Эволюция системы случай

Эволюция системы случай < О (табл. 2). В области /г < О ситуация значительно сложнее, чем для h > (). Прежде всего множества PEf если и являются подмногообразиями коразмерности 1, то заведомо плохо вложенными в Неясно, являются ли они аналитическими. Автор придерживается следующей гипотезы, восходящей к А. Н. Колмогорову. [c.138]

Предположим, что суммирование по 5 в (4.3.30) ведется в пределах 1 < 5 < ш. Тогда в квазиравновесном состоянии приведенные матрицы плотности при s <т рассматриваются как независимые неравновесные величины, а матрицы плотности более высокого порядка выражаются через них. Частный случай ш = 1 соответствует граничному условию Боголюбова, согласно которому все приведенные матрицы плотности в отдаленном прошлом выражаются через одночастичную. Если в формуле (4.3.30) мы положим 5 = О при 5 > 3, то получим статистический оператор для квазиравновесного ансамбля, в котором заданными величинами являются одночастичная и двухчастичная матрицы плотности. Этот ансамбль описывает важные долгоживущие корреляции, например, связанные двухчастичные состояния ). Эволюция системы описывается системой уравнений для одночастичной и двухчастичной матриц плотности. Здесь мы не будем излагать эту довольно сложную теорию, а рассмотрим один частный, но важный пример обобщенного квазиравновесного статистического оператора, который соответствует объединению кинетического и гидродинамического описаний квантовых процессов [128]. [c.289]

Время релаксации и проблема плато . Мы собираемся теперь обсудить одну важную особенность формул для матрицы функций памяти, выведенных в предыдущих разделах. Для простоты ограничимся случаем единственной базисной динамической переменной Р, описывающей макроскопическую эволюцию системы. Обобщение на произвольное число базисных переменных не составляет труда и требует лишь перехода к матричным обозначениям [32]. [c.382]

Обмен энергией между двумя подсистемами. Предположим, что интересующую нас систему можно разделить на две подсистемы, обмен энергией между которыми происходит достаточно медленно ). Тогда можно считать, что процесс релаксации протекает в два этапа. Длительность первого этапа примерно равна времени релаксации = max ri,T2 , где и Г2 — характерные времена установления частичного равновесия в подсистемах. В конце этого этапа макроскопические состояния подсистем характеризуются неравновесными температурами Ti t) и T2 t). Второй, более медленный, этап релаксации всей системы описывается на шкале времени с физически бесконечно малым интервалом А , удовлетворяющим неравенству > г ,. Тогда вообще нет необходимости рассматривать, как именно возникает частичное равновесие в подсистемах, и эволюцию системы можно описать релаксационными уравнениями для температур Ti t) и Т 2( ), которые при t оо стремятся к равновесной температуре Т. Нашей задачей будет вывод закона изменения со временем неравновесных температур подсистем. Для определенности рассмотрим квантовый случай. [c.90]

В то же время, на основании сказанного раньше легко видеть, что, вводя таким образом вероятностные предположения, которые только и делают возможным переход от интегральной /Г-теоремы к локальной , мы делаем допущение, которое отнюдь не является логически очевидным и физически правильным. В самом деле, аргументы 12 и 13 целиком сохраняются и по отношению к рассматриваемому случаю. Эти аргументы сводились к невозможности определить условия опытов, необходимых для того, чтобы проверить указываемое распределение вероятностей, т. е. для того, чтобы придать ему физический смысл. Рассматриваемая постановка задачи отличается лишь тем, что вместо того, чтобы говорить о геометрических вероятностях (о всех микросостояниях выделенной области), мы говорим о вероятностях элементов дискретного бесконечного множества, которые соответствуют различным осуществлениям данного макроскопического состояния (данного значения энтропии) при движении по заданной бесконечно простирающейся динамической траектории. Аргументы 12 и 13 показывают, что не может иметь никакого физического смысла категория испытаний, при которых точки заданной динамической траектории, характеризующиеся определенным значением энтропии и соответствующие различным моментам эволюции системы, обладали бы определенными вероятностями (например, были бы одинаково вероятными) быть обнаруженными в данный момент. [c.116]

