Квантовые решеточные системы

Оба сделанных нами примечания (но отнюдь не сама теорема ) становятся тривиальными, если В и Зф (3 ) совпадают, что действительно происходит в квантовых решеточных системах или в том случае, когда ф — локально нормальное состояние на квазилокальной алгебре для бозе-газа. [c.377]

Одним из классов физических систем, при исследовании которых алгебраический подход к статистической механике оказался наиболее успешным и дал конкретные результаты, являются квантовые решеточные системы. Такие модели настолько просты, что почти все положения общей теории, развитой ранее, пр.ямо применимы к ним. В п. 1 мы сначала определим квазилокальные алгебры решеточных систем. Затем, исходя из общих предположений о характере взаимодействия, покажем, каким образом доказывается существование термодинамического предела и эволюции во времени в случае решетки, бесконечно протяженной в пространстве. В заключение мы кратко остановимся на некоторых приложениях теории к равновесной и неравновесной статистической механике. [c.378]

Квантовые решеточные системы [c.379]

Теорема 1. Пусть Ш — квазилокальная алгебра некоторой квантовой решеточной системы, а V — потенциал из 58. Тогда [c.382]

Теорема 2. Пусть Ш — квазилокальная алгебра квантовой решеточной системы. Если взаимодействие V удовлетворяет условию [c.383]

Изучением термодинамики квантовых решеточных систем занимался Робинсон [326, 327], который доказал две следующие теоремы )- Пусть //(О) е Э (О) — гамильтониан, определенный для конечной системы 2 (рассматриваемой независимо от остальной части решетки). Например, в модели Изинга [c.380]

НИИ значение потенциала, в котором происходит движение решетки, при определенной конфигурации положений ядер равно полной энергии основного состояния, причем эта энергия вычисляется при неподвижных ядрах в той же самой конфигурации. В дальнейшем изложении мы в той мере исходим из модельных допущений п. 3.161, в какой мы учитываем связанные с колебаниями электрические поля наряду с этим принимается во внимание периодичность кристалла. Определяющие соотношения для колебаний решетки (уравнения для плотности энергии, уравнения движения и др.) содержат в явном виде как механические компоненты, так и компоненты внутренних электрических полей в кристалле. Необходимые принципиальные познания об оптических (в особенности о нелинейных оптических) свойствах мы можем получить уже при изучении относительно простых кристаллов или модельных кристаллов так, например, мы рассмотрим решеточные волны линейной цепочки и в трехмерном представлении колебания решетки с определенным направлением поляризации и распространения в оптически изотропных кристаллах с двумя ионами в элементарной ячейке. Сначала мы займемся невозмущенной системой и изучим длинноволновые оптические колебания решетки (оптические фононы) и колебания поляризации (фо-нон-поляритоны), представляющие собой смешение решеточных и электромагнитных колебаний [3.1-2]. Затем мы перейдем к рассмотрению взаимодействия решетки с внешним полем излучения. Квантовое описание основных соотношений для невозмущенной системы, а также для взаимодействия с внешним полем излучения может быть успешно выполнено как в качественной, так и в количественной формах по аналогии с классическим рассмотрением. В ч. I и до сих пор в ч. II мы еще не обсуждали решеточные колебания, и поэтому нам придется начать издалека. [c.371]

Изложенные выше классическая и полуклассическая теории позволяют получить полностью определенные во времени функции для зависящих от времени (и от координат) волновых амплитуд электромагнитных и решеточных колебаний. Последовательное квантовое рассмотрение позволяет охватить также и спонтанно протекающие процессы. В конкретных экспериментальных условиях они играют более или менее важную роль в зависимости от того, как часто из шума возникают когерентные стоксовы и поляритонные волны. Основой нашего последовательного квантового описания будет снова служить модель взаимодействия трех волн мы предположим, что для них соблюдаются соотношения (3.16-52). Тогда гамильтониан невозмущенной системы [c.384]

ВВЕДЕНИЕ МАЛЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ Л-УГ-АНСАМБЛЯ МЕТОДЫ NpT-АНСАМБЛЯ ЭРГОДИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ДАЛЬНЕЙШИЕ ДЕТАЛИ СРАВНЕНИЕ С МЕТОДОМ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ДИНАМИКИ МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО В КВАНТОВОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ РАСЧЕТЫ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО ДЛЯ РЕШЕТОЧНОГО ГАЗА И РОДСТВЕННЫХ МОДЕЛЕЙ ТВЕРДЫЕ СТЕРЖНИ ТВЕРДЫЕ ДИСКИ ТВЕРДЫЕ СФЕРЫ СМЕСИ ТВЕРДЫХ СФЕР МОЛЕКУЛЫ С ПОТЕНЦИАЛОМ В ВИДЕ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ЯМЫ ПО-ТЕНЦИАЛ ЛЕННАРДА-ДЖОНСА И ПОДОБНЫЕ ЕМУ ЗАКЛЮЧЕНИЕ [c.275]

Поскольку квазилокальная алгебра 9i квантовой решеточной системы является сепарабельной по норме простой и неабелевой алгеброй, на которой Z действует т1-абелевым образом, мы можем на основании теоремы 14 из гл. 2, 2 заключить, что всякое Z -инвариантное состояние ф на 3i, где ф — экстремальное состояние на примарное представление алгебры 91 типа III. При рассмотрении этой алгебры факторы типа III возникают разными путями. В частности, Штёрмер [379, 380] изучал произведение состояний на 3 = (8) 3 Y (где 3 Y — тождественные экземпляры одной и [c.386]

