Законы движения Коши

Уравнения закона сохранения количества движения (3.11), (3.13) и (3.14) иногда называют законом движения Коши. [c.69]

Законы движения Коши [c.142]

Теперь дадим локальную запись уравнений баланса количества движения и момента количества движения. Прежде всего, полагая F = x, Ф = Т и S = b, мы преобразуем (HI. 4-1) в (П1.3-.16), и в силу (HI. 4-4) получаем первый закон движения Коши [c.142]

Это — второй закон движения Коши если выполняются предположения, при которых имеют место первый закон и баланс количества движения, то баланс момента количества движения эквивалентен симметричности тензора напряжений. [c.142]

Два закона движения Коши были доказаны при помощи рас-суждений, применимых только к внутренним точкам. На границе тела, не контактирующего ни с каким другим телом, эти рассуждения уже не имеют силы. [c.143]

Возвращаясь теперь к рассмотрению материала с произвольной труппой равноправности, мы можем получить дифференциальные уравнения движения для упругого тела, подставив определяющее соотношение (1) в первый закон движения Коши, для которого мы выберем форму (VII. 2-6) i [c.299]

Поскольку и = х, то, согласно (УП.2-6), мы можем записать первый закон движения Коши в виде [c.306]

С другой стороны, мы знаем из первого закона движения Коши в форме ( 11.2-6), что если Ь непрерывно на 9, то [c.336]

Мы уже вывели специальную форму первого закона движения Коши для однородных изотропных материалов [c.345]

Мы должны отметить, что для гиперупругого тела в действительном движении, т. е. в таком движении, которое удовлетворяет первому закону движения Коши, объемный интеграл от р а, вообще говоря, не дает полной совершенной работы. Работа Wi2 может быть вычислена по формуле (XII. 12-1) ь которая больше не сводится к (XII. 12-1)г (ср. родственный результат (XII. 7-1)). [c.370]

XI. 4.2. Подставив (IV. 4-4) в первый закон движения Коши (III. 5-1), придем к динамическому уравнению для эйлеровых жидкостей [c.550]

ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ КОШИ [c.28]

Уравнение (5.21) называется первым законом движения Коши. [c.28]

Уравнение (5.30) называется вторым законом движения Коши. Уравнения (5.31) и (5.32) показывают, что вследствие этого закона тензоры напряжений и симметричны. Таким образом, из девяти компонент напряжения независимы только шесть. [c.29]

В первой скобке мы узнаем члены, входящие в первый закон движения Коши (5.21). Значит, если удовлетворяется уравнение количества движения, то первая скобка обращается в нуль. Остающийся интеграл должен обращаться в нуль для любого объема. В предположении непрерывности подынтегрального выражения вторая скобка тоже должна обращаться в нуль, и мы приходим к следующей локальной форме первого закона термодинамики [c.194]

Вычисление функции 1/(1) завершает решение задачи Коши об определении закона движения материальной точки по заданным начальным значениям радиуса-вектора и вектора скорости. [c.263]

Проще всего численно решаются задачи с начальными условиями (задача Коши), к которым относятся, например, многие задачи динамики систем с конечным числом степеней свободы. Зная начальные условия — смещения и скорости всех точек в начальный момент времени, а также законы изменения возмущающих сил, можно определить и законы движения системы. [c.446]

Так, в частности, задачей Коши является задача об определении закона движения тела при заданном его положении и заданной скорости в момент t = to- [c.455]

Неочевидной представляется попытка применения основных идей конструирования степенных характеристических рядов для представления решений сильно нелинейных вырождающихся параболических уравнений, каким является уравнение Лейбензона [8]. Хотя для таких уравнений типичной является ситуация [9], когда фронт возмущения, порожденного каким-либо заданным краевым режимом, движется по области нулевого фона (нулевого давления для уравнения Лейбензона) с конечной скоростью, как и для гиперболического случая, тем не менее возможность применения степенных рядов для описания решения в возмущенной зоне является нетривиальной, т.к. параболические уравнения не являются уравнениями типа Коши-Ковалевской. Для линейного уравнения теплопроводности, например, ряды Тэйлора, как правило, расходятся. В отличие от гиперболических систем, для которых характерна независимость скорости движения поверхности слабого разрыва по заданному фону от вида краевого режима, для вырождающихся параболических уравнений скорость движения фронта возмущения целиком определяется заданным краевым режимом и может быть найдена только в процессе определения возмущенного решения. Тем не менее оказалось, что степенные ряды, особенно в специальном пространстве переменных (аналог временного годографа), позволяют эффективно строить поля давления в задаче о нестационарной фильтрации газа и находить закон движения фронта фильтрации в зависимости от краевого режима. [c.282]

