Гидродинамические моды

Нормальные гидродинамические моды [c.77]

Покажем теперь, что существует взаимно однозначное соответствие между этими собственными значениями и пятью нормальными гидродинамическими модами, приведенными в табл. 12.6.1. [c.100]

Установив взаимно-однозначное соответствие между кинетическими и гидродинамическими модами, перейдем теперь к вычислению коэффициентов переноса. Отождествляя коэффициенты ари /с в (13.3.33) и в выражении для Лд, получаем микроскопическое выражение для сдвиговой вязкости [c.103]

На этом этапе появляется возможность упростить общий подход, воспользовавшись особенностями потенциала Каца. Вследствие его дальнодействующего характера в пропагаторах следует учитывать лишь очень малые волновые векторы к у все остальные обрезаются вершинным множителем Но из рассуждений, приведенных в разд. 13.3, нам известно ), что при малых значениях к основной вклад дают пять гидродинамических мод, имеющих порядок к и к все остальные моды имеют порядок и выше. Следовательно, в пределе "у О, к- Оу ку у — конечная величина, пропагатор (20.7.11) приближенно можно представить в виде [c.304]

Такого рода корреляции могут быть связаны, например, с коллективными возбуждениями в системе, скажем, с гидродинамическими модами. Роль долгоживущих корреляций в кинетической теории плотных газов обсуждается в параграфе 3.3. [c.131]

Это выражение напоминает формулы Грина-Кубо для кинетических коэффициентов в обычной гидродинамике. Необходимо, однако, обратить внимание на несколько важных различий между гидродинамическими кинетическими коэффициентами и их обобщением, используемым в теории флуктуаций. Прежде всего отметим, что проекционный оператор Qa исключает из потоков все вклады флуктуационных гидродинамических мод. С другой стороны, в обычном гидродинамическом подходе проекционный оператор Мори Q исключает лишь те вклады в микроскопические потоки, которые линейны по гидродинамическим переменным. Другое важное отличие состоит в том, что временная эволюция потоков в выражении (9.1.57) определяется приведенным оператором Лиувилля L = а в обычных формулах Грина-Кубо оператор эволюции выражается через оператор L = QLQ, из которого не исключены вклады гидродинамических флуктуаций. Наконец, средние значения в (9.1.57) вычисляются с распределением которое описывает состояние с фиксированными ( замороженными ) гидродинамическими флуктуациями, в то время как в обычных формулах Грина-Кубо корреляционные функции микроскопических потоков вычисляются в равновесном или локально-равновесном состоянии. Можно сказать, что величины (9.1.57) представляют собой затравочные кинетические коэффициенты, учитывающие вклад только микроскопических корреляций ). Напротив, кинетические коэффициенты в уравнениях для усредненного движения содержат вклады гидродинамических флуктуаций. Отметим также, что затравочные кинетические коэффициенты (9.1.57) зависят от переменных а (г) через распределение Следовательно, они сами являются флуктуирующими величинами. [c.227]

Рассмотрение, проведенное в предыдущем разделе, показывает, что внешнее воздействие может приводить к самоорганизации, в результате которой неравновесная система переходит в упорядоченное состояние. Как известно из теории 4>азовых переходов, такое состояние образуется критическим образом — упорядоченная фаза развивается как самоподобная структура, в которой отсутствует характерный масштаб [22]. Формально свойство самоподобия выражается однородностью функции распределения Р(х) по амплитуде х гидродинамической моды, ответственной за упорядочение [c.48]

Как указывалось выше, возможны два режима поведения ансамбля дефектов в процессе пластической деформации. При слабом внешнем воздействии, когда плотность дефектов невелика, они осуществляют процесс пластического течения автономно, перемещаясь под действием внешнего поля и сил взаимодействия между ними [69, 202], В интенсивных полях плотность дефектов может приобретать настолько большие значения, что следует говорить не об их ансамбле, а о гидродинамической моде, представляющей самосогласованное поведение когерентно связанных дефектов. Настоящий параграф посвящен исследованию перехода из одного режима в другой. Для наглядности мы рассматриваем деформацию высокопрочного сплава, обладающего малыми выделениями неметаллической фазы, под действием интенсивного поля внешних напряжений [217]. [c.240]

