Функция от матриц

Действительно, согласно правилу вычисления функции от матрицы имеем [c.18]

Хотя мы имеем здесь дело с матрицами, разложения в степенные ряды позволяют, как было показано выше, обращаться с функциями от матриц так же, как с функциями от обычных чисел. Поскольку [c.124]

Совокупность равенств (3) выражает вектор К как линейную вектор-функцию от ш с коэффициентами, представленными таблицей (матрицей) [c.282]

Как и следовало ожидать, при принятых выражениях (9.443) для функций Uj матрица [В], определенная явным образом в равенстве (9.453), не зависит от координат точек внутри конечного элемента, т. е. деформации в его точках постоянны. [c.331]

Несколько образцов и устройство для их нагружения показаны на рис. 18. Образцы имели поперечное сечение 0,50 X X 0,015 дюйма. В образце 1А отрыв волокна от матрицы произошел при низком уровне нагрузки волокно полностью отделилось при нагрузке 10 фунтов. Распространение отрыва легко проследить по движению полос от свободного конца. Образец 1Б также разрушился посредством отрыва волокна, начавшегося на одном конце. Максимальные порядки полос на концах волокна и средний порядок полосы вдали от волокна как функции нагрузки представлены на рис. 19. [c.523]

Рассмотрим теперь случай, когда исходная характеристика является периодической орбитой с периодом а. (Разумеется, если а есть период, то 2а, За,. .. также являются периодами. Обычно, хотя и не всегда, мы будем понимать под а наименьший период.) Элементы матрицы Л при этом являются периодическими функциями от f с периодом а, так что для всех значений t имеем [c.465]

До сих пор нам не удавалось доказать существования периодических орбит для =ji =0, но, несколько изменив подход к решению этого вопроса, мы можем провести это доказательство. Рассмотрим сначала вопрос о существовании периодических решений с периодом а. Как и ранее, положим Pm = т и разрешим т — 1 уравнений (30.7.7), где г фт — 1, относительно т — 1 переменных Рь Рг,. . Pm-i- В результате мы их выразим как функции от Разности pj — ai, Рг — 2, , Pm-i — m-i> как обычно, представим в виде рядов по степеням без постоянных членов. Для того чтобы такое решение было возможно, необходимо, чтобы Н Ф , где матрица Н получается из J путем отбрасывания т — 1)-й строки и т-го столбца. Если удовлетворяются все уравнения (30.7.7), кроме одного, то это последнее уравнение будет удовлетворяться автоматически благодаря интегралу Якоби. Это утверждение геометрически совершенно очевидно. Чтобы получить формальное доказательство, обозначим (Р ц а) через р . Тогда будем иметь р = Рг для всех г, кроме г = т — 1. Поскольку / (х i) есть интеграл, [c.615]

Минимизация функционала осуществляется прямым методом — функция, от которой зависит функционал, представляется в виде конечной линейной комбинации координатных функций, удовлетворяющих граничным условиям и принадлежащих полной системе. В указанной линейной комбинации коэффициенты неизвестны. После подстановки этой линейной комбинации в функционал он превращается в функцию коэффициентов. Далее ищется минимум этой функции обычным путем, т. е. приравниваются нулю производные по коэффициентам. Получающиеся при этом уравнения, поскольку функционал является квадратичным, оказываются линейными алгебраическими и в случае свободных колебаний однородными. Условие ненулевого решения отмеченной системы уравнений — равенство нулю ее определителя и представляет собой уравнение частот корнями его являются собственные частоты системы. После отыскания частот обычным путем находятся собственные векторы матрицы системы уравнений. Эти векторы изображают собой формы свободных колебаний. [c.246]

Элементы матрицы жесткости [/со1 вычисляются на основе диаграммы деформирования в начале нагружения. Матрица [/с] элемента- для изотропного материала является функцией параметров материала модуля упругости Е и коэффициента Пуассона v или объемного модуля К и модуля сдвига G. В более общей форме [к] зависит от матрицы [D (а)], устанавливающей связь между напряжениями и деформациями для рассматриваемого напряженного состояния [c.93]

Пример 7.2. В пластине по рисунку 7.6,с два прямоугольных элемента соединяются под прямым углом посредством кругового сектора. Выполняя процедуру по схеме (1.46), обобщенные граничные параметры каждого элемента находим из решения системы уравнений 12-го порядка, где матрицы лишь минимально отличаются от матриц примера 7.1. Для подобластей 0-1 и 2-3 используются фундаментальные функции (7.22) при а=1, для круговой подобласти 1-2 — (7.50) при ф=тг/2. Исходные данные круглого элемента [c.426]