Как уже отмечалось, при исследовании сходимости рядов (6), (20) в случае их применения для решения поставленной смешанной задачи Коши (2), (3) методы доказательства теорем типа теоремы Коши-Ковалевской (в частности, метод мажорант) непосредственно неприменимы. Однако, если рассматривать обратную задачу [12], когда вместо задания краевого условия (2) задается аналитический закон движения фронта фильтрации if, (функция ао( ) в (17)), то справедливы соответствующие аналоги теоремы Коши-Ковалевской, из которых следует сходимость рядов (6), (20) и аналитичность функции f t) в (5), порождаемой заданной функцией ao t). В [12] такие теоремы установлены в пространственном случае для уравнения [c.287]

Но тогда вектор A (i, r(i)), где г(/) — закон движения частицы среды, удовлетворяет такому же линейному дифференциальному уравнению (1.201), что и вектор A(i, г( )), и, кроме того, эти векторы в начальный момент времени в силу (1.202) совпадают. Поскольку задача Коши для обыкновенного линейного дифференциального уравнения имеет единственное решение, то [c.229]

Вклад в науку о подобии сделали такие ученые, как Коши, который установил законы звуковых явлений в геометрически подобных телах (на основе уравнений движений упругих тел) Гельмгольц, который определил условия подобия гидродинамических явлений Филлипс, установивший законы колебаний мостов, и др. [c.9]

Непрерывные жидкости, удовлетворяющие гипотезе Эйлера, называются невязкими ). Как показал Коши, напряжение в невязкой жидкости должно быть одинаковым во всех направлениях (изотропным) получающаяся скалярная функция р , t) может быть названа давлением. Далее, закон сохранения количества движения эквивалентен следующему векторному уравнению в частных производных [c.19]

Все эти экспериментальные исследования, несомненно, послужили мощным толчком к тому, чтобы предпринимать попытки к теоретическим исследованиям по вопросу о составлении дифференциальных уравнений движения жидкости с учётом не только давления", но и внутреннего трения. К этому времени стали открываться возможности для теоретических исследований такого рода в связи с развитием механика упруго деформируемого тела. Накопление исследований и решений конкретных задач по теории изгиба брусьев, по теории кручения стержней и по теории колебаний стержней и пластинок на основе использования закона Гука о пропорциональности напряжений деформациям создало все предпосылки не только к тому, чтобы установить общие уравнения равновесия и колебаний упругих тел, но и к тому, чтобы закон Гука в несколько изменённой форме распространить на жидкость и на основе этого создать дифференциальные уравнения движения жидкости с учётом внутреннего трения. Этим обстоятельством и объясняется тот факт, что создатели математической теории упругости—Навье, Пуассон, Коши, Сен-Венан и Стокс оказались одновременно и создателями математической теории движения вязкой жидкости. [c.14]

Если гиперповерхность (4.10) и заданные на ней функции v ,. .. таковы, что (4.15) обращается в нуль, система (4.14) может допускать лишь неопределённые решения. Чтобы эти решения оставались конечными, необходимо при этом потребовать обращения в нуль всех определителей, составленных путём последовательного введения правых частей (4.14) в столбцы определителя системы. В таком случае многообразие (4.10) называется характеристическим многообразием (характеристической гиперповерхностью) или просто характеристикой. Заметим, что при вычислении старших производных нам придётся иметь дело вновь только с определителем (4.15). Таким образом, если в задаче Коши есть характеристическая поверхность, то, если и существует решение задачи Коши, оно может не быть единственным. Это значит, что могут найтись два различных решения, принимающих на одни и те же значения, у которых, однако, уже первые производные на <3 различны таким образом может оказаться, что с разных сторон от движение представляется разными законами, а на самой гидродинамические элементы обоих движений (но не их производные) совпадают. Но в таком случае мы назвали бы <5 перемещающейся поверхностью слабого разрыва. В самом деле, не представляет никакого труда убедиться, что условие равенства нулю (4.15) будет совпадать с одним из условий (4.9). Для этого стоит лишь ввести скорость распространения б характеристики [c.27]