В предыдущих разделах мы рассмотрели случай материальных точек, которые непрерывно взаимодействуют одна с другой согласно уравнениям движения (1.1). Часто бывает удобно рассматривать предельные случаи, в которых между точками происходят только дискретные взаимодействия с конечными импульсами (жесткие столкновения) при этом силы не могут быть описаны обычными функциями и с уравнением Лиувилля нужно обращаться иначе. Предельный случай жесткого столкновения полезен, так как он дает более наглядное представление об эволюции системы и служит хорошим приближением для интенсивных сил отталкивания, с которыми реальные молекулы взаимодействуют на близких расстояниях. Эти соображения приводят к концепции газа из твердых сфер, т. е. системы многих биллиардных шаров , которые не взаимодействуют на расстоянии и сталкиваются по законам упругого удара. Диаметр сфер о эквивалентен радиусу действия сил взаимодействия реальных молекул. Фактически газ из твердых сфер можно представлять как систему материальных точек, которые не взаимодействуют, если расстояние между ними больше а, и взаимодействуют с формально бесконечной центральной силой отталкивания, когда это расстояние становится в точности равным а, так что большее сближение невозможно. [c.23]

Это линейное дифференциальное уравнение параболического типа, дополненное условием нормировки, начальными и граничными условиями, полностью определяет решение для искомой функции p(i, г). Это решение определяет эволюцию системы на временах < > 1/Г, которая имеет релаксационный характер (к распределению Больцмана) с некоторым временем релаксации т ояп, зависящим уже не только от индивидуальных свойств среды и брауновских частиц, но и от формы сосуда, типа его фаниц, начального распределения и т.д. Некоторые простейшие примеры, допускающие точное решение этой задачи математической физики, отнесены в раздел задач. Рассмотрим здесь только одну — ту, которая соответствует случаю свободного одномерного брауновского движения, и убедимся на этом примере, что схема уравнение Фоккера—Планка плюс соответствующие дополнительные условия дает все требуемые для t > 1/Г результаты. [c.96]

Идеи Больцмана намного опережали свое время. Сведение статистических закономерностей к динамическим предопределяло бы повторяемость, неизменность одних и тех же видов движения, форм жизни. Случайности же, допускаемые природой, означают развитие, эволюцию. Больцман не случайно называл XIX век веком Дарвина. В биологии законы случая являются основными, наследственная изменчивость (случайные отклонения характеристик организма от наиболее часто встречающихся, средних) не затухает, если наследуемые признаки обеспечивают организму лучшие условия существования и размножения. Физическая система также эволюционирует в сторону максимума энтропии. [c.87]

Наиболее простым случаем стационарного подвода энергии при циклическом нагружении материала является режим одноосного растяжения с неизменной во времени амплитудой, средним напряжением цикла, а также с неизменной во времени температурой, частотой и прочее. В эволюции состояния элемента конструкции можно выделить, по крайней мере, два критических положения или две критические ситуации момент возникновения трещины, когда устойчивость системы сохраняется, но меняется способ поглощения циклической энергии, и момент достижения усталостной трещиной критических размеров, когда происходит переход от устойчивости к катастрофе, т. е. полное разрушение. Однако еще до возникновения трещины, так же как и в процессе ее распространения, [c.120]

Для системы в переменном внешнем поле, описываемой, например, гамильтонианом (1.1.2) с потенциалом Ф (г, ), оператор Лиувилля явно зависит от времени. Нетрудно, однако, распространить соотношения (1.1.24) и (1.1.30) на этот случай, используя более общие операторы эволюции (см. приложение 1А). [c.19]