Как показал Штёрмер, это условие эквивалентно любому из двух следующих условий а) ф — экстремальное G-инвариантное состояние и б) ф= Фу. где ф ==ф(,. Кроме того, Штёрмер в столь общем случае дал общую классификацию типов примарных представлений, ассоциированных с такими состояниями, когда фо есть фактор-состояние на 9 o. Представление Яф принадлежит к типу / , когда состояние фо есть гомоморфизм, к типу / , когда оно чистое состояние и не гомоморфизм, и к типу П , когда это след и не гомоморфизм. Представление Лф принадлежит к типу П , если состояние фо не является ни чистым состоянием, ни следом и, кроме того, вектор состояния на Лф(Э о), порожденный вектором Фо е Яф , есть след. Наконец, представление Лф принадлежит к типу III, если только что определенное состояние на Яф (Э о) не является следом. И лея такую классификацию, мы можем, исходя из нашей алгебры квазилокальных наблюдаемых квантовой решеточной системы, построить факторы типа 1 , II, и III. Действительно, пусть фо состояние на 3 2. рассмотренное в первых примерах в гл. 2, 1, п. 2, 5. Если = oo, то фо — чистое состояние и не гомоморфизм. Следовательно, ф —примарное состояние типа 1 (физически ф есть основное состояние нашей свобод ной системы, взаимодействующей только с магнитным полем) Если = 0, то фо = след, но не гомоморфизм. Следовательно ф—примарное состояние типа II, (с физической точки зрения ф — состояние при бесконечной температуре). Если О < < оо то, как нетрудно сообразить [поскольку мы в явном виде по строили коммутант Лф (Э о) ], фо принадлежит последнему классу состояний, в силу чего ф —примарное состояние типа III Кстати, данное обстоятельство служит иллюстрацией того что теорема 14 из гл. 2, 2 применима именно в той области которую мы указали. Нетрудно видеть [303], что полученные [c.387]

Благодаря своей простоте квантовые решеточные системы оказываются ценными и в неравновесной статистической механике. Рассматривая предельно простой случай обобш,енной модели Изинга (в смысле, указанном в начале данного пункта), Радин [309] проанализировал поведение во времени величины R) для широкого класса начальных условий и локальных наблюдаемых. Можно показать, что в этом случае эволюция во времени не действует G-абелевым способом. Для физических приложений более важно другое обстоятельство оказывается возможным придать точную математическую форму традиционно принимаемому положению о том, что скорость приближения к равновесию в термодинамическом пределе должна быть связана со степенью непрерывности спектра эффективного гамильтониана. Подчеркнем, что здесь речь идет об эволюции во времени локальной наблюдаемой, погруженной в бесконечную систему, а поэтому гамильтониан, о котором мы говорим, совпадает с тем, который локально реализует эволюцию во времени бесконечной системы. Как оператор этот гамильтониан зависит от гильбертова пространства, на котором он действует в конструкции ГНС, и поэтому степень непрерывности его спектра зависит от представления. Коль скоро начальное состояние фо выбрано, степень непрерывности спектра гамильтониана можно связать с зависимостью функции е ( со — со )=бшш от пространственных переменных. Следует иметь в виду также, что метод Радина допускает обобш,ение на взаимодействия более широкого типа, чем описанная выше простая модель Изинга. [c.388]

Квазиэквивалентиые представления С -алгебры 161 Квантовые решеточные системы 379 Т]-кластер 228 [c.417]

Во-первых, на протяжении данного пункта мы исходили из предположения о том, что эволюцию во времени бесконечной системы можно рассматривать ак непрерывную группу автоморфизмов алгебры Я. Подобное допущение отнюдь не тривиально, поскольку эволюция во времени бесконечной системы определяется предельным переходом от конечной системы, для которой можно определить гамильтониан, и, таким образом, допускает прямую физическую интерпретацию. Если сказать несколько иначе, то проблема сводится к тому, чтобы вычислить термодинамический предел способом, не приводящим к противоречию с динамикой. Такой непротиворечивости удается легко достичь для довольно широкого класса нетривиальных квантовых решеточных систем (гл. 4, 2, п. I), где, как было показано, эволюция во времени оказывается именно тем автоморфизмом С -алгебры Я, который нам хотелось бы связать с бесконечными системами. Но вообще говоря это не так. Например, недавно было доказано [70, 446], что эволюцию во времени бесконечного свободного бозе-газа нельзя рассматривать как автоморфизм С -алгебры Я, но можно рассматривать как автоморфизм алгебры фон Неймана, порожденной представлением, которое ассоциировано с состоянием Гиббса (при температуре выше критической). Так же обстоит дело в модели БКШ [70] ) и в классе обобщенных моделей Вейсса для ферро- и антиферромагнетизма [104]. В последнем случае эволюция во времени, определенная для каждой фазы в отдельности, согласуется с эволюцией во времени, определенной для состояния Гиббса, образованного фазами. Во всех этих случаях удалось сформулировать соответствующие обобщения условия КМШ и добиться обобщения большей части результатов, изложенных в данном пункте, в частности теоремы 9 о коммутанте. [c.274]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...