих двух разделов и перейдем к построению алгебры динамических операторов 3q. [c.26]

Множество всех возможных собственных значений (отвечающих всем возможным собственным состояниям т)) интерпретируется как множество тех значений, которые может принимать в некотором эксперименте наблюдаемая, связанная с Ь. Вообще говоря, такое множество значений дискретно в этом заложено определенное различие между классической и квантовой механикой. В квантовомеханической системе динамические переменные (такие, как энергия) могут принимать только некоторые строго определенные значения в этом состоит сущность квантования. Другое важное замечание заключается в следующем так как собственные значения bjn должны представлять наблюдаемые численные значения динамических функций, они с необходимостью должны быть вещественными числами. Это означает, что операторы Ь, представляющие наблюдаемые, обязательно должны быть зрмитовыми, т. е. [c.26]

Оба они (или любая их линейная комбинация) эрмитовы и могзгг быть связаны с классической динамической функцией Ъ с. Следовательно, нам необходимо иметь однозначное правило, указывающее, как строить элементы алгебры. Необходимо отчетливо представлять себе, что подобное правило постулируется, и поэтому не имеет смысла пытаться доказать какие-либо утверждения относительно него. (Это не всегда достаточно ясно видно из литературы ) Наиболее часто используется правило, принадлежащее Г. Вейлю. Его можно сформулировать следующим образом [c.27]

Ясно, что операторы ащ aj, неэрмитовы следовательно, они не представляют наблюдаемых динамических функций. Однако из шту можно построить эрмитовы операторы, взяв их определенные комбинации, как это только что было сделано для гамильтониана. Основным оператором этого типа является атащ- Из определений (1.5.6) и (1.5.7) вытекает, что [c.38]

Рассмотрим теперь операторы, представляюпще в данном формализме динамические функции. Пример с простым гамильтонианом, рассмотренный выше, ни в коем случае не является исключительным. Всякий оператор вызывает переходы некоторого числа частиц с одного уровня на другой. Другими словами, он уничтожает некоторое число частиц на одних уровнях и рождает их на других амплитуда вероятности такого процесса равна матричному элементу оператора, взятому между соответствуюшда1и состояниями. Следовательно, общая форма подобного оператора, относящегося к п частицам, такова [c.40]

Таким образом, мы приходим к идее статистаческого описания системы многих тел. Здесь математический объект, представляющий систему,— это уже не некоторая точка в фазовом пространстве, а совокупность точек в фазовом пространстве, причем каждая из них характеризуется определенным весом, выраженным некоторым числом. Такая совокупность точек, каждой из которых приписывается определенный вес, будет далее называться ансамблем. Наблюдаемое значение динамической функции отождествляется со средним по ансамблю значением микроскопической функции. Значение, полученное таким способом, интерпретируется как усредненный результат большого количества идентичных экспериментов. [c.50]

Состояние системы в данный момент времени полностью задается некоторой функцией распределения F (q, р), удовлетворяющей условию 2.2.5). Наблюдаемое значение В (х, t) динамической функции Ъ (q, р , х, t) для тсжой системы по определению должно выражаться формулой (2.2.4). [c.53]

Это уравнение содержит закон движения в физическом пространстве, который задается в фазовом пространстве уравнениями Гамильтюна. Здесь напрашивается аналогия с гейзенберговским представлением в квантовой механике, в котором состояние системы задано, а ее эволюция описывается изменением во времени динамических функций. [c.54]

Лемма. Если одно и то же каноническое преобразование где G — произвольная динамическая функция, г — параметр) применить к обоим подынтегральным сомножителям в соотношении (2.2.4), 7710 значение этлго интеграла останется неизменным [c.55]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...