Символическая динамика

Так, например, точке л , согласно рис. 7.38, соответствует последовательность 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1,. .. Это соответствие однозначно. Оказывается, что оно и взаимно однозначно. Более того, оказывается, что для любой последовательности (7.47) из единиц и двоек можно найти точку лг , которой она соответствует. Доказательство этих, на первый взгляд весьма удивительных утверждений, может быть получено сравнительно просто и опирается на довольно общие утверждения, значительно выходящие за рамки рассматриваемого примера. Эти общие утверждения составляют основу так называемого символического описания точечного отображения и символической динамики (35], о которой применительно к рассматриваемому примеру пойдет речь. [c.293]

Символическая динамика. Структуру неблуждающего множества векторного поля v, близкого к Vo, можно описать следующим образом [61], [62]. Пусть 3 — инвариантное подмножество топологической схемы Бернулли из трех символов. О, 1, 2 , выделяемое следующими условиями [c.143]

Существенное значение для нелокальной теории бифуркаций имеет дифференциальная динамика [181], [198] и символическая динамика (в качестве общей ссылки укажем книгу В. М. Алексеева [14 1]). [c.209]

До определенного времени проблемы исследования структуры фазового портрета, возможных бифуркаций его, символической динамики, эргодической теории и хаотизации и стохастизации движений детерминированных динамических систем изучались только узким кругом математиков и немногих специалистов по теории колебаний. [c.80]

Динамические системы с гиперболическими структурами аналогичны системам, рассматриваемым и ранее символической динамикой [88, 588], и, в первую очередь, системам, описываюш им движение по инерции материальной точки в римановом пространстве отрицательной кривизны [363]. Однако при этом объем движущейся фазовой частицы не обязательно сохраняется он может уменьшаться, и система может быть диссипативной. [c.85]

Справедливо и обратное утверждение, т. е. любой последовательности (1.44) точек, связанных соотношениями (1.45), отвечает единственная последовательность вспомогательных отображений (1.43). Это дает полное описание всех фазовых траекторий точечного отображения Т — как периодических, так и непериодических. Приведенное описание выдержано в духе так называемой символической динамики. [c.136]

Сдвиг Бернулли 304, 308 Сепаратриса 254 Символическая динамика 303 Симплектическая структура 19, 22 [c.428]

Н. Левинсона о символической динамике для неавтономных уравнений 2-го порядка широкого внимания не привлекли. [c.6]

Подкова Смейла и ее аналоги, с одной стороны, н введенное Я- Г. Синаем понятие марковского разбиения, с другой, вновь вызвали к жизни методы символической динамики. На сей раз обнаружилось, что эти методы являются эффективным средством анализа таких классических систем, как алгебраические автоморфизмы тора, нелинейные колебания и небесная механика. Можно надеяться, что в скором времени такие понятия, как символическая модель , топологическая марковская цепь и т. п., станут для изучающих конкретные системы столь же привычными, как инвариантный тор , разложение в ряд Фурье , показатели Ляпунова . [c.6]

Символическая динамика для некоторых геодезических потоков восходит к Адамару и была развита Морсом (9]. Смейл [13] перенес се на случай подковы , а Адлер и Вейс [1] —на случай автоморфизмов тора. Синай [10], [И] доказал теоремы пп. С и Ъ для У-диффеоморфизмов, а в 15] они были обобщены иа случай диффеоморфизмов, удовлетворяющих аксиоме А. [c.74]

М. Морс [3], [4] и [5] использовал методы символической динамики для изучения минимальных геодезических па поверхности отрицательной кривизны. Данную статью можно рассматривать как распространение и обобщение результатов Морса на рассматриваемый случай. Настоящим обобщением геодезических потоков, изучавшихся Морсом, являются потоки, удовлетворяющие аксиоме А (см. [9]). Технически они сложнее диффеоморфизмов, ио со временем и для них будут построены марковские разбиения, и методы этой статьи будут перенесены на случай потоков. В частности, можно ожидать, что справедлива следующая [c.92]

Боуэн Р.. Символическая динамика для гиперболических потоков, третья статья в настоящем сборнике [c.105]

СИМВОЛИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА для ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ПОТОКОВ ) [c.106]

Пусть ж — конечное множество элементов (называемых символами) с дискретной топологией, а 2 = —множество всех бесконечных в обе стороны Последовательностей символов с топологией прямого произведения, В символической динамике изучают динамику дифференцируемого потока, связывая ее с гомеоморфизмом сдвига а [c.106]

Строго говоря, Адамар не связывал динамику геодезического потока с гомеоморфизмом сдвига а. Поэтому собственно методы символической динамики> ведут начало от М. Морса. См. также [33]. — Прим. ред. [c.106]

Как описать однопараметрические деформации квазиоб-щих систем, не являющихся системами первой степени негру-бости, в частности, бифуркации, в результате которых появляются и исчезают нетривиальные устойчивые по Пуассону траектории (По-видимому, здесь не обойтись без символической, динамики типа теории нидинг-последовательностей [135], [165].) [c.111]

Алексеев В. М. Символическая динамика Ц Тр. XI мат. школы.— Киев Ип-т математики АН УССР, 1976. [c.394]

После работ А. Пуанкаре в XX в. постепенно сложилось отчетливое понимание того, что невозможность продолжить локально существующие интегралы до интегралов в целом связана со сложным поведением фазовых траекторий на уровнях тех интегралов (вроде интеграла энергии), которые известны, но имеются в недостаточном числе. Попросту говоря, на интегральном уровне должны существовать траектории, всюду плотные в некоторой области на нем. Системы, обладающие т, но не т+ интегралами в целом , Леви-Чивита предложил называть т-импримитивными. Здесь проблемы интегрируемости смыкаются с задачами эргоди-ческой теории. Примером служит доказанная в 1939 г. теорема Э. Хопфа об эргодичности геодезического потока на любой компактной поверхности отрицательной кривизны. Для исследования геодезических на поверхностях отрицательной кривизны Биркгоф, Морс и Хедлунд создали символическую динамику, позволяющую описывать сложное поведение траекторий в вероятностных терминах. Однако, как отмечает Пуанкаре [147], ...траектории задачи трех тел ) сопоставимы не с геодезическими линиями на поверхностях отрицательной кривизны, а наоборот, с геодезическими линиями на выпуклых поверхностях... К сожалению, эта задача значительно сложнее... . Здесь уже зоны квазислучайного поведения фазовых траекторий чередуются и сосуществуют с областями, составленными из траекторий регулярного вида. Обсуждение этих вопросов можно найти в докладе А. Н. Колмогорова [Ш] и книге Мозера [221]. Непосредственное приложение к проблеме интегрируемости задачи трех тел идея сложного поведения фазовых траекторий нашла в работе В. М. Алексеева [2]. [c.17]

Итак, каждой траектории 8 г), г В, п Ъ, содержащейся в квадрате В сопоставлена последовательность символов и) = о п , причем действию отображения 3 отвечает ее сдвиг на один элемент влево. Этот метод кодировки траекторий восходит к работам Адамара, Биркгофа, Морса, Хедлунда по исследованию геодезических на замкнутых поверхностях отрицательной кривизны и составляет содержание символической динамики". Подробнее с этой теорией можно ознакомиться по книгам [4, 221]. [c.303]

Методы символической динамики применимы к описанию поведения системы вблизи трансверсальной гомоклинной траектории. Пусть р — гиперболическая неподвижная точка отображения 3 произвольного многообразия М на себя. Можно считать, что М — фазовое пространство неавтономной периодической гамильтоновой системы, а. 3 — отображение за период (см. п. 4 1). Пусть Л+ и — асимптотические инвариантные поверхности точки р, пересекаюшиеся трансверсально. Точки д е Л+ П Л естественно назвать трансверсальными гомоклинными точками Иш 3 д) = [c.305]

