Симплектические координаты

В симплектических координатах х,у уравнение (1.1) эквивалентно 2п каноническим уравнениям Гамильтона [c.20]

В локальных симплектических координатах условие каноничности отображения fp х,у X,Y можно представить в любом из следующих двух эквивалентных условий [c.21]

Отметим еще, что 7 — матрица оператора 1 в симплектических координатах. [c.22]

Согласно теореме Дарбу, уравнения Эйлера на Мс можно привести к каноническим уравнениям Гамильтона. Это можно осуществить явно, вводя специальные симплектические координаты / mod 2тг, L ( L с) по формулам Ii i = /( - Г sin/, h< 2 = = /с - os/, /30)3 = L. В этих переменных уравнения Эйлера [c.30]

Рассмотрим каноническое преобразование L = —pi p2i G — P2 Pi, qi = —I — g, Q2 = g — I. В новых симплектических координатах [c.90]

Леви-Чивита нашел критерий интегрируемости системы с функцией Г амильтона Я(р, д) методом разделения переменных в данных симплектических координатах. Функция Я должна удовлетворять следующей системе уравнений [c.99]

При решении задачи Горячева — Чаплыгина (п. 2 5) мы использовали разделение симплектических координат типа (б). Получающийся при этом дополнительный интеграл — полином третьей (а не второй) степени по импульсам (ср. с п. 3). Дело в [c.100]

Перейдем теперь к симплектическим координатам Л,, /х = = М,Л,/4. Тогда кинетическая энергия свободного движения точки в К" примет следующий вид [c.102]

Пусть — фазовое пространство, снабженное симплектической структурой Я = Яо + sHi + О(е ) —функция Гамильтона. Предположим, что при е = О гамильтонова система имеет т-мерный гиперболический тор (см. п. 5 9 гл. IV). Напомним, что в окрестности этого тора можно ввести симплектические координаты X mod 2тг, у, со следующими свойствами [c.252]

Применим результаты п. 1 к неавтономным гамильтоновым системам с одной степенью свободы. Пусть z = х, у) — симплектические координаты, и пусть Н = Ho z) -Ь eHi z, t) +. .. — функция Гамильтона, периодическая по t. Предполагается, что при е = [c.262]

Симплектические координаты 20 Симплектическое многообразие 19 Система Аносова 223 [c.428]

Гамильтонова механика — это геометрия в фазовом пространстве. Фазовое пространство имеет структуру симплектического многообразия. На симплектическом многообразии действует группа симплектических диффеоморфизмов. Основные понятия и теоремы гамильтоновой механики (даже если они и формулируются в терминах локальных симплектических координат) инвариантны относительно этой группы (и относительно более широкой группы преобразований, затрагивающих также и время). [c.142]

А. Симплектические координаты. Напомню, что в определении многообразия участвует условие совместности карт атласа. Это условие на отображения фГ фу перехода с одной карты на другую. Отображения фГ ф — это отображения областей координатного пространства. [c.201]

Г. Построение симплектических координат индукцией по п. Если и = 1, то построение закончено. Пусть и > 1. Мы будем предполагать, что теорема Дарбу для К2"-2 уже доказана. [c.202]

По предположению индукции на симплектическом многообразии со Ui) в окрестности точки ж существуют симплектические координаты. Обозначим их pi, (г = 2,. . ., п). Продолжим функции pzi. . ., на окрестность точки ж в следующим образом. Каждую точку s окрестности точки ж в можно единственным образом представить в виде = где го G е а S и I — малые числа. Значения координат Pz Яп в точке положим равными их значениям в точке w (рис. 179). [c.203]

Мы увидим, что во многих невозмущенных интегрируемых задачах движение оказывается условно периодическим. При исследовании движения как в невозмущенной, так и особенно в возмущенной задаче полезны специальные симплектические координаты переменные действие — угол . В заключение мы докажем теорему, обосновывающую теорию возмущений одночастотных систем, и докажем адиабатическую инвариантность переменной действия в таких системах, [c.238]

Здесь показано, что в условиях теоремы Лиувилля можно выбрать та-т<яе симплектические координаты I, ф), что первые интегралы Е зависят олько от X, а ф — угловые координаты на торе М . [c.245]