Если принять за основные функции неизвестные перемещения, то решение задачи теории упругости можно свести к интегрированию системы трех дифференциальных уравнений в перемещениях. Действительно, заменяя в дифференциальных уравнениях равновесия (движения) (2.22) компоненты напряжений через компоненты деформаций согласно обобщенному закону Гука (2.24), а затем с помощью геометрических уравнений Коши (2.23) представляя компоненты деформаций через компоненты перемещений, получаем три дифференциальных уравнения равновесия в перемещениях [c.74]

Первый, кто дал теоретическое объяснение закону Савара, был Коши. В Ме-муаре, представленном Академии наук в 1879 г., он показал, что этот закон следует из линейности уравнений движения. Он рассмотрел общие уравнения движения упругого тела для малых отклонений частиц, не предполагая, что упругие свойства в различных направлениях одинаковы. Эти уравнения служат для определения перемещений ( , ц, ) частицы в функции времени t и координат (х, у, z) частицы в ее невозмущенном положении, и их можно разбить иа два класса. Одни прилагаются ко всем внутренним точкам упругого тела, другие — к точкам его поверхности. Эти уравнения можно найти в любом курсе по упругости, Непосредственной проверкой можно убедиться, что эти уравнения сохраняются при замене переменных 5, т). i, х, у, г, t на k i, kr, kt,, kx, ky, kz, kt, где k — произвольная постоянная, если только силы изменяются в отношении k 1. Следовательно, если силы отсутствуют, то для того, чтобы период колебаний и перемещения т , изменились в отношении 1 к, достаточно изменить в этом отношении размеры упругого тела и начальные значения 5, т , Таким образом, мы получили обобщение закона Савара, данное Коши. Если высоту тона звучащего тела, пластины или упругого стержня измерять числом колебаний в единицу времени, то она изменяется обратно пропорционально линейным размерам тела, пластины или стержня в предположении, что все размеры меняются в одном и том же отношении. [c.316]

Для тех читателей, которые не задержались, чтобы проследить доказательства теорем, приведенных в предыдущем параграфе, мы дадим здесь набросок собственны) рассуждений Коши, с помощью которых он выводил утверждение (2) из своего постулата (1) и закона количества движения без использования (III. 1-42). [c.133]

Читатель, готовый принять постулат Коши (1) и предположения о гладкости Ь — х и t, которые были сделаны в ходе доказательства фундаментальной леммы Коши, может переходить к следующему параграфу. С другой стороны, читатель, который проследил за рассуждениями, проведенными в предыдущем параграфе, заметит, что одно из этих предположений о гладкости является излишне сильным, тогда как справедливость второго уже была доказана в математической теории, опирающейся на (III. 1-12). Кроме того, и (3) есть частный случай (111.1-16). Фактически, как мы сейчас увидим, справедливость постулата Коши можно получить как следствие закона количества движения и весьма умеренных предположений о гладкости. [c.134]

В силу фундаментальной теоремы Коши (1) мы можем следующим образом записать законы количества движения и момента количества движения (III. 1-8) 1,2 с помощью тензора напряжений Т [c.140]

Во внутренних точках областей, в которых,х и Т достаточно гладки, уравнения количества движения и момента количества движения выражаются двумя законами движения Коши. Второй закон (III. 5-4) налагает требование симметричности напряжений. Первый закон (III.5-1) связывает поле напряжений с ускорением X в инерциальной системе отсчета, при условии что поле массовых сил Ь известно. Мы будем считать поле которое описывает действие на тело 3S некоторых неконкретизируемых внешних тел, заданным. Хотя на практике в лабораториях и в повседневной жизни встречается лишь несколько специальных массовых сил, например сила тяжести, — а на деле при рассмотрении конкретных задач механики сплошной среды мы даже обычно ограничиваемся случаем Ь = О, — в принципе у нас нет способа как-то очертить класс всех возможных полей массовых сил. Поэтому во всех рассуждениях, относящихся к совокупности всех возможных движений тела, мы вынуждены считать, что Ь не подчинено никаким ограничениям. Каковы бы ни были х и Т, полеЬ, удовлетворяющее уравнению баланса, количества движения, определяется соотношением (III. 5-1) или, если система отсчета неинерциальна, соотношением (III. 5-5). Таким образом, первый закон Коши вообще не налагает никаких ограничений на х и Т. [c.149]