Мы уже отмечали, что в некотором смысле теорию Кубо можно рассматривать как частный случай подхода, развитого в разделе 5.1.1, так как в теории Кубо используется специальная форма граничного условия статистического оператора [см. (5.1.52)]. Отметим, однако, что это условие далеко не так очевидно, как кажется на первый взгляд. Оно означает, что сначала система находилась в тепловом равновесии с термостатом, а в дальнейшем влияние термостата не учитывается, поскольку гамильтониан Я + Н] относится лишь к самой системе. Другими словами, формулы Кубо (5.1.57) и (5.1.59) описывают отклик изолированной системы на внешние механические возмущения. Вообще говоря, этот отклик не обязан совпадать с откликом системы, находящейся в процессе эволюции в контакте с термостатом. Так как реальные системы всегда взаимодействуют с окружением, исключение влияния термостата не вполне соответствует условиям реальных экспериментов. С этой точки зрения метод, изложенный в разделе 5.1.1, кажется более последовательным, поскольку использование квазиравновесно-го распределения Qq t) для формулировки граничного условия к уравнению Лиувилля можно рассматривать как нарушение абсолютной изоляции системы. [c.351]

Основное кинетическое уравнение (7.3.15) легко обобщить на случай открытой системы, взаимодействующей с переменными внешними полями. Для этого нужно решить уравнение (7.3.13) с зависящим от времени оператором Лиувилля iLg t). Тогда ядро 1Z в основном кинетическом уравнении будет содержать оператор эволюции, упорядоченный по времени (см. задачу 7.11). [c.119]

При соотношении времен релаксации, отвечающем случаям (е), (f), система испытывает затухающие колебания в плоскости, соответствующей двум наибольшим их значениям. Характерно, что для обоих этих случаев наибольшее значение имеет время, отвечающее управляющему параметру. Как отмечалось в п. 1.2, причиной возникновения колебаний является критическое возрастание времен т,, тд согласно соотношению типа (1.11). Вблизи критической точки S оно обеспечивает соизмеримость величин Tr, s - сГ Ts (в случае (е)) и Th s - сГ. тз (в случае (f)), в результате чего связь между соответствующими параметрами т , 5 и Л, 5 принимает резонансный характер. Что касается эволюции вдоль осей h и 7 , отвечающих в случаях (е), (f) наименьшим временам, то она сохраняет тот же характер, что и при выходе на универсальный режим — система со скоростью в ts/t (случай (е)) и Тз/ц (случай (f)) раз большей, чем частота колебаний, переходит в соответствующую плоскость по перпендикулярной оси. [c.44]

Таким образом, учёт второй гармоники в зависимости восстанавливающего момента от угла нутации Ма а) приводит к возникновению качественно новых свойств, не характерных для случая Лагранжа, обусловленных возможностью появления на фазовом портрете системы особой точки типа седла, соответствующей неустойчивому положению равновесия. При наличии возмущений происходит эволюция величины энергии Е, что может привести к проходу её через критическое значение Это соответствует пересечению фазовой траекторией сепаратрисы, когда осуществляется переход между областями фазовой плоскости, внешне сопровождающийся скачкообразным изменением амплитуды колебаний угла нутации. Эту важную особенность необходимо учитывать при построении асимптотических приближений возмущённой системы. [c.76]

Управляемые динамические системы. В этом подразделе рассматриваются управляемые динамические системы с сосредоточенными параметрами. Сказанное означает, что речь идет о динамическом объекте, оснащенном системой управления. Термин управляемая система с сосредоточенными параметрами означает, что состояние объекта управления и состояние системы управления описываются конечным числом параметров. Мы сужаем себя до случая, когда эволюция состояния объекта во времени может быть описана системой дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши [c.33]

По существу задача ЯВБ сводится к определению сжатия активных материалов ядерного заряда при аварийном взрыве ВВ, вероятности возникновения обрывающихся процессов цепной реакции деления и эволюции нейтронного поля в ядерном заряде. Обычно рассматривается наихудший случай, при котором реализовывается максимальное сжатие, точнее, максимальное число поколений в надкритической системе Л = , где Х - постоянная размножения числа нейтронов [c.124]

