Неравновесный статистический оператор

Заметим, что для расчетов реакции системы на термические возмущения применяется также целый ряд других методов, основанных на кинетических уравнениях (см. гл. VII), на теории брауновского движения и марковских процессов (см. гл. V), метод неравновесного статистического оператора ) и др. [c.182]

За последние двадцать лет метод неравновесного статистического оператора с успехом применялся ко многим проблемам кинетической теории, гидродинамики, физики твердого тела, химической физики и т. д. Кроме того, стали яснее основы этого метода и его связь с другими подходами. Таким образом, в настоящее время стало возможным дать систематическое изложение теории неравновесных процессов, основанное на методе статистических ансамблей. В этой книге предпринята попытка такого изложения на уровне, доступном для студентов, прослушавших стандартные курсы квантовой механики и равновесной статистической механики. [c.10]

Согласно этой формуле, неравновесный статистический оператор (2.3.16) может быть записан в виде [c.107]

Интегрируя (2.3.20) по частям и используя уравпепия (2.3.21), мы получаем следующее выражение для неравновесного статистического оператора [c.108]

Метод построения квантовых и классических неравновесных ансамблей на основе запаздывающих решений уравнений Лиувилля (2.3.11) и (2.3.69), известен как метод неравновесного статистического оператора. В отношении классических систем было бы более естественно говорить о методе неравновесной функции распределения , но и в этом случае мы предпочитаем употреблять название, которое уже давно используется в литературе. В зависимости от выбора базисных переменных, метод неравновесного [c.118]

В современной теории неравновесных процессов применяются различные методы, которые, на первый взгляд, имеют мало общего друг с другом. Если, однако, мы выделим методы, основанные на первых принципах статистической механики, то окажется, что их идеи весьма близки. Во всех этих методах, так или иначе, используется сокращенное описание неравновесных состояний и строятся соответствующие решения уравнения Лиувилля. Поучительно сравнить теперь метод неравновесного статистического оператора, изложенный в предыдущем параграфе, с некоторыми другими подходами к построению неравновесных распределений ). [c.124]

Обобщенные уравнения переноса (2.4.33) аналогичны уравнениям (2.3.45). Единственное различие между ними состоит в выборе пределов интегрирования по времени ). В этом, конечно, нет ничего удивительного, так как в методе Робертсона используется специальное начальное условие для неравновесного распределения, а в методе неравновесного статистического оператора — граничное условие в отдаленном прошлом, которое устраняет нефизическую зависимость от начального состояния системы. [c.130]

Мы рассмотрели только некоторые из имеющихся в литературе методов построения неравновесных распределений. Тем не менее, даже такой неполный анализ показывает, что с принципиальной точки зрения любой метод основан на сокращенном описании неравновесных состояний и представляет собой некоторый формализм для нахождения запаздывающих решений уравнения Лиувилля, описывающих необратимую эволюцию системы на выбранной шкале времени. В методе неравновесного статистического оператора, изложенном в параграфе 2.3, переход к сокращенному описанию и отбор запаздывающего решения уравнения Лиувилля осуществляются в компактной форме, причем ясно видна связь метода с общефизическим принципом спонтанного нарушения симметрии. В неравновесной статистической механике — это симметрия относительно обращения времени. В других подходах фактически реализуется та же самая [c.133]

Применение метода неравновесного статистического оператора к конкретным процессам сводится к исследованию обобщенных уравнений переноса. В частности, необходимо вычислить корреляционные функции, которые определяют значения кинетических коэффициентов в этих уравнениях. Кроме того, в каждом случае нужно обосновать выбор наблюдаемых, достаточных для описания процесса. [c.134]

Задача состоит в том, чтобы вывести уравнение, описывающее релаксацию среднего импульса примеси (Р) Чтобы применить метод неравновесного статистического оператора, нам нужно выбрать базисные динамические переменные Рт- Из сказанного выше ясно, что такими переменными являются гамильтониан системы Я и импульс примеси Р. Так как изменениями температуры мы пренебрегаем, то квазиравновесное распределение (2.1.20) в данном случае запишется в виде [c.135]

Чтобы ее вычислить, нам нужно построить неравновесный статистический оператор g t) для рассматриваемой системы. [c.145]

С помощью квазиравновесного распределения (2.5.58) можно теперь построить неравновесный статистический оператор g(t), следуя схеме, изложенной в параграфе 2.3. Для определенности мы возьмем этот оператор в экспоненциальной форме (2.3.72). [c.145]

ЯСНО, что они тоже являются величинами второго порядка. В дальнейшем мы ограничимся членами второго порядка в выражении для скорости реакции (2.5.57). Тогда сам неравновесный статистический оператор достаточно найти в первом приближении по малому параметру. Это означает, что в операторе производства энтропии (2.3.74) можно пренебречь производными химических потенциалов по времени и использовать более простое выражение [c.146]