Последние пятнадцать лет были отмечены большими достижениями в понимании статистической механики фазовых переходов второго и слабо первого рода. Весьма важное значение приобрела концепция спонтанно нарушенной симметрии м связанных с нею новых гидродинамических мод. Фундаментальные представлений о роли тепловых флуктуаций при разных симметриях, о радиусе взаимодействия и пространственных масштабах упорядочения, введенные [c.22]

Монотонная гидродинамическая мода неустойчивости. Перейдем теперь к результатам решения задачи устойчивости в полной постановке (спектральная задача (1.24)-(1.26)). Монотонная неустойчивость, имеющая место в пределе Рг О, естественно, продолжается в область конечных значений Рг, причем ее характеристики, вообще говоря, зависят от числа Прандтля. Численный расчет этой моды неустойчивости проведен в работах Р.Н. Рудакова [15, 32] с помощью метода Галеркина. Использовались [c.27]

Волновая мода неустойчивости. Как показывают расчеты [36], кроме обсужденной выше монотонной гидродинамической моды неустойчивости, существует также колебательная (волновая) мода. Эта мода, в отличие от монотонной, существенно связана с неизотермичностью течения. [c.30]

Рис. 8. Минимальное критическое число Грасгофа в зависимости от числа Прандтля 1 гидродинамическая мода, 2 - волновая

Остановимся теперь на результатах расчетов устойчивости. Рис. 38 иллюстрирует стабилизирующее влияние устойчивой продольной стратификации на гидродинамическую моду. Минимальное критическое число Грасгофа монотонно возрастает с увеличением IRa]. Стабилизация [c.70]

Рис. 39. Границы неустойчивости для разных мод [34]. Сплошная кривая - гидродинамическая мода (Рг=5 кривые для других Рг в масштабах рисунка практически совпадают с приведенной) штриховые линии - волновая мода штрихпунктирные линии - монотонная тепловая мода

Интересно, что в области больших Рг и Ка появляется еще одна монотонная мода неустойчивости, впервые, как уже указывалось, обнаруженная в [30, 32]. В отличие от гидродинамической моды, она связана с тепловыми возмущениями. Соответствующие границы устойчивости изображены на рис. 39 штрихпунктирными линиями. Эта мода имеется уже при Рг = 20, однако наиболее опасной во всей области изменения д еще являет-J [c.72]

Критические волновые числа в зависимости от д изображены на рис. 40. На гидродинамической моде увеличение д приводит к увеличению длины волны критических возмущений, а на тепловых модах, напротив, — к уменьщению. Разрыв на кривой Рг = 0,73 связан с тем, что при этом значении числа Прандтля нейтральная кривая Gr(Ar) волновой моды имеет два минимума и при изменении параметра стратификации неустойчивость передается от одного минимума к другому. [c.73]

Эти особенности спектра (см. 2) существенно связаны с нечетностью профилей скорости и температуры основного течения. Температурная зависимость вязкости приводит к асимметричному искажению профиля скорости. Поэтому стоячие возмущения оказываются невозможными гидродинамическая мода связана теперь с возмущениями, медленно дрейфующими вверх. Оказывается также, что асимметрия профиля скорости приводит к снятию вырождения тепловых волн они распространяются теперь с разными по величине фазовыми скоростями, и им соответствуют разные критические числа Грасгофа. [c.77]

Так, гидродинамическая мода теперь сопровождается очень медленным дрейфом системы вихрей вдоль границы раздела потоков (скорость дрейфа на два порядка меньше экстремальной скорости основного течения). Асимметрия граничных условий для возмущений температуры приводит также к снятию вырождения двух тепловых волн волновые возмущения, распространяющиеся вверх и вниз, теперь оказываются неравноправными с точки зрения устойчивости. При этом расчеты показывают, что характеристики неустойчивости для волны, распространяющейся возле одной из границ, практически не зависят от тепловых условий на другой границе (это, несомненно, связано с локализацией волнового возмущения в одном из потоков — факт, обнаруженный уже в работе [61] при решении симметричной задачи). Таким образом, в случае асимметричных условий в области 0,89 < Рг < 13,7 более опасна волна, распространяющаяся вдоль теплоизолированной границы, а при Рг > 13,7 - вдоль изотермической (точка Рг = 13,7 соответствует пересечению кривых на рис. 50). [c.86]