Проблема интегрируемости. Переход от уравнений движения (1.1) и (2.7) к гамильтоновой системе со скобкой (1.10) и (2.17), описывающей эволюцию взаимного расположения вихрей, соответствует процессу редукции в алгебраической форме. Для реального понижения порядка необходимо, так же как и в случае плоскости, ввести некоторую систему координат (не обязательно канонических) на симплектических листах, которые и являются фазовым пространством приведенной системы. В дальнейшем ( 3) мы проделаем эту процедуру для частного случая при N = Ъ, при введении канонических (симплектических) координат, которые выражаются в очень частном случае через эллиптические функции. При К = 4 нам удалось построить соответствующие симплектические координаты только для случая плоскости, для случая сферы можно указать лишь общие соображения, позволяющие разобрать общий алгоритм, хотя и не являются каноническими, но также могут быть использованы для аналитических и численных исследований. [c.43]

Отметим важный частный случай, когда С2 — Хо > хо и Г=0. При этом правая часть (1.15) представляет собой (с точностью до множителя) амплитуду вероятности обнаружить в момент Хд состояние (х) Фц, если в момент Хо система находилась в состоянии (х ) Фд. В частности, при X = X функция К (X, х X, х ) описывает временную эволюцию состояния (X, Хд) Фд. При Т Ф О, как и раньше, следует говорить об эволюции смешанного ансамбля. [c.23]

Однако квантовая механика не дает способа определения чисел С ее помощью можно ввести систему функций (например, использовать для этого собственные функции оператора Гамильтона), можно определить эволюцию заданного смешанного состояния как следствие уравнения Шредингера (см. том 3), но она не дает самих Поэтому наша ближайшая задача состоит в том, чтобы определить из немеханических соображений (если таковые вообще найдутся) структуру смешанного состояния, т.е. вид распределения для одного частного, но принципиально важного случая — для термодинамически равновесной статистической системы. [c.25]

Задача 68. В условиях предыдущей задачи рассчитать эволюцию вероятностей W и w , если в момент t = О включается внешнее поле, вызывающее нескомпенсированные вынужденные переходы с вероятностями Рп > Р2. Рассмотреть случай достижения системой состояния с отрицательной температурой. [c.442]

Согласно теореме Рюэля—Таккенса [1] (см. также п. 2.5) нетривиальная картина самоорганизации достигается лишь в том случав, если число степеней свободы, параметризующих эволюцию системы, составляет не менее трех. В этой связи уместно предположить, что управляющий параметр е(<) сводится к константе 6=1 только в предельном случае < 00, а при конечных временах изменяется в соответствии со значениями внутреннего параметра т 1) и сопряженного поля 5(<). Однако, если в автономном режиме величины а 1) достигают нулевых значений, то управляющий параметр е 1) стремится при < - оо к конечной величине е Ф о, задаваемой внешним воздействием. В результате уравнение его эволюции записывается в виде [c.81]

Рд). В физической области п, р > О состояние системы при любых начальных значениях плотностей дислокаций и границ характеризуется фазовой траекторией, стремящейся к фокусу Р. Такое поведение отвечает колебательному выходу на режим п = Пр, р = рр со скоростью, определяемой интенсивностью процессов аннигиляции дислокаций [233]. При полном ее отсутствии (р = оо) верхнее седло 3(0, р ) смещается на бесконечность, фокус Р перерождается в центр, а витки спирали — в замкнутые кривые, охватывающие его. Именно такой случай Ро = 00 отвечает классической постановке задачи хищник—жертва [232]. При этом эволюция системы протекает по одной из замкнутых кривых, охватывающих центр. Включение процессов аннигиляции дислокаций, отражающееся спаданием параметра < оо, приводит к трансформации замкнутых интегральных кривых в витки спирали, число которых уменьшается с усилением аннигиляции. Поскольку каждый из витков отвечает провалу на зависимости Ну , то из рис. 73 следует, что в действительности спираль должна содержать небольшое число таких витков. С ростом деформации система эволюционирует по одному из них, например, витку АВСПЕ на рис. 74. При этом плотность дислокаций сначала уменьшается от р до р . (на кривой зависимости Ну е ) это отвечает [c.264]