В. М. Алексеев применил метод символической динамики в задаче о пылинке в поле двойной звезды (см. п. 3 5 гл. I). Оказывается, если эксцентриситет орбит массивных тел отличен от нуля, то траектории пылинки выглядят весьма запутанными. Это дает возможность доказать неинтегрируемость уравнений движения [5]. Более точно, квазислучайность траекторий пылинки удается установить при малых значениях эксцентриситета е ф 0. Методом Пуанкаре (см. 1 гл. IV) можно доказать отсутствие интегралов и нетривиальных групп симметрий в виде формальных рядов по степеням е. Либре и Симо [216] перенесли метод Алексеева на ограниченную круговую задачу трех тел в предположении, что масса Юпитера много меньше массы Солнца. [c.308]

Книга представляет собой сборник переводов недавних работ известного американского математика. В них исследуются топологические и метрические свойства классических динамических систем, удовлетворяющих условию гиперболичности (пернолические траектории, энтропия, инвариантные меры). Исследование проводится методами символической динамики, иитенсивно развивающимися в последнее десятилетие. Теория, излагаемая в книге, интересна своими связями с различными задачами дифференциальных уравнений, эргодической теории, статистической физики. [c.4]

Развивая идеи Адамара, Маретон Морс первым ввел в обиход то, что впоследствии получило название методы символической динамики . Хотя с тех пор прошло около шестидесяти лет, псе же долгое время сфера применимости Этих методов оставалась довольно узкой — фактически это были все те же геодезические иа поверхностях отрицательной [c.5]

Общая теория динамических систем традиционно делится на две большие ветви — топологическую динамику и эргодическую теорию. Методы символической динамики работают и там, н там, ио в настоящем сборнике эргодическая часть все-таки преобладает. В первой статье читатель найдет построение марковского разбиения для ограничения диффеоморфизма, удовлетворяющего аксиоме А, на множество не-блуждаюших точек и эргодическую теорию таких диффеоморфизмов. Существенное место здесь занимают термодинамический формализм , гиббсовские меры н вариационный принцип . Введенные Д. Рюэлем и Я- Г. Синаем по аналогии со статистической физикой эти понятия удачно вписались в традиционный для динамических систем круг. Это оживило эргодическую теорию гладких систем и уже принесло интересные результаты. Оказалось, например, что базисные множества диффеоморфизмов класса С , удовлетворяющих аксиоме А, имеют лебеговскую меру нуль. Замечательно, чю класс гладкости здесь нельзя понизить в пятой статье сборника описано построение толстой подковы Смейла , базисное множество которой имеет положительную лебеговскую меру. [c.6]

Кроме того М. В. Якобсогг и я написали для данного сборника специальное добавление.. Первая его часть имеет целью познакомить читателей с нашей точкой зрения на суть методов символической динамики и объяснить естественность их появления в гладких системах. Поэтому мы рекомендуем Прочесть эту часть в самом начале, а затем уже обратиться [c.7]

Данные заметки состоят из четырех разделов. Сначала мы изучим статистические свойства гиббсовских мер. Эти меры на пространстве последовательностей возникают в современной статистической механике оии интересуют нас постольку, поскольку являются решением задачи о восстаиов-ленни инвариантной меры, если она в некотором смысле приближенно известна. Гиббсовские меры удовлетворяют также вариационному принципу, нажность которого определяется тем, что он применим в более общих пространствах, чем пространство последовательностей. Исходя нз этого принципа мы строим термодинамический формализм на компактных простраиствах, чему посвящен второй раздел. В третьем вводятся диффеоморфизмы, удовлетворяющие аксиоме А, и для них строится символическая динамика, т. е. выясняется, как они связаны со сдвигом на пространстве последовательностей. В последнем разделе с помощью символической динамики изучается эргодическая теория диффеоморфизмов, удовлетворяющих аксиоме Л. [c.10]

Нашей целью является построение символической динамики для потоков ф, удовлетворяющих аксиоме А Смейла, которые являются обобщением геодезических потоков на поверхностях отрицательной кривязны. Мы применяем символическую динамику для изучения следующих свойств потока Ф [c.106]

Для диффеоморфизмов все соответствующие гипотезы справедливы. Моделью в этом случае служит топологическая марковская цепь, которая устроена проще, чем гиперболический символический поток поэтому программа примеиеиня методов символической динамики осуществлена в большей степени для диффеоморфизмов (см. [3]. [4], [12] 2)), чем для потоков. [c.108]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...