Рис 51. Критическое число Грасгофа и критическое волновое число в зависимости от параметра сопротивления (гидродинамическая мода Рт = 0,01) [c.88]

На рис. 51 показано влияние параметра сопротивления на характеристики гидродинамической моды неустойчивости. Заметим, что при а = О (нулевое сопротивление поперечному перетеканию) задача не сводится к соответствующей задаче без перегородки в силу условия прилипания. [c.88]

Критическое число Грасгофа при а= О равно = 1680, т.е. более чем втрое превосходит значение в отсутствие перегородки. Этот эффект можно объяснить следующим образом. Гидродинамическая мода неустойчивости связана с возникновением на границе раздела потоков стационарных вихрей, наклоненных к вертикали на некоторый угол (см. рис. 5). Условие исчезновения касательной компоненты скорости, на проницаемой перегородке делает невозможным развитие возмущений такой формы, что и приводит к повышению границы устойчивости. Как видно из рис. 51, с ростом параметра сопротивления критическое число Грасгофа растет по закону, близкому к линейному. При этом растет длина волны критических возмущений. [c.88]

Рис. 54. Границы устойчивости на плоскости (Не, Gr) гидродинамические моды (Рг =0). Штриховая линия - граница устойчивости для к = I

Рис. 55. Нейтральные кривые гидродинамических мод неустойчивости (Рг =0) с) Ке = 6000,6) Ке= 12314,6) Ке = 15 ООО. Области неустойчивости заштрихованы

Обсудим теперь результаты решения задачи для произвольных чисел Прандтля. Отметим прежде всего, что тепловые факторы практически не влияют на количественные характеристики гидродинамической моды неустойчивости. С увеличением числа Прандтля положение ветвей 1 и 2 на рис. 54 меняется слабо. [c.94]

Наумов и др. [270] приняли, что потеря упругости кристаллом носит взрывной (атермический) характер и сопровождается коллективным эффектом, который можно описать как своеобразное фазовое превращение. Согласно теории сильновозбужденного состояния, под воздействием нагрузки в кристалле возбуждается гидродинамическая мода, ответственная за перестройку исходной структуры в различные метастабильные состояния. Бозе-конденсация этой моды в локализованных областях кристалла приводит к перестройке его структуры, т.е. к гетерофазным флук- [c.147]

Уже на этом этапе интересно отметить, что найденные здесь собственные значения тесно связаны с гидродинамическими модами (см. табл. 12.6.1), если в последних пренебречь диссипацией, т. в. коэффихщенты переноса т], х приравнять нулю. Можно подойти к зтому вопросу и с другой точки зрения и считать, что собственные значения соответствуют гидродинамическим модам 7-9481 [c.97]

Следовательйо, собственные значения (13.3.18) в точности согласуются с недиссипативными гидродинамическими модами. Собственные функции фа образуют совокупность ортонормированных функций [c.98]

Математически это обстоятельство связано с нашим методом нахождения гидродинамических мод как возмущений инвариантов Столкновений. Анализ собственных значений в бесстолкновителъ-ной системе был бы совершенно иным. Мы уже не имели бы права взять в качестве базиса для отыскания г однородные собственные функции Скорее 1ш должны были бы непосредственно рассмотреть задачу на собственные значения ) [c.101]

Неэкспоненциальность поведения этой функции совершенно очевидна. Однако желательно уяснить ее математическую природу. Из (21.5.15) мы видим, что в действительности она появляется в результате суперпозиции экспонент. Имеется бесконечное число таких экспонент с непрерывным спектром значений индекса к они соответствуют суперпозиции (или взаимодействию ) двух гидродинамических мод, в данном случае — двух сдвиговых мод. Сумма подобных экспоненциальных мод (которая в случае непрерывного к становится интегралом) уже не имеет формы экспоненты ). [c.337]

В связи с этими расчетами возникает целый ряд вопросов. Прежде всего может вызвать недоумение использование приведенных в табл. 12.6.1 выражений для гидродинамических мод, входящих в подынтегральное выражение интеграла по к, взятом от О до оо, поскольку, как мы знаем, эти выражения справедливы только для малых к. Однако нетрудно ответить на подобное возражение. Действительно, большие значения к в интеграле (21.5.15) на самом деле обрезаются подынтегральной экспонентой. Более того, любая поправка (например, порядка к ) к гидродинамическим собственным значениям привела бы к еще более быстро зату-хаюпщм членам следовательно (в рамках рассматриваемой модели) асимптотическое поведение корректно. [c.337]