Выше мы показали, что под действием интенсивной нагрузки ансамбль дефектов может испытывать автокаталитическое размножение с образованием гидродинамической моды пластического течения ( 2) или циклическое изменение плотности дефектов ( 3). В обоих случаях величина деформации монотонно возрастает с течением времени или остается постоянной. Это связано с тем, что в процессе самоорганизации поле деформации ифает роль медленно меняющегося параметра порядка. В настоящем параграфе будет рассмотрен более сложный случай, когда колебательный характер эволюции системы может проявляться при изменении самого поля пластической деформации. [c.269]

Исследовательский институт им. Мехты совместно с Индийским математическим обществом с 17 мая по 15 июня 1976 г. организовал четырехнедельный курс лекций на тему Гиперболические системы уравнений в частных производных и нелинейные волны . Они были ориентированы на научных работников, желающих познакомиться с этой увлекательной и вместе с тем полезной областью современной науки, в которую за последние годы было вложено много творческих сил. Автор прочитал ряд лекций по некоторым аспектам нелинейных волн. В основном он сосредоточил внимание на стационарных решениях знаменитых уравнений Бюргерса к Кортевега — де Фриза (КдФ), на взаимодействии солито-нов, на понятии групповой скорости для нелинейных диспергирующих волн и более кратко коснулся общего уравнения эволюции, частным случаем которого является уравнение КдФ. Из многих эволюционных уравнений, привлекавших внимание выдающихся ученых последние два десятилетия, мы выделили два указанных выше модельных уравнения, поскольку уравнение Бюргерса является простейшим при изучении диссипирующих волн, а уравнение КдФ — простейшая модель для диспергирующих волн. Причем последнее уравнение особенно важно благодаря существованию решений типа уединенной волны. [c.7]

Здесь М — случайный оператор "измерения". Будем считать, что М "вмешивается" в эволюцию системы по закону случая, т.е. в соответствии с распределением Пуассона со средним интервалом времени между "измерениями" А/ = т. Пусть сразу же после "измерения", которому мы припишем г = О, функция ф коллапсирует в пакет (140). Так как этот пакет содержит два параметра и, то в определение оператора М должна входить инструкция, как этими параметрами следует распорядиться. Перед следующим ударом решение ф имеет вид (141), т.е. ф, = ехр -1Н1/Ь)фо, где / отсчитывается от предыдущего удара. Мы условились считать Ь 4 а, так что приближенно можно положить [c.141]

При t (1.13) переходит в (1.12). Двухвременные средние типа (1.13) играют важную роль в кинетических задачах, ибо описывают эволюцию системы во времени. Действительно, рассмотрим сначала случай 7 = 0. Тогда правая часть (1.13) превращается в квантовомехаиическое среднее по основному состоянию системы [c.22]

Произвольное начальное малое возмущение определяется некоторым числом независимых параметров. Дальнейшая же эволюция возмущения определяется системой линеаризованных граничных условий, которые долисны удовлетворяться на поверхности разрыва. Поставленное выше необходимое условие устойчивости будет выполнено, если число этих уравнений совпадает с числом содержащихся в них неизвестных параметров — тогда граничные условия определяют дальнейшее развитие возмущения, которое при малых t > О останется малым. Если же число уравнений больше или меньше числа независимых параметров, то задача о малом возмущении не имеет решений вовсе или имеет их бесконечное множество. Оба случая свидетельствовали бы о неправомерности исходного предположения (малость возмущения при малых t) и, таким образом, противоречили бы поставленному требованию. Сформулированное таким образом условие называют условием эволюционности течения. [c.467]

Определим характер эволюции закрытой системы (2,34). Пока выполняются условия (2.46), можно изучать эволюцию (2.34), анализируя поведение (2.30) при ра.зличных значениях параметра а = klRiik R ki. Рассмотрим два случая. [c.54]

