Общее уравнение эволюции

Общее уравнение эволюции [c.95]

Лаке [1968] в работе, открывшей новое направление в математической теории нелинейных волн, поставил вопрос о возможности изучения таким же образом общего уравнения эволюции [c.95]

Решения типа уединенной волны общего уравнения эволюции [c.103]

Обратившись снова к уравнениям эволюции, рассмотренным в гл. И (уравнения Больцмана, Фоккера — Планка, Ландау), обнаруживаем у них целый ряд общих свойств [c.162]

В этой главе будет показано, как общие абстрактные результаты гл. 16 и 17 применяются к конкретным физическим системам, а также как уравнения эволюции компонент вектора распределения f переходят в кинетические уравнения для частичных функций распределения. При этом не возникает необходимости привлечения каких-либо новых физических идей вся физика уже содержится в общей теории. Мы должны лишь разработать, с одной стороны, совокупность последовательных процедур приближенного описания, а с другой — метод перехода от абстрактного уровня к конкретному. [c.220]

В дальнейшем мы сформулируем принцип сокращенного описания так, чтобы он был применим к максимально возможному числу неравновесных процессов. На основе этого принципа мы построим общий метод вывода уравнений эволюции для наблюдаемых величин и проиллюстрируем его примерами из кинетической теории и теории релаксационных процессов. [c.79]

Анализ интеграла (4.3) и уравнений движения показывает, чго при С2 > О перигей меняется монотонно, а при С2 < О тоже может колебаться. Кроме того, монотонно меняется и положение узла орбиты. Такова в общих чертах эволюция спутника под действием гравитационного притяжения возмущающего тела. [c.44]

Представленная на рисунке 1.9 бифуркационная диаграмма является универсальной, так как применима ко всем процессам, испытывающим удвоение периода. В этом случае эволюция системы с дискретными временными интервалами, отвечающих неравновесным фазовым переходам описывается уравнением (1.24). Оно отражает общую закономерность характерную для эволюции систем с обратной связью. [c.71]

В конечном счете, эволюция в системе определяется ее кинетикой . Однако уравнения этой кинетики столь многообразны, что нельзя рассчитывать прийти таким путем к существенным результатам, касающимся общих закономерностей. [c.15]

Рассмотренный в предыдущем разделе пример Вольтерра выявляет общую черту, присущую неравновесным стационарным состояниям такие состояния появляются только тогда, когда в системе существует два масштаба времени. Так, в уравнениях (7.38) мы поддерживаем концентрации М и П постоянными, иначе эволюция системы приводила бы ее просто к состоянию полного равновесия. Однако поддержание постоянными М и П заставляет нас прибегнуть к масштабам времени (в данном случае — геологическим), которые весьма велики по сравнению с масштабами времени, связанными с А и В (в данном случае — биологические масштабы времени). [c.117]

При описании эволюции синергетических систем необходимо учитывать, что все они состоят из большого числа подсистем. Это требует введения многих переменных q , q , 3,. .., q . Их называют переменными состояния [23]. При этом важно выделение уровней описания микроскопического (отдельные атомы, молекулы), мезоскопического (ансамбли атомов и молекул) и макроскопического (непрерывные протяженные области атомов и молекул). Соответственно при описании эволюции системы на мезоскопическом уровне переменные относятся к ансамблям атомов или молекул, а на макроскопическом — к непрерывно протяженным областям атомов и молекул. Так, для описания роста кристаллов с помощью эволюционных уравнений вводятся переменные двух типов q x, t) и q iix, t), где <7i относятся к плотности молекул в жидкости, а q — в твердой фазе. Описание временных изменений системы в пространстве приводит к нелинейному стохастическому уравнению в частных производных общего типа. [c.19]