В связи со сказанным возникает необходимость исследовать эту проблему с более фундаментальных чисто микроскопических позиций. Такая программа была начата Резибуа и Помо, которым уже удалось внести важный вклад в решение этой проблемы. Не вдаваясь в детали, достаточно сказать, что основная идея их работы очень близка к использованной при изучении неравновесной жидкости Ван-дер-Ваальса (см. разд. 20.7). Она включает в себя исследование распространения столкновительного процесса. Как мы уже знаем, при малых к такой процесс определяется гидродинамическими модами. Названные авторы не только подтвердили наличие члена но и значительно более подробно изучили детали поведения корреляционных функций. Более полное изложение их работы читатель может найти в оригинальной статье. [c.338]

О других вариантах вынужценного рассеяния звука. Как уже говорилось, рассеяние на резонансных элементах - пузырьках - аналогично ВКР в оптике. Возможно, однако, и рассеяние на различных типах волн, не имеющих выраженных резонансов, но изменяющих скорость распространения звука. Такими модами могут быть в вязкой жидкости вихревые моды, тепловые волны и, наконец, гидродинамические моды - акустические течения. Все это - аналоги рассеяний рэлеевского типа в оптике. [c.197]

В книге рассмотрены ключевые проблемы синергетики неравновесных конденсированных сред, для адекватного описания которых стандартные представления типа фононов оказываются неприменимыми, а картина фазовых переходов требует существенной модификации. Концепция авторов основывается на представлении сложной системы самосогласованной эволюцией гидродинамической моды, характеризующей коллективное поведение, поля, сопряженного этой моде, и управляющего параметра, отвечающего за перестройку атомных состояний. Развитый подход позволяет представить такие особенности, как неэргодичность статистического ансамбля, образование иерархических структур, критическое замедление релаксации среды, влияние подсистемы, испытывающей превращение, на окружающую среду. В результате построена единая картина, охватывающая такие разнородные явления, как структурные превращения, пластическая деформация и разрушение твердого тела. Это делает Книгу интересной для широкого круга научных сотрудников, аспирантов и студентов старших курсов физико-математических, естественно-научных и инженерных специальностей. [c.2]

Будучи наукой о самоорганизующихся системах, синергетика позволяет понять особенности коллективного поведения сильно неравновесных статистических ансамблей в физике, химии, биологии, социологии и т.д. Вместе с тем при исследовании конденсированной среды до последнего времени использовались методы равновесной статистической физики. Это связано с предположением, что конденсированная среда, находящаяся под воздействием, сохраняющим ее как таковую, представляет равновесную или слабо неравновесную статистическую систему. В последнее время, однако, возрос интерес к явлениям, в которых поведение статистического ансамбля атомов в конденсированном состоянии становится таким, что обычные представления (типа концепции фононов или термодинамической картины фазовых переходов) теряют применимость, либо требуют принципиальных изменений. Такое поведение связано с сильным отклонением атомной системы от равновесного состояния — как это имеет место, например, в ядре дефекта кристаллической решетки или зонах пластического течения и разрушения. Последовательная картина сильно неравновесной конденсированной среды требует использования методов, которые позволяют представить такие особенности как неэргодичность статистического ансамбля, возникновение иерархических структур, структурная релаксация, взаимное влияние подсистемы, испытывающей фазовый переход, и окружающей среды и т. д. Целью настоящей монографии является всестороннее исследование такого рода особенностей в рамках концепции о перестройке атомных состояний при значительном удалении от равновесия. Это достигается на основе синергетической картины, представляющей взаимно согласованную эволюцию гидродинамических мод, параметризующих систему. [c.6]

Se — параметр внешнего воздействия. Характерная особенность системы (1.1)-(1.3) состоит в линейности уравнения (1.1) и нелинейности (1.2), (1.3). Первые слагаемые описывают релаксацию к стационарным значениям г = О, h = О, 5 = 5 , вторые — связь между различными гидродинамическими модами. Отрицательный знак перед нелинейным слагаемым (1.3) отражает действие отмеченного выше принципа Ле-Ша-телье, плюс перед ijS в (1.2) — положительную обратную связь между параметром порядка и управляющим параметром, которая является причиной самоорганизации. [c.21]

