Пути возникновения хаоса

Подведем краткий итог соображениям о причинах и путях возникновения хаоса и стохастичности в диссипативных динамических системах. Приводимые выше примеры системы Лоренца и ротатора с параметрическим возбуждением будут существенно пополнены в гл. 9, содержащей описания и анализ конкретных систем, допускающих стохастические и хаотические колебания. [c.209]

ИЕРАРХИЯ НЕСТАБИЛЬНОСТЕЙ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ, ХАОС И ПУТИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ХАОСА [c.203]

Пути возникновения хаоса [c.211]

Некоторые из перечисленных выше путей возникновения хаоса можно наблюдать в настоящее время с помощью лазеров (рис. 8.5— 8.7), и в физике лазеров открываются широкие возможности исследования новых механизмов. В последующих разделах мы рассмотрим ситуации, в которых может наблюдаться или уже наблюдался хаотический лазерный свет. Обсуждение математических деталей, связанных с различными механизмами возникновения хаоса, выходит за рамки данной книги, и я отсылаю заинтересованных читателей к моим книгам [8.5, 8.6], в которых рассмотрены эти проблемы. [c.217]

Пути возникновения временного хаоса могут быть прослежены на моделях, в которых движение совершается в ограниченной области, когда спектр возмущений дискретен, и хаотизация наступает поэтапно. Бифуркационные переходы на классе периодических функций изучались в работах [31, 32] в [33] задача решалась с граничным условием ЪA ЬZ = О на концах расчетной области. В [31] указаны два пути появления хаоса в системе разрушение трехмерного тора и субгармоническая бифуркация двумерного тора. В [33] обнаружен новый механизм возникновения хаоса, детальный анализ которого в применении к другой задаче дан в работе [34]. Упомянем здесь также исследования бифуркационных переходов (в том числе между странными аттракторами различной размерности), проведенные для конечно-разностного аналога уравнения [c.249]

В п. 2.8—2.9 обсуждались пути возникновения хаоса при эволюции динамических систем, описываемых функциями от времени (непрерывного или дискретного — первый случай сводится ко второму, если вместо всего фазового потока рассматривать создаваемое им отображение последования Пуанкаре некоторого трансверсального подмножества фазового пространства). В течениях жидкостей и газов такими функциями от времени являются значения их термогидродинамических характеристик в той или иной фиксированной точке пространства. Однако течения обладают также и пространственной структурой, которая у ламинарных течений упорядочена, а у турбулентных — хаотична, и возникновение хаотической эволюции во времени еще не означает возникновения пространственного хаоса, т. е. перехода к турбулентности. Так, например, стохастизация течения Лоренца, описываемого динамической системой (2.114), не меняет его упорядоченной пространственной структуры — конвективных роликов (2.113). [c.155]

Заголовок главы 8 таков Иерархия нестабильностей лазерного излучения, хаос и пути возникновения хаоса . Математической основой в данном случае служит полученная в предыдущей главе система динамических уравнений для самопульсирующего лазера. Вводятся популярная в работах по синергетике модель Лоренца и сопутствующий ей странный аттрактор устанавливается соответствие лазерных уравнений и уравнений гидродинамики, описывающих конвекцию в ячейке Бенара. Основная часть главы отведена вопросам хаотизации характеристик лазерного излучения, экспериментальным иллюстрациям процессов удвоения периода, перемежаемости, перехода в пичковый режим и т. п. Читателю, желающему изучить этот круг вопросов более подробно и основательно, следует обратиться к уже цитированным монографиям Г. Хакена [1, 2], а также к статьям советских авторов [25, 26], [c.7]

В лекциях Р. Фейнмана [353] есть очень образное описание возникновения турбулентности с ростом числа Рейнольдса. Нарисованная там картина и ее возросшая сложность по сравнению с более ранними описаниями как нельзя лучше соответствует параллельно и независимо идущему процессу усложнения представлений теории бифуркаций. Последующее изложение имеет целью прояснить все возможные метаморфозы фазового портрета, которые могли бы отвечать переходу ламинарного течения в турбулентное и вообще устойчивого равновесного состояпия в хаос. Ото изложение не носит исчерпывающего характера, оно лишь в общих чертах описывает картину. После описания дерева возможных бифуркаций более подробно рассматриваются серии бифуркаций. Затем описываются бифуркации в двух конкретных и достаточно детально изученных динамических системах — системе Лоренца и нелинейном параметрически возбуждаемом осцилляторе и ротаторе. Эти примеры позволяют достаточно подробно проследить пути возникновения порядка и хаоса. [c.163]

Одним из важных путей к хаосу в многомерных динамических системах, подобных термогидродинамическим, является возникновение колебаний на двух предельных циклах бифуркация Хопфа), которое приводит к квазипериодическому движению. Этот процесс обсуждался в гл. 2. Динамика такого движошя моделируется течением на торе, и возникающие сечения Пуанкаре имеют вид замкнутых круговых дуг. Несмотря на важность квазипериодических колебаний для хаотической динамики, онн мало исследованы в других системах, кроме гидродинамических. Именно по этой причине мы решили изучить квазипериодические колебания в такой нелинейной структуре, как изогнутый стержень. [c.148]

В основе возникновения стохастических и хаотических движений лежат гомоклинические структуры, именно они порождают сочетание неустойчивости, локального разбегания и общего сжатия. Вместе с тем переход от устойчивости к неустойчивости требует исчезновения устойчивых состояний равновесия и устойчивых периодических движений или достаточно большого увеличения их иериодов, точнее, длин соответствующих фазовых кривых. Устойчивые периодические движения и состояния равновесия могут потерять устойчивость или исчезнуть лишь несколькими вполне определенными способами. В этом смысле можно говорить о различных путях перехода к хаосу и стохастичности. Эти возможные пути были описаны в 1 этой главы. Позволим себе их вкратце перечислить. [c.214]

Интуиция говорит нам, что эта система изменится в желательном направлении. Но на самом деле исследователи хаоса обнаружили, что наиболее вероятно возникновение крупн 1х осцилляций. Даже если более крупный тренд устойчиво направлен вниз, путь к новому равновесию будет сопровождаться неожиданными движениями против тренда. [c.1143]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...