В общем случае, когда скоростью роста паровых пузырьков пренебречь нельзя (числа Якоба Ja> 10), задача об их отрыве решается на основе приближенных (полуэмпирических или эмпирических) подходов. Часто используемый как условие отрыва пузырька баланс сил, приложенных к его центру масс, может рассматриваться в лучшем случае как разновидность анализа размерностей [105]. Действительно, полный баланс сил (как уравнение сохранения импульса в проекции на нормаль к твердой поверхности) справедлив в любой момент эволюции пузырька и не может служить условием его отрыва. Кроме того, механика материальной точки, на которой такой баланс основан, едва ли применима к пузырьку с непрерывно изменяющейся формой поверхности. [c.94]

Перейдем теперь к рассмотрению гидродинамической стадии эволюции неравновесной системы, считая, что состояние газа с хорошей точностью описывается несколькими первыми моментами функции распределения, и покажем, каким образом кинетическое уравнение Больцмана позволяет весьма общим образом получить уравнения классической газовой динамики. Мы будем исходить из формул, полученных нами в 91 [c.522]

Снижение прочностных характеристик металлов в результате их коррозии может быть описано с различной степенью детализации. Так, если кривая усталости описывается степенным уравнением (1.2), то в общем случае необходимо выявить в эксперименте три функции, описывающие эволюцию параметров кривой [c.158]

Система уравнений (1.94) существенно проще, чем (1.90), поскольку она первого, а не второго порядка, в смысле дифференцирования по г. Однако система (1.94) не эквивалентна (1.90) даже когда нелинейность мала, так как (1.94) описывает эволюцию волн, распространяющихся в одну (сторону. В общем случае произвольных граничных условий система (1.94) должна быть дополнена аналогичной системой уравнений для амплитуд волн kz < О, распространяющихся во встречном направлении. [c.33]

Второй, не менее важный вопрос, который следует выяснить, прежде чем приступить к развитию более общей и (с необходимостью) более абстрактной теории, заключается в следующем если задано кинетическое уравнение, описывающее эволюцию системы во времени, то какую информацию можно извлечь из него Как вычислить представляющие реальный интерес физические величины [c.10]

В гл. 17 был разработан общий формализм для изучения временной эволюции системы многих тел. С помощью абстрактных обозначений f, F,. 55, и т. д. нам удалось достигнуть в этом формализме высокой степени компактности. Однако в реальных задачах необходимо уметь преобразовывать зти абстрактные символы в кинетические уравнения или выражения для парной корреляционной функции и т. д. Общие представления о подобном преобразовании были проиллюстрированы в гл. 18 на простейшем примере газа со слабым взаимодействием. Здесь для простоты Mst будем рассматривать только кинетическую компоненту f функции распределения, однако таким ше образом может быть рассмотрена и некинетическая ее компонента f. [c.255]

Исследовательский институт им. Мехты совместно с Индийским математическим обществом с 17 мая по 15 июня 1976 г. организовал четырехнедельный курс лекций на тему Гиперболические системы уравнений в частных производных и нелинейные волны . Они были ориентированы на научных работников, желающих познакомиться с этой увлекательной и вместе с тем полезной областью современной науки, в которую за последние годы было вложено много творческих сил. Автор прочитал ряд лекций по некоторым аспектам нелинейных волн. В основном он сосредоточил внимание на стационарных решениях знаменитых уравнений Бюргерса к Кортевега — де Фриза (КдФ), на взаимодействии солито-нов, на понятии групповой скорости для нелинейных диспергирующих волн и более кратко коснулся общего уравнения эволюции, частным случаем которого является уравнение КдФ. Из многих эволюционных уравнений, привлекавших внимание выдающихся ученых последние два десятилетия, мы выделили два указанных выше модельных уравнения, поскольку уравнение Бюргерса является простейшим при изучении диссипирующих волн, а уравнение КдФ — простейшая модель для диспергирующих волн. Причем последнее уравнение особенно важно благодаря существованию решений типа уединенной волны. [c.7]