Теперь оператор производства энтропии (2.5.64) нужно подставить в выражение (2.3.72) для неравновесного статистического оператора. Чтобы найти среднюю скорость реакции во втором приближении по малому параметру, в неравновесном статистическом операторе следует оставить только члены, линейные по оператору производства энтропии. Заметим также, что мы можем положить = A t) поскольку химическое сродство зависит от времени только через медленные переменные — химические потенциалы Далее, эволюция в интегральном члене выражения (2.3.77) должна описываться оператором Лиувилля L , т. е. гамильтонианом Я , куда не входит возмущение (2.5.51). И, наконец, в квазиравновесном статистическом операторе (2.5.58) полный гамильтониан следует заменить оператором Я , чтобы приближение было самосогласованным ). С учетом всех этих замечаний средняя скорость реакции должна вычисляться со статистическим оператором [c.146]

До сих пор мы учитывали лишь баланс частиц в химической реакции. Если обмен энергией между компонентами протекает медленно, то следует включить и уравнение баланса энергии. Интересный пример такого рода — процессы ионизации в плазме — рассмотрен методом неравновесного статистического оператора в работе [159]. Так как отношение массы электрона к массе иона мало, обмен энергией между подсистемами затруднен. Поэтому в квазиравновесном состоянии электронам и ионам следует приписать различные температуры. [c.149]

Хорошо известно, что простейшими моделями в равновесной статистической механики ЯВЛЯЮТСЯ системы с малой плотностью или со слабым взаимодействием, так как изучение каждой из них можно начинать с очень простого нулевого приближения — системы свободных частиц. Аналогичная ситуация имеет место и в теории неравновесных процессов. Как отмечено в разделе 2.1.1, для разреженного газа и для систем со слабым взаимодействием можно ввести кинетическую шкалу времени или, как ее иногда называют, кинетическую стадию эволюции. На этой стадии все многочастичные функции распределения полностью определяются одночастичной функцией распределения. При этом основная задача состоит в том, чтобы получить кинетическое уравнение для одночастичной функции распределения. В настоящей главе мы применим метод неравновесного статистического оператора к выводу кинетических уравнений для классических систем и рассмотрим несколько типичных примеров. [c.163]

В параграфе 2.1 уже обсуждалось лежащее в основе кинетического описания системы предположение о том, что неравновесное состояние может быть задано одночастичной функцией распределения fi x t) = /i(r,p, t). Тогда, согласно методу неравновесного статистического оператора, Д/ -частичная функция распределения д х , t) =. .., Ждг, ) должна выражаться в виде функционала от fi x,t). В соответствии с подходом, развитым в параграфе 2.3, первым этапом должно быть построение квази-равновесной Д/ -частичной функции распределения Qq x соответствующей максимуму информационной энтропии при заданной fi x,t). Это распределение уже было получено нами в разделе 2.2.2 в виде (2.2.32). Истинная неравновесная Д/ -частичная функция распределения д х t) = (ж ,..., Ждг, ) находится как решение уравнения Лиувилля с нарушенной симметрией относительно обращения времени [c.164]

Следуя методу неравновесного статистического оператора, начнем с граничного условия для Д/ -частичной функции распределения д х которое определяется соответствующим квазиравновесным распределением Qq x ,t). Последнее находится из условия максимума информационной энтропии при заданных неравновесных значениях наблюдаемых величин. В нашем случае такими величинами являются одночастичная функция распределения и среднее значение плотности энергии Н г))К Предполагая, что система описывается гамильтонианом (3.1.1), имеем [c.208]

В соответствии с общей идеей сокращенного описания неравновесных систем, нормальным решением уравнения Больцмана (ЗА.З) можно назвать такое решение, которое в отдаленном прошлом совпадает с локально-равновесным максвелловским распределением (ЗА.19). Иными словами, нормальное решение уравнения Больцмана отбирается с помощью специального граничного условия точно так же, как неравновесный статистический оператор был найден в главе 2 с помощью граничных условий к уравнению Лиувилля. Продолжая дальше эту аналогию, введем в уравнение Больцмана бесконечно малый источник, отбирающий нормальное решение [27] [c.236]

В ЭТОЙ главе мы применим метод неравновесного статистического оператора к кинетическим процессам в квантовых системах. Обычно процессы такого рода описываются кинетическим уравнением для одночастичной матрицы плотности = a],ai)K [c.248]