Однако в эксперименте часто наблюдают неэкспоненциальное затухание сигналов фотонного эха. Очевидно, что теория такого эха должна строится на основе уравнений для матрицы плотности, которые более точно описывают эволюцию электрон-фононной системы, чем способны это сделать оптические уравнения Блоха. Такие уравнения были выведены нами в пункте 7.2 для случая монохроматического лазерного возбуждения. Однако фемтосекундные лазерные импульсы, применяемые в современных экспериментах, не могут быть монохроматическими из-за известного соотношения неопределенности Гайзенберга. Поэтому систему, облучаемую такими импульсами мы должны рассматривать на основе уравнений (15.26) либо (15.30), которые включают в себя не квантовое электромагитное поле, а классическое. Эти уравнения могут использоваться и при коротких импульсах возбуждающего света. [c.224]

Свое исследование макроскопических уравнений мы начнем отнюдь не с самого простого случая. Именно, прежде всего изучим эволюцию той величины, которая составляет основу неравновесной термодинаьшки. Свойство, которое мы собираемся установить здесь, действительно является краеугольным камнем любой макроскопической теории речь идет о выводе второго закона термодинамики. Как известно, второй закон термодинамики непосредственно связан с понятием необратимости. Этот закон гласит, что существует такая функция состояния — энтропия, которая не сохраняется. Более того, в ходе спонтанной эволюции изолированной системы эта фзщкпдя может лишь возрастать во времени в результате необратимых процессов, идущих в системе. Возрастание прекращается только тогда, когда система приходит в равновесное состояние при этом энтропия достигает максимума. При локальной формулировке скорость изменения плотности энтропии S (х t) выражается уравнением баланса типа (12.1.19) [c.55]

Для частного случая магнитных систем, когда динамическими неременными являются проекции магнитного момента М, линейные уравнения тина (5.3.18) были получены Калашниковым и Ауслендером [31]. Система уравнений эволюции для произвольного набора базисных переменных, эквивалентная (5.3.18), выведена в работе [41]. [c.376]

Исследования движения планет и других тел солнечной системы, которыми занималась классическая небесная механика, были, как правило, несколько утилитарны — приспособленными к случаю орбит, лежаш.их почти в одной плоскости и мало отличаюш ихся от круговых. Такой подход, конечно, был оправдан запросами астрономической практики. С запуском космических аппаратов приобрели интерес исследования, не накладываюш ие никаких ограничений на форму и взаимное расположение орбит. Так как орбита, как правило, на небольшом интервале времени мало отличается от кеплеровской, то очень интересно проследить эволюцию орбиты за достаточно большой кусок времени. Цикл работ в этом направлении выполнен М. Л. Ли-довьш [14]. В исследованиях он широко пользовался асимптотическими методами нелинейной механики, а именно, методом усреднения по быстрым движениям и анализом получаюш,ейся усредненной системы дифференциальных уравнений. В небесной механике подобный подход, по-видимому, долгое время не котировался, но совершенно напрасно. Теоретические исследования последнего времени и сравнение с чис- [c.42]

В п. 2.8—2.9 обсуждались пути возникновения хаоса при эволюции динамических систем, описываемых функциями от времени (непрерывного или дискретного — первый случай сводится ко второму, если вместо всего фазового потока рассматривать создаваемое им отображение последования Пуанкаре некоторого трансверсального подмножества фазового пространства). В течениях жидкостей и газов такими функциями от времени являются значения их термогидродинамических характеристик в той или иной фиксированной точке пространства. Однако течения обладают также и пространственной структурой, которая у ламинарных течений упорядочена, а у турбулентных — хаотична, и возникновение хаотической эволюции во времени еще не означает возникновения пространственного хаоса, т. е. перехода к турбулентности. Так, например, стохастизация течения Лоренца, описываемого динамической системой (2.114), не меняет его упорядоченной пространственной структуры — конвективных роликов (2.113). [c.155]