Работа Пирсона вызвала попытки замены уравнений (22.59) более общими уравнениями, как-то учитывающими эволюцию крупномасштабного линейного поля скорости (например, исходящими из допущения о вращении главных осей деформации относительно жидкой частицы). На самом деле, однако, найденная Пирсоном расходимость не имеет отношения к вопросу о поведении наиболее мелкомасштабных возмущений в реальном турбулентном потоке. Из расчетов Пирсона и Сафмена следует, что неограниченное увеличение средней завихренности в линейном поле скорости вызывается возрастанием со [c.393]

Задача 22. Записать уравнение для матрицы плотноаи двухуровневой сиаемы с релаксационным членом, включающим только два параметра, характеризующих релаксацию диагональных и недиагональных элементов матрицы р, в форме уравнения Блоха и исследовать общий характер эволюции сиаемы. [c.389]

Уравнение Шредингера описывает всю эволюцию состояния микрочастицы. Закон движения микрочастицы полностью определяется заданием функции F в каждый момент времени в каждой точке пространства. Потенциальная энергия и, входящая в уравнение Шредингера, являгтся в общем случае функцией координат и времени. Однако для многих практически важных задач U является функцией только координат и не зависит от времени Для таких задач волновую функцию Т (л, у, г, t) можно представить в виде произведения ij) (j , у, г) на <р (/) [c.97]

Описание эволюции предела выносливости, обусловленной нарастанием коррозии металла, основывается на накопленном экспериментальном материале [21]. В достаточно общем случае можно считать, что скорость изменения предела выносливости зависит от качества металла (высокопрочные металлы обычно более чувствительны к коррозйи, чем менее прочные) и от уровня действующих напряжений. В этом случае кинетическое уравнение, описывающее изменение предела выносливости со временем, можно записать в следующем виде [c.159]

В общем случае спектр зависит не только от формы импульса, но и от начальной частотной модуляции импульса. На рис. 4.2 показаны спектры гауссовских импульсов без начальной частотной модуляции для нескольких величин максимального набега фазы фмакс- При фиксированной длине световода фмакс линейно зависит от пиковой мощности f o в соответствии с уравнением (4.1.6). Таким образом, эволюцию спектров, показанную на рис. 4.2, можно наблюдать экспериментально, увеличивая пиковую мощность. На рис. 4.3 изображены экспериментальные спектры импульса (близкого к гауссовскому, Го г 90 пс), излучаемого аргоновым лазером, после прохождения световода длиной 99 м с размером сердцевины 3.35 мкм (F=2,53) [9]. На спектрах обозначена величина фмакс для каждого случая, что дает возможность сравнивать их с вычисленными спектрами (рис. 4.2). Небольшая асимметрия, наблюдаемая в эксперименте, может быть связана с асимметрией формы входного импульса [9]. Видно полное совпадение результатов теории и эксперимента. [c.81]

Эволюция импульса принимает качественно иные черты для больших величин N. В качестве примера на рис. 4.14 показаны форма и спектр импульса при = 0.1. сначала имевшего гауссовскую форму без частотной модуляции, для случая N = 10. На импульсе формируется осциллирующая структура с глубокой модуляцией. Из-за быстрых изменений огибающей во времени третья производная в уравнении (4.2.5) локально становится большой и возрастает роль ДГС при распространении импульса в волокне. Самой примечательной особенностью спектра является то, что энергия концентрируется в двух спектральных областях. Эта черта общая для всех значений N I. Так как одна из частей спектра лежит в области аномальной дисперсии, в этой области могут формироваться солитоны [34]. Энергия в другой спектральной области, находящейся в области нормальной дисперсии световода, рассеивается в процессе распространения. Особенности, связанные с солитонами, в дальнейшем будут обсуждены в гл. 5. Важно отметить, что вследствие спектрального уширения в действительности импульс не распространяется при нулевой дисперсии, даже если сначала Pj — 0. На самом деле импульс создает свою собственную Pj пофедством ФСМ. Грубо говоря, эффективную величину Р2 можно определить как [c.95]