Аналогичная ситуация возникает в теории сверхпроводимости и в некоторых задачах квантовой теории магнетизма. Одночастичной матрицы плотности недостаточно и для описания кинетических процессов в газах, где идут химические реакции [104,105] или могут возникать связанные состояния частиц. Кинетика таких систем очень интересна, но в рамках одной главы мы, к сожалению, не сможем дать даже ее беглого обзора. Поскольку наша цель состоит с том, чтобы показать, как применяется метод неравновесного статистического оператора в квантовой кинетической теории, мы ограничимся лишь теми случаями, когда неравновесное состояние описывается одночастичной матрицей плотности. [c.248]

Объектом изучения в этом параграфе будут квантовые системы с гамильтонианом Ht = Щ + Я, где основной член яг описывает невзаимодействующие частицы или квазичастицы (возможно, во внешнем переменном поле), а член Н — слабое взаимодействие. Мы хотим вывести для таких систем кинетическое уравнение, раскладывая неравновесный статистический оператор д 1) по степеням Я. [c.248]

Тогда мы сразу получаем замкнутую систему уравнений для РтУ , даже если неравновесный статистический оператор g t) неизвестен. Однако в общем случае коммутаторы [Pm-tHt] выражаются через динамические переменные, которые не входят в набор Рт Таким образом, чтобы вывести замкнутую систему уравнений для наблюдаемых РтУ , МЫ ДОЛЖНЫ В ЯВНОМ виде построить статистический оператор д 1). [c.249]

Как уже отмечалось, квантовые кинетические уравнения можно вывести из цепочки уравнений для 5-частичных матриц плотности, которые аналогичны 5-частичным функциям распределения в классических системах. Здесь мы займемся построением этой цепочки уравнений, исходя из квантового уравнения Лиувилля для неравновесного статистического оператора. Мы также приведем примеры, иллюстрирующие возможности метода группового разложения в квантовой кинетической теории. [c.266]

Приступим теперь к выводу уравнений движения для приведенных матриц плотности. Мы будем исходить из квантового уравнения Лиувилля (4.1.3), в котором бесконечно малый источник определяет граничное условие для неравновесного статистического оператора ). Как было показано в главе 3, выбор квазиравновесного распределения Qq t) является определяющим при решении цепочки уравнений для классических функций распределения. Мы пока отложим обсуждение вопроса о выборе Qq t) в квантовом случае, ограничившись лишь замечанием, что квазиравновесный статистический оператор должен удовлетворять условию самосогласования для одночастичной матрицы плотности [c.267]

В этой главе мы построим микроскопическую теорию линейной реакции, исходя из основных принципов статистической механики и применяя метод неравновесного статистического оператора, изложенный в главе 2. В отличие от кинетической теории, этот метод пригоден, в принципе, для произвольных классических и квантовых систем. Кроме того, он позволяет изучать реакцию системы на механические и термические возмущения с единой точки зрения. [c.338]

Перейдем теперь к построению неравновесного статистического оператора g t). Как обычно, будем исходить из уравнения Лиувилля с нарушенной симметрией относительно обращения времени [c.341]

Итак, при вычислении линейного отклика на переменное внешнее возмущение теория Кубо полностью эквивалентна методу неравновесного статистического оператора. [c.352]

Формулы (5В.16) внешне очень просты, но, к сожалению, они мало пригодны для конкретных расчетов кинетических коэффициентов, так как даже в случае слабого взаимодействия довольно трудно применить теорию возмущений ). Поэтому мы рассмотрим другую схему вывода соотношений между термодинамическими силами и потоками, основанную на том же самом выражении (5В.10) для неравновесного статистического оператора, но с некоторыми дополнительными динамическими переменными Р . Возьмем в качестве дополнительных переменных сами операторы потоков и J . Тогда их средние значения могут быть найдены из условий самосогласования (5В.6) [c.409]

Диаграммный метод Б а леску в комбинации с методом неравновесного статистического оператора см. в работе Д. Н. Зубарева и М. Ю. Новикова [ТМФ, 18, 78 (1974)]. Другая диаграммная техника для неравновесных процессов была предложена О. В. Константиновым и В. И. Перелем [ЖЭТФ, 39, 197 (I960)] и Л. В. Келдышем [ЖЭТФ, 47, 1515 (1964)].— Прим. ред. [c.267]

Сегодня имеется обширная литература, в которой излагаются конкретные вопросы теории неравновесных процессов. Однако, в отличие от равновесной статистической механики, основанной на универсальном методе ансамблей Гиббса, существует большое число различных подходов к неравновесным системам. Поскольку детали микроскопических взаимодействий тесно связаны с неравновесными свойствами многочастичных систем, может показаться, что общий статистический подход к необратимым процессам вообще невозможен. Как следствие такой точки зрения, во многих недавно изданных книгах отсутствует изложение неравновесной статистической механики как таковой. Вместо этого проводится мысль, что различные явления требуют различных подходов. Тем не менее, фундаментальная идея статистических ансамблей Гиббса применима и к неравновесных системам, так что задача состоит в том, чтобы использовать эту идею в форме, пригодной для описания различных неравновесных процессов, в рамках единого метода. Такой метод, известный теперь как метод неравновесного статистического оператора был развит Д.Н. Зубаревым и изложен в его книге Неравновесная статистическая термодинамика , которая появилась на русском языке в 1971 году, а затем была переиздана в США (1974 г.) и в Германии (1976 г.). Позже краткое введение в метод было дано в книге Г. Рёпке Неравновесная статистическая механика (на немецком языке книга вышла в 1987 году и на русском — в 1990 году). [c.10]