Заметим, что переменные (Р, <р) не являются, вообще говоря, симплектическими координатами. Оказывается, существуют некоторые функции от Р, мы обозначим шх I — I (Р), I = (/1,. . . [c.245]

Предложение 5.5.15. В симплектических координатах З),... [c.232]

Предложение 2. Если с1Р(2)Ф0, то в некоторой окрестности точки г М существуют симплектические координаты Хи..., х , уи-.-, Уп такие, что Р х, у) =ух. [c.104]

Справедливость этой теоремы может быть установлена с помощью следующих соображений. Формулы (7) показывают, что функции Фь. .., составляют часть симплектических координат в окрестности подмногообразия Мс. Точнее, в малой окрестности любой точки из Мс, можно ввести симплектические координаты хь. .., дг , У, ..., Уп так, что дГ(=Ф2(-1, у<=Фги если <7 и 1/<=Ф<, если 1>2<7. Это утверждение — следствие известной леммы о пополнении , принадлежащей Каратеодори (см. [c.106]

Замечание. Пусть р, q — симплектические координаты в / и пусть Yi. .. Yn — непрерывно зависящие от постоянных /=(Л. ../п) базисные циклы на Mf. Так как форма pdq—Id(f замкнута, то разность [c.130]

Симплектические координаты, о которых идет речь в теореме 9, можно назвать обобщенными переменными действие— угол. [c.131]

Предложение 5. Предположим, что в некоторых симплектических координатах. (р, q) = (ри. .., р , qi,..., q ) функция Гамильтона Н р, q) имеет один из следующих видов [c.139]

Предложение 5 описывает наиболее простые и часто встречающиеся виды разделения переменных. При решении задачи Горячева—Чаплыгина (п. 2.3) мы уже фактически использовали разделение симплектических координат вида 1. Отметим, что случаи 1 и Г предложения 5 могут встречаться в сочетании друг с другом, кроме того, возможны более сложные виды разделения переменных. [c.140]

Отметим любопытную двойственность формул (19) и (19 ). Перейдем теперь к симплектическим координатам Тогда энергия свободного движения точки в примет следующий вид [c.141]

Проблема интегрируемости. Переход от уравнений движения (1.1) и (2.7) к гамильтоновой системе со скобкой (1.10) и (2.17), описывающей эволюцию взаимного расположения вихрей, соответствует процессу редукции в алгебраической форме. Для реального понижения порядка необходимо, так же как и в случае плоскости, ввести некоторую систему координат (не обязательно канонических) на симплектических листах, которые и являются фазовым пространством приведенной системы. В дальнейшем ( 3) мы проделаем эту процедуру для частного случая при N = Ъ, при введении канонических (симплектических) координат, которые выражаются в очень частном случае через эллиптические функции. При К = 4 нам удалось построить соответствующие симплектические координаты только для случая плоскости, для случая сферы можно указать лишь общие соображения, позволяющие разобрать общий алгоритм, хотя и не являются каноническими, но также могут быть использованы для аналитических и численных исследований. [c.43]

Остановимся сначала на качественном анализе задачи трех вихрей, к задаче четырех вихрей (на плоскости и сфере) мы вернемся в 6 после решения проблемы классификации вихревой алгебры и введения соответствующих симплектических координат. [c.44]

Таким образом, симплектические координаты скобки (3.51) даются обращением эллиптического интеграла (3.54) и при 7 , оо переходят в обычные выражения (3.24). [c.69]

Замечание. Пусть p,q — симплектические координаты в и пусть 71,...,7 — непрерывно зависящие от постоянных а = (ai,..., ап) базисные циклы на Ма. Форма pdq — Idip замкнута, поэтому разность pdq - I dtp = pdq - 2ж1, постоянна. Следовательно, [c.87]

И новых координатах 1 = Ру — < 4- Следовательно, функция Гамильтона И не зависи г от сопряженных переменных З2 и /З . Таким образом, число счененей (чюбоды понижено на две единицы получено зависящее о т двух параме гров 2 и семейство гамиль-гоновых систем с двумя степенями свободы. Симплектическими координатами являются переменные i, з, / Ь/бз. При аг = 4 = 0 <1>ункция М является интегралом приведенной системы. Следовательно, эта гамильтонова система с двумя степенями свободы вполне интегрируема, В частности, функции i, з,/ui,/З3 можно найти с помощью квадратур. Оставшиеся циклические координаты (З2 и /У4 ввиду формул р2 = дК/да2, 4 — дК/да , К а,[3) = = Н х,у) находятся простым интегрированием. [c.93]