Где п —постоянный вектор и р — вектор положения. Поскольку малое смещение (1) налагается иа однородцую конфигурацию, то А не зависит от X и первый закон движения Коши принимает вид [c.553]

XII. 2.3. Если Ь = О и тело находится в состоянии равновесия в отсчетной конфигурации, то подстановка наложенных сииуеоидальиых колебаний в (IX. 2-4) и первый закон движения Коши приводят к дифференциальному уравнению [c.556]

Хотя рассмотренные общие приемы построения дискретных моделей в принципе применимы к любым непрерывным полям, мы удем заниматься главным образом термомеханическими явлениями, поскольку именно с ними связаны наиболее важные проблемы нелинейной механики твердых тел. Термодинамические законы естественным образом устанавливают связь кинематических и динамических переменных с другими величинами, характеризующими термодинамическое состояние тел. Глобальные знергетические законы сохранения дополняют локальные уравнения сохранения количества движения и момента количества движения. Их можно использовать для получения конечнозлементных уравнений, удовлетворяющих, по крайней мере в некотором осредненном смысле, основным физическим законам (например, законам движения Коши) для конечных объемов тела. [c.189]

Рассмотренный подход к задаче о примыкании установившего ся течения в канале к не стационарному течению в канале с подвижными стенками, разумеется, не будет единственным. В данном подходе имеются следующие возможности можно произвольно задавать форму линий АС и BD в физической плоскости и в плоскости годографа и комбинацию функций в, 6i и 02 вдоль нее, а также распределение скоростей вдоль подвижных стенок канала. Этот произвол позволяет, в частности, рассмотреть вопрос о получении неустановившего ся течения с заданными свойствами (например, можно максимально ускорить стационарный вначале поток в областях АСR, BRD и затем определить соответствующий закон движения подвижных стенок канала). В принципе можно было бы задавать какие-либо дополнительные условия на линиях подвижных стенок канала АР и BQ, решать задачу Коши в областях АРЕ и BFQ и, найдя характеристики АЕ и BF, решать задачу с начальными данными на двух характеристиках в областях AE R и BRDF. [c.68]

Известно [17], что при выполнении условия (42) фронт возмущения, распространяв ющегося по нулевому фону, вызванного краевым режимом (44), движется с конечной скоростью. По в отличие от гиперболических уравнений, когда фронт возмущения распространяется с местной скоростью звука, так что его форма может быть легко най дена без решения дифференциальной задачи, в данном случае закон движения фронта определяется заданным краевым режимом (44) и может быть найден лишь в процессе решения поставленной смешанной задачи Коши. [c.233]

Рассматривая эти сочинения, мы замечаем, что теория движения изменяемых систем различных частных видов развилась главным образом из обобщения и расширения идей о движении твердого тела общая же теория движения изменяемой системы имела свое начало в теории упругости и гидродинамике. Мы видим, что., несмотря на близкое сродство этих двух отделов кинематики изменяемой истемы, несмотря на то, что они должны бы итти, расширяя и пополняя один другого, они всегда развивались особняком так, например, идеи Коши о движении частицы как кажется, были неизвестны авторам, писавшим по ки нематике изменяемых систем частного вида, и наоборот мы встречаем в применении к жидкой частице доказатель 1-тво теорем, уже известных для тела, однородно изменяе мого. С другой стороны, мы видим, что общие законы дви жения непрерывного изменяемого тела были по большей части тесно связаны вместе с динамическими соображениями, и только в сочинении Бельтрами им посвящена отдельная статья. Это сочинение не оставляет ничего более желать по добросовестной отделке и глубине мысли но, [c.9]

Соотношения (12.1) и (12.2) по своему формальному виду совпадают с соотношениями для упругой среды, подчиняющейся обобщённому закону Гука, с той лишь разницей, что вместо самих деформаций для упругой среды в рассматриваемом с.тучае входят скорости деформаций. На этом основании гипотетическую среду, для которой принимаются соотношения (12.1), можно именовать чисто вязкой средой. В чисто вязкой среде напряжения возникают лишь тогда, когда возникают скорости деформаций частиц. Дифференциальные уравнения движения такой среды впервые были предложены ещё Коши в 1828 г., а затем в 1877 г. Бочером ). в качестве примера такой чисто вязкой среды Бочер привёл канадский бальзам. [c.67]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...