Изложенная выше кинематическая картина основывается на предположении о неизмененном характере внутренних напряжений т и пренебрежении временнбй зависимостью деформации е. Настоящий пункт посвящен исследованию стадии развитой пластической деформации, когда коллективные эффекты нарушают указанные условия [205]. При нарастании плотности дислокаций до величин р > р , определенных равенством (3.92), устанавливается когерентная связь, которая приводит к выделению из ансамбля дислокаций, ведущих себя автономным образом, коллективной составляющей плотностью р. При этом поля взаимодействия дислокаций становятся соизмеримыми с внешними напряжениями [205], и возникает долгоживущая гидродинамическая мода со временем релаксации и амплитудой 4 Ь р В авто- [c.256]

Выше мы показали, что под действием интенсивной нагрузки ансамбль дефектов может испытывать автокаталитическое размножение с образованием гидродинамической моды пластического течения ( 2) или циклическое изменение плотности дефектов ( 3). В обоих случаях величина деформации монотонно возрастает с течением времени или остается постоянной. Это связано с тем, что в процессе самоорганизации поле деформации ифает роль медленно меняющегося параметра порядка. В настоящем параграфе будет рассмотрен более сложный случай, когда колебательный характер эволюции системы может проявляться при изменении самого поля пластической деформации. [c.269]

Интересно отметить, что с ростом Р происходит не только понижение критического числа 0 , но и значительная деформация нейтральной кривой. При Р = 5,7 на кривой появляется точка возврата, и при Р > 5,7 кривая состоит из двух ветвей, соединяющихся друг с другом через замкнутую петлю. Две ветви нейтральной кривой описывают, в сущности, две моды неустойчивости, проявляющиеся при разных значениях волнового числа. Коротковолновая ветвь отвечает гидродинамической моде, мало чувствительной к изменению числа Прандтля. Длинноволновая ветвь соответствует возмущениям типа нарастающих тепловых волн, фазовая скорость которых соизмерима со скоростью основ ного потока. [c.389]

Рис. 7. Нейтральные кривые колебательной неустойчивости для разных чисел Праццтля. Для сравнения штриховой линией изображена нейтральная кривая гидродинамической моды для Рг =0. Вертикальная штриховая прямая - разрез, для которого в 5 проведен расчет вторичных течений

Наличие двух мод неустойчивости конвективного течения впервые было обнаружено в уже цитированной работе [2 ] Для определения границ устойчивости в этой работе использовались первые приближения метода Галеркина, содержавшие в разложениях амплитуд возмущений функции тока и температуры по две базисные функции. Это приближение описывает гидродинамическую моду с погрешностью не более 20%. Качественно правильно описывается и поведение волновой моды (включая асимптотику 1/ Л Р7при Рг Количественные результаты для волновой [c.34]

Итак, при увеличении угла наклона к горизонтали происходиг смена механизма неустойчивости течения — от конвективного (стратификационного) к гидродинамическому. Этот переход происходит непрерывно вдоль единой кривой Gr (a). Важно подчеркнуть, что при малых числах Прандтля переход к гидродинамической моде неустойчивости наступает уже при малых отклонениях слоя от горизонтальной ориентации. Предельная кривая Рг = О семейства, изображенного на рис. 22, соответствует полному отсутствию стратификационного фактора. Эта кривая, естественно, симметрична относительно оси Gr и получается из решения уравнения Орра — Зоммерфельда с профилем скорости (6.1). Повышение устойчивости при увеличении а на кривой Рг = О целиком обусловлено уменьшением скорости основного течения по мере увеличения наклона слоя к вертикали. [c.50]