Для общего случая конденсированной среды и без приближения систем со слабым взаимодействием в книге Д. Н. Зубарева [97] показана возможность описания гидродинамической стадии с помощью некоторой неравновесной функции распределения (т.н. неравновесным статистическим оператором), зависящей от времени через свои параметры. Метод неравновесного статистического оператора Зубарева затем развивался в работах С. В. Пелетминского (см. книгу [99]). Если соответствующим образом выбрать параметры, описывающие состояние системы, то можно построить уравнения для динамических переменных, которые будут справедливыми и на кинетическом этапе эволюции [100, 101. [c.65]

В разделе 20.1 мы кратко напоминаем суть рассматриваемой модели. Далее в разделе 20.2, исходя из уравнения Шрёдингера для вектора состояния атомно-полевой системы, формулируется уравнение для функции Вигнера, которая описывает движение только центра инерции атома. Выясняется, что эта функция может быть представлена в виде взвешенной с учётом статистики фотонов суммой функций Вигнера, каждая из которых соответствует движению атома в поле с определённым числом фотонов. В разделе 20.3 приводится аналитическое решение уравнения для функции Вигнера при условии, что длина волны света намного превышает длину де-бройлевской атомной волны. Этот случай называется режимом Штерна-Герлаха. Результатом эволюции функции Вигнера, как отмечается в разделе 20.4, является то, что отдельные фоковские состояния поля приводят к отклонению атома в разных направлениях и к их фокусировке в разных точках. Это свойство позволит нам в разделе 20.5 восстановить статистику фотонов по импульсному распределению атомов. Наконец, в разделе 20.6 с помощью наглядной интерпретации в терминах фазового пространства получены простые выражения для положения и размеров фокальных областей, обусловленных взаимодействием с отдельными фоковскими состояниями. [c.641]

Наиболее эффективными методы символической динамики оказываются в тех ситуациях, где изучаемые детерминированные системы обнаруживают аналогию со случайными процессами. К настоящему времени накопился ряд примеров и даже целые классы динамических систем, в том числе п с конкретным физическим содержанием, которым присущи черты квазнслучайного поведения и для описания которых удобно пользоваться топологическими аналогами некоторых понятий вероятностного происхождения, Подчеркнем, что речь здесь вовсе ие идет о рассмотрении моделей, в которых эволюция явно или неявно подвержена воздействию Случая (в виде случайных параметров, случайных начальных условий или случайного внешнего шума). Мы по-прежнему остаемся в рамках математического детерминизма, т. е. един- Мир , 1979 [c.196]

Рассмотрим теперь промежуточный случай. Пусть система В, например, второй партнер синглета (379), попадает в сложную среду, где наряду с унитарной эволюцией объединенной системы могут вступать в игру механизмы декогерентности. Строго говоря, это означает информационную открытость объединенной системы. Но очень приближенно разрушение когерентности можно описать в виде монотонного убывания всех со временем [c.364]

Этому кругу вопросов, применительно к динамическим системам, были посвящены исследования Лиувилля, который установил общий критерий полной интегрируемости этих систем. Этот критерий заключается в требовании наличия необходимого числа (равного рангу системы) функционально независимых глобальных интегралов движения в инволюции. Важно отметить, что даже для одномерного случая знание вида таких интегралов не всегда позволяет явно проинтегрировать соответствующую систему в обычном смысле, т. е. описать в замкнутой форме ее эволюцию по начальным данным. Аналогичное утверждение имеет место и для двумерия задача Коши зачастую не имеет явного решения, тогда как явные выражения для динамических переменных системы могут быть получены в терминах асимптотических (или свободных) полей — ее динамических характеристик в бесконечно прошлом или в бесконечно будущем . Сказанное требует некоторого разъяснения. [c.6]