Пусть Н имеет натуральный вид Г + V и каноническая замена р, q —> j/, х является расширением точечного преобразования q = /(х), у = df /дх) р. Если в некоторых новых симплектических координатах х, у исходная гамильтонова система решается методом разделения переменных, то тогда эта система имеет полный набор инволютивных интегралов, квадратичных по импульсам (см. п. 4). Обсуждение возможности разделения переменных в системах с квадратичными интегралами содержится в работе [143]. Задача о наличии полного набора полиномиальных интегралов гамильтоновых систем будет рассмотрена в гл. УП1. [c.100]

В качестве еще одного применения эллиптических координат рассмотрим задачу о плоском движении материальной точки в поле притяжения двух неподвижных центров эта задача была проинтегрирована Эйлером в 1760 г. Пусть —декартовы координаты в плоскости движения, (О, с), (О,-с) — координаты притягивающих центров (с > 0). Перейдем к эллиптическим координатам в плоскости = хьхг , считая, что 02 — = 2с. Это означает, в частности, что при фиксированных значениях Л уравнение х / а - Л) +Х2/(аг - Л) = 1 задает коническое сечение, фокусы которого совпадают с неподвижными центрами. В симплектических координатах Л, рь функция Г амильтона этой задачи равна [c.103]

В дальнейшем наибольший интерес будут представлять случаи m = О и m = 1. При т = О гиперболический тор превращается в неустойчивое положение равновесия z = = О, причем z , z+ — сопряженные симплектические координаты и Яо = (z , Bz ) +. .., В = onst. В этих координатах [c.253]

В качестве иллюстрации рассмотрим задачу о колебании маятника, точка подвеса которого совершает гармонические колебания малой амплитуды. Гамильтониан имеет вид Я = Яо + Н, Яо = = у 2 + OSX, Н = osi os. т. Здесь х,у) = z — симплектические координаты, — малый параметр. Невозмущенная задача имеет неподвижную гиперболическую точку ж = у = 0. Асимптотически выходящее из нее решение [c.334]

При ограничении скобки (1.3) на совместный уровень интегралов Р и Р2 она становится невырожденной и по теореме Дарбу ( 1 гл. 1) в некоторых симплектических координатах может быть представлена в обычной канонической форме. Для различных целей можно использовать как канонические переменные Эйлера в, (р, i>,Pe,Pip,Pi)), так и переменные Андуайе- [c.86]

Таким образом, (7.11), (7.13), (7.15) задают симплектические координаты на всем пучке которые при ж = О, с = 1 переходят в известные координаты Андуайе-Депри в динамике твердого тела. [c.302]

Кокасательные расслоения не только имеют каноническую симплекти-ческую структуру, но, помимо того, естественные координаты, индуцированные любыми координатами на исходном многообразии, автоматически оказываются симплектическими координатами. [c.230]

При фиксированном значении величины кинетического момента Go переменные L, I изменяются в кольце функции Гамильтона показаны на рис. 21. Кривые L = Go соответствуют особым точкам уравнений Эйлера — постоянным вращениям тела вокруг оси инерции ог. Переменные L, I естественно рассматривать как географические симплектические координаты на приведенном фазовом пространстве [c.112]

Пример 6 (Штекель (Р. 81аске1), 1895 г.). Пусть Ф — определитель матрицы ф<1 (9 )11 (1алгебраическое дополнение элемента ф . Предположим, что в симплектических координатах р, ..., р , 9ь. .., д функция Гамильтона имеет следующий вид [c.140]

Предложение 1. В окрестности замкнутой траектории ыожно выбрать новые симплектические координаты ф mod 2л, / и z(-R " так, что на рассматриваемой траектории будет / = 0, [c.282]

Симплектические координаты для пуасссоновой структуры (3.51) построим следующим образом. Выберем в качестве переменной действия L = ei. Из условия I, L) = следует, что угловая переменная I является параметром времени вдоль интегральной кривой гамильтонова векторного поля [c.68]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...