В предельном случае больших чисел Прандтля, как показано в работах [27, 28], имеется волновая мода неустойчивости, связанная с растущими температурными волнами. Расчет границы волновой неустойчивости для стратифицированного слоя воды проведен в работе Харта [3]. Серия исследований устойчивости течения в слое с продольным градиентом температуры выполнена в Институте теплофизики СО АН СССР (см. обзор [29]) A.A. Предтеченский, А.Г. Кирдяшкин и B. . Бердников [30], а также А.Г. Кирдяшкин и A.A. Предтеченский [31] провели расчеты в широкой области изменения числа Прандтля и параметра стратификации и обнаружили, наряду с гидродинамической и волновой модами, также и с5тационар-ную тепловую моду. Позже количественные данные о характеристиках устойчивости были пересмотрены и уточнены [32] в связи с обнаруженной вычислительной ошибкой. Расчет волновой моды для Рг = 7,5 проведен в [33], однако эта работа была подвергнута критике в [34]. Расчеты для Рг = 0,71 6,7 и 1000 выполнены в [35]. Наиболее обстоятельное исследование границ устойчивости для всех трех мод проведено в работе Берг-хольца [34]. Полученные им результаты подтверждают данные, относящиеся к гидродинамической моде [22] и к двум тепловым модам [32]. [c.70]

По мере увеличения числа Прандтля и параметра стратификации на смену гидродинамической моде неустойчивости приходят тепловые моды. Наличие устойчивой стратификации повышает упругие свойства конвективной системы, что, естественно, приводит к уменьшению предельных значений числа Прандтля Рг, соответствующих появлению волновой неустойчивости. Согласно расчетам [34] при значениях параметра стратификации д = 1,5 2 и 2,5 волновая мода становится опаснее гидподинамической соответственно при Рг = 10,4 7,2 и 3,5. Границы волновой неустойчивости в зависимости от параметра стратификации изображены на рис. 39 штриховыми линиями. При малых и умеренных числах Прандтля волновая неустойчивость сменяет гидродинамическую по достижении некоторого предельного значения параметра стратификации д. Если Рг > 12,45, неустойчивость связана с волновой модой, по крайней мере в области малых и умеренных д. Асимптотика волновой моды при Рг рассматривалась в уже цитированной работе Гилла и Киркхэма [28]. При больших Рг справедлива, как и в отсутствие стратификации (см. 4), формула Сг, = 8/у/ т, где теперь коэффициент 5" является возрастающей функцией продольного градиента. При д = 0 2 и 4 соответственно 5 = 590 625 и 2,1 10 при д > 5 справедлива формула 5 = 30,0д . [c.72]

Вест и Арпаци [25] в экспериментах с воздухом (Рг = 0,71 д = 1,1) показали наличие слабого стабилизирующего влияния стратификации на гидродинамическую моду. Волновую моду наблюдали и исследовали Харт [3] и Ошима [39] в слоях воды (Рг = 6,7), [c.73]

Во всех цитированных работах показано, что, как и ожидалось, граница гидродинамической моды неустойчивости слабо зависит от числа Прандтля и близка к соответствующей границе в случае изотермических стенок. Граница волновой неустойчивости по данным работы А.Т. Лип-чина и Н.И. Лобова [60] приведена на рис. 50 (использовался метод дифференциальной прогонки). Как видно, переход к теплоизолированному случаю приводит к существенному уменьшению порогового числа Прандтля, при котором появляется волновая мода (Рг = 0,89). Кроме того, зависимость Сг (Рг) оказывается немонотонной. При Рг 3,6 имеется глубокий минимум, причем в этой области волновые возмущения более опасны, чем гидродинамические (для которых 500). При Рг расчеты дают общую с изотермическим случаем асимптотику (критиче- [c.85]

Рассмотрим теперь другой тип комбинированного течения, а именно будем считать, что вьшужденное течение создается за счет движения границ слоя в себе по вертикали с одинаковыми по величине и противоположными по направлению скоростями. Получающееся при этом течение есть суперпозиция конвекции, создаваемой поперечной разностью температур, и сдвигового течения Куэтта, обусловленного увлечением жидкости дви-жуцдимися границами. Качественное отличие от задачи предьщущего параграфа состоит в том, что теперь вынужденная компонента течения (поток Куэтта) сама по себе является устойчивой. Можно поэтому ожидать, что добавление устойчивой компоненты приведет к стабилизации конвективного течения. Этот эффект в общем действительно проявляется на гидродинамической моде неустойчивости. Что же касается тепловой моды, то здесь ситуация оказывается значительно более сложной. В зависимости от соотношения параметров возможна как стабилизация, так и дестабилизация течения более того, при определенных условиях появляется и становится наиболее опасным новый тип неустойчивости, связанный с развитием монотонных (стоячих) тепловых возмущений. [c.97]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...