К настоящему времени обнаружено и исследовано огромное число периодических орбит. В этом разделе будет приведено только несколько примеров. В период 1913—1939 гг. Штрёмгреном и учеными копенгагенской школы было выполнено исчерпывающее исследование плоской ограниченной задачи при ц. = Уг, когда оба массивных тела имеют единичные массы и отстоят друг от друга на единичном расстоянии (рассмотренную ими специальную задачу обычно называют копенгагенской). Периодические орбиты в этой задаче симметричны относительно оси у (во вращающейся системе координат с началом в центре масс двух массивных тел). Что касается изучения эволюции периодических орбит внутри семейства, то выполненное ими исследование имеет огромную ценность, но ограничено случаем ц, = /4. Поскольку нам известно, что устойчивые периодические орбиты около треугольных точек Лагранжа существуют при ц < 0,0385 (значение ц = 0,0385 называется значением Рауса), то изучением одной копенгагенской задачи ограничиваться нельзя. [c.165]

Благодаря своей простоте квантовые решеточные системы оказываются ценными и в неравновесной статистической механике. Рассматривая предельно простой случай обобш,енной модели Изинга (в смысле, указанном в начале данного пункта), Радин [309] проанализировал поведение во времени величины R) для широкого класса начальных условий и локальных наблюдаемых. Можно показать, что в этом случае эволюция во времени не действует G-абелевым способом. Для физических приложений более важно другое обстоятельство оказывается возможным придать точную математическую форму традиционно принимаемому положению о том, что скорость приближения к равновесию в термодинамическом пределе должна быть связана со степенью непрерывности спектра эффективного гамильтониана. Подчеркнем, что здесь речь идет об эволюции во времени локальной наблюдаемой, погруженной в бесконечную систему, а поэтому гамильтониан, о котором мы говорим, совпадает с тем, который локально реализует эволюцию во времени бесконечной системы. Как оператор этот гамильтониан зависит от гильбертова пространства, на котором он действует в конструкции ГНС, и поэтому степень непрерывности его спектра зависит от представления. Коль скоро начальное состояние фо выбрано, степень непрерывности спектра гамильтониана можно связать с зависимостью функции е ( со — со )=бшш от пространственных переменных. Следует иметь в виду также, что метод Радина допускает обобш,ение на взаимодействия более широкого типа, чем описанная выше простая модель Изинга. [c.388]

Р1наче говоря, если хронологическая свертка двух операторов есть с-число, то она с точностью до множителя I совпадает с соответствующей причинной функцией Грина. С этим и связано название причинная функция свертки определяют элементы -матрицы, описывающей причинную эволюцию квантовомеханической системы во времени. При этом формула (1.23), очевидно, решает поставленную задачу для частного случая двух операторов выражение Т С С ) представлено в виде суммы нормального произведения и члена [c.269]

Чтобы перейти от общего случая к классическому описанию систем N частиц, мы могли бы воспользоваться процедурой квази-классического перехода (именно в результате этого перехода появляются траектории отдельных частиц и другие атрибуты классического рассмотрения) и получить все, что надо, так сказать, без идейных затрат. Но нас сейчас интересуют не квантовые поправки и не критерии классичности системы, а лишь способ фиксации состояния. Поэтому вспомним просто механику, в которой микроскопическое состояние материальных точек можно полностью определить, задав в какой-либо определенный момент времени t их координаты g = (Г[,..., гдг) и импульсы р — (Pi,..., Рлг)- Иными словами, микроскопическое состояние классической системы можно задать как точку (9>Р) = (гь i rAr, Pi,. , Рлг) в бЛГ-мерном пространстве импульсов и координат частиц, которое называется фазовым пространством. Эволюция этого состояния описывается уравнениями классической механики, например системой канонических уравнений Гамильтона (W. Hamilton, 1834) [c.24]

Эти уравнения, естественно, описывают эволюцию неравновесной системы, но в той грубой шкале <, когда каждая локальная область системы (каждая из отклоненных от состояния термодинамического равновесия подсистем) остается квазиравновес-ной термодинамической системой. Проведенное нами разделение всей замкнутой системы на отдельные квазиравновесные пространственно однородные подсистемы было достаточно условным, оно непосредственно обобщается на случай непрерывного изменения параметров 4, если их понимать как термодинамические параметры, отнесенные к каждой области йх около точки г/ь рассматриваемой нами системы. [c.201]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...