В квантовом случае для неравновесного статистического оператора существует еще одно представление. Как уже отмечалось, квантовый оператор Лиувилля (1.2.69) является супероператором действующим на динамические переменные. Поэтому в конкретных задачах более удобно записывать статистический оператор (2.3.16) через обычные операторы эволюции, которые действуют на векторы состояний. Чтобы получить требуемое представление для g t) напомним, что для любого квантового оператора [c.107]

Следуя Цванцигу, введем проекционный оператор Р, который выделяет диагональную часть неравновесного статистического оператора. Таким образом, мы имеем [c.125]

Мы видим, что фактически метод Цванцига является частным случаем метода неравновесного статистического оператора, когда роль квазиравновесного распределения, определяющего граничное условие к уравнению Лиувилля, играет Qq t) = Vg t). В следующем параграфе мы дадим примеры, иллюстрирующие применение основного кинетического уравнения (2.4.18) в конкретных задачах. Более подробное обсуждение основных кинетических уравнений мы отложим до главы 7 второго тома. [c.127]

Метод проектирования Робертсона. По существу, основная идея метода Робертсона [139, 140] близка к идее метода неравновесного статистического оператора. Неравновесное состояние системы описывается средними значениями некоторых базисных динамических переменных и вводится соответствующее квазиравновесное распределение (2.3.3), в котором параметры F t) определяются из условий самосогласования (2.3.4). Вместо граничного условия в отдаленном прошлом, Робертсон, как и Цванциг, использует начальное условие для неравновесного распределения. Предполагается, что в некоторый момент времени истинное неравновесное распределение g t) совпадает с квазиравновесным, т. е. [c.127]

Кинетическое уравнение для одночастичной матрицы плотности можно вывести из квантового уравнения Лиувилля различными способами. В частности, для этого достаточно построить статистический оператор g t), удовлетворяющий граничному условию ослабления корреляций в отдаленном прошлом, и выразить его через ква-зиравновесный статистический оператор Qq t) который, в свою очередь, зависит от одночастичной матрицы плотности. Такой метод оказывается особенно удобным для систем со слабым взаимодействием частиц, так как он позволяет построить интеграл столкновений, исходя только из общих свойств системы. Вывод квантовых кинетических уравнений с помощью этого метода дается в параграфе 4.1. Другой подход к квантовой кинетической теории основан на цепочке уравнений для 5-частичных матриц плотности которые аналогичны классическим 5-частичным функциям распределения. В случаях слабого взаимодействия между частицами или малой концентрации частиц, квантовую цепочку уравнений можно решить с помощью теории возмущений. Некоторые разновидности этого подхода изложены в книгах [35, 57]. В параграфах 4.2 и 4.3 мы рассмотрим квантовую цепочку уравнений с точки зрения метода неравновесного статистического оператора. Вначале мы построим групповое разложение интеграла столкновений для систем с малой плотностью, а затем обобщим метод на плотные квантовые системы. [c.248]

Немарковский интеграл столкновений с учетом корреляций. Посмотрим теперь, к каким изменениям в немарковском интеграле столкновений приводит новое выражение для квазиравновесного статистического оператора. Чтобы учесть поправки Хартри-Фока в энергию квазичастиц, запишем гамильтониан системы в виде (4.5.29). Тогда вместо (4.5.8) мы получим следующее интегральное уравнение для неравновесного статистического оператора [c.317]

Наконец, коммутатор [gq t ) H] в (5.1.14), где Qq t ) — линеаризованное квазиравно-весное распределение (5.1.6), очевидным образом выражается через потоки и мы получаем линейное приближение для неравновесного статистического оператора в виде [c.342]

На первом этапе задача состоит в том, чтобы построить неравновесный статистический оператор, описывающий состояние системы. Как обычно, начнем с квазирав-новесного распределения. Пусть Рт набор базисных динамических переменных, включающий в себя операторы наблюдаемых потоков и, возможно, некоторые дополнительные переменные. Эти дополнительные переменные могут потребоваться, например, при вычислении коэффициентов переноса с помощью вариационного метода ). К вопросу о выборе базисных переменных Рт мы вернемся позже, а пока лишь предположим, что их средние значения равны нулю в тепловом равновесии и что они ортого- [c.406]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...