Займемся теперь исследованием вопроса о переходе от микроскопического к макроскопическому уровню. В равновесной теории такая проблема была довольно просто разрешена, как это показано в гл. 4. Если микроскопическая равновесная функция распределения задана (как в случае канонического ансамбля), то можна построить величину, обладающую свойствами термодинамического потенциала, и выразить ее через характеристические параметры функции распределения. Таким образом, связь между микроскопической теорией и макроскопической термодинамикой устанавливается сразу. В неравновесной теории подобного простого способа не существует. Это обусловлено разнообразием неравновесных явлений и сложностью процессов эволюции. Поэтому для построения неравновесной теории необходимы более совершенные средства. В данной главе мы начнем построение неравновесной теории с вывода уравнений гидродинамики, которые являются типичными уравнениями макроскопической физики сплошных сред. Чтобы дать читателю обп1ую ориентировку, сначала изложим саму идею используемого метода, которая является весьма общей и применима ко всем кинетическим уравнениям. [c.50]

Проведенный анализ позволяет теперь считать известным оператором действительно, его матричные элементы могут быть построены с помощью систематической процедуры. Явный вид, этих матричных злементов в квантовом случае существенно более сложен, чем в классическом. Подобное неизбежное усложнение обусловлено принципом Паули. Тем не менее мы можем утверждать, что структура квантовых и классических уравнений одинакова. Уравнение (14.3.4) в том виде, как оно записано, справедлив в обоих случаях, различен лишь смысл формальных символов. Этот фундаментальный факт позволяет нам в гл. 15—17 развить общую теорию временнбй эволюции, не проводя различия между классическим и квантовым случаями, в обоих случаях теория совершенно одинакова. Лишь в гл. 18 и 19 будет проведено конкретное рассмотрение классической и квантовой теории. [c.143]

Огромный прогресс, достигаемый при использовании субдина-мического описания (фиг. 22.1), иояшо понять следующим образом. Более традиционный подход к той же проблеме состоит в попытке показать, что кинетическое охшсание позволяет получить удовлетворительное приближение к закону эволюции систем. Такой результат не может быть достаточно общим. Он может быть получен только для простых систем, в которых имеется существенное различие между временными масштабами процессов соударения и релаксации. Тогда сложные переходные процессы затухают весьма быстро, а кинетическое уравнение на временах порядка времени релаксации действительно является хорошим приближением при описании поздней стадии эволюции системы. Однако при исследовании плотных жидкостей или сильно взаимодействующих систем оба упомянутых характерных масштаба времени имеют один порядок величины. Тогда переходные эффекты, которыми мы прежде пренебрегали, начинают влиять на простую эволюцию системы к равновесию. Математически такое положение описывается основным кинетическим уравнением Пригожина — Резибуа (см. разд. 16.3). Однако, чтобы записать член типа источника в их уравнении, необходимо задать все начальные корреляции, а при постановке задач мы обычно не располагаем такими сведениями. Поэтому упомянутое основное кинетическое уравнение может быть применено конкретно лишь для простых предельных случаев. [c.350]

Равновесная и неравновесная термодинамики существенно различаются и своей методологией. Равновесная термодинамика посвящена исследованию свойств одной известной функции, а именно статистической суммы Z Т, 1Г, N) (либо производных понятий, таких, как большая статистическая сумма). Разумеется, статистическая сумма представляет собой весьма сложную функцию, исследование которой требует самого изощренного математического аппарата. В неравновесной теории, наоборот, приходится иметь дело с бесконечной последовательностью неизвестных функций, соответствующих любым возможным начальным условиям. Совершенно очевидно,что нельзя требовать одинаково детального теоретического описания в обоих случаях. В неравновесной теории наша задача состоит в том, чтобы найти общие свойства для всех членов бесконечной последовательности. Именно в силу этого обстоятельства главный упор здесь делается на изучение закона эволюции во времени, т. е. на вывод дифференциального уравнения. Такое уравнение представляет собой не что иное, как математическое охгасание свойств всей упомянутой бесконечной [c.351]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...