Аналогичным образом можно построить все остальные элементы матрицы жесткости. В рассмотренном примере считается, что кривизны / l, Къ К ч постоянны. В случае если кривизны /Сь Кгу Кп представляют собой функции от л и у, то при вычислении интеграла (2.11) с этими величинами надо обращаться не как с константами, а как с функциями-. [c.46]

Следовательно, кинематические переменные хорд всегда можно выразить в виде явных функций от кинематических переменных ветвей дерева. Для справедливости обратного вывода матрица Вдз должна иметь обратную. По этой причине при выборе опорного дерева графа системы в него следует включать источники кинематических величин. Из уравнения (61) следует, что кинематические переменные двухполюсников цепи могут быть заданы произвольно тогда, когда они входят в ветви некоторого дерева графа [6]. Как следствие заключаем, что источники произвольно заданных кинематических величин не должны образовывать контура в графе цепи. [c.66]

Заметим, что для рассматриваемого элемента при получении матрицы [/С] операция интегрирования упрощается, так как матрица [51 не является функцией от л и а зависит от координат узловых точек. [c.99]

Рассмотрим вычисление интегралов от матрицы фундаментальных решений по элементам контура, где подынтегральные функции могут иметь особенности при г->0. Считаем, что компенсирующие нагрузки в пределах этих элементов постоянны, поэтому они входят в интегральные уравнения в виде множителей перед интегралами от фундаментального решения и его производных. [c.35]

В реальных эластомерных конструкциях основания пакета обычно соединены с достаточно жесткими фланцами. Задаются смещения фланцев или силы и моменты, приложенные к этим фланцам. В любом случае сначала делается расчет конструкции в предположении, что заданы относительные смещения оснований Ог, йх и и>у. Если известны не смещения оснований, а внешняя нагрузка, то делается пересчет искомых функций от смещений к силам и моментам с помощью соотношений податливости (6.10). При таком пересчете возможна потеря точности (три-четыре знака и более), связанная, в частности, с обращением матрицы жесткости в формулах (6.6). Поэтому практическое значение при численном решении краевых задач имеет выбор точки приведения (центра поворота), относительно которой вычисляются смещения и силы в (6.6). [c.65]

Библиотека математических функций MATLAB — набор самых разнообразных функций, включающий элементарные и специальные математические функции, логические функции, операции с комплексными числами, функции вычислений с матрицами и др. Она основное ядро системы, которое предоставляет пользователю инструменты для выполнения широкого круга математических вычислений, в том числе вычислений с действительными и комплексными числами операций с матрицами, массивами данных, алгебраическими полиномами вычислений ранга, числа обусловленности, сингулярного и спектрального разложений матрицы, функций от матрицы решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений численного и символьного дифференцирования и интегрирования решения обыкно- [c.207]

В основном благодаря новаторским работам Джона Болла по трёхмерной теории упругости, особенно важную роль при изучении проблем, рассмотренных в томе 1, приобрело понятие выпуклости. В частности, мы естественным образом приходим к нетривиальным примерам выпуклых оболочек множеств, например множества всех квадратных матриц с положительным определителем (теорема 4.7-4), а также выпуклых функций от матриц. Так, при изучении материалов Огдена в главе 4 естественно возникают функции вида Р (Р Р) с а 1 [c.10]

Следующий результат касается соотношения между следом произведения двух матриц и их сингулярными числами. Это соотношение будет положено в основу доказательства выпуклости некоторых функций от матриц (теорема 4.9-1). Впервые это соотношение установил фон Нейман (mon Neumann [1937]), а затем другое доказательство дал Мирский (Mirsky [1959] см. упражнение 3.4). Третье доказательство, которое мы приводим ниже, также принадлежит Мирскому (Mirsky [-1975]), а в упражнении 3.5 предложен ещё один подход, основанный на множителях Лагранжа. Вопреки ожиданиям, дать подобающее доказательство столь простого на первый взгляд результата оказывается весьма непросто чтобы убедиться в этом, мы настоятельно советуем читателю попытаться найти собственное доказательство. [c.131]

Принятие аксиомы независимости материала от системы отсчёта и одновременно с этим учёт свойства изотропности материала в точке приводят к замечательно простому виду функций реакции для изотропных упругих материалов. Это вытекает из следующей теоремы о представлении матричнозначных функций от матриц, которая принадлежит Ривлину и Эриксену (Rivlin Eri ksen [1955, 39]). Здесь мы опускаем индекс D и не указываем зависимость матриц от х. [c.141]

Аналитические функции от матриц. И. А. Лаппо-Дани-левскнй применил к вычислению групп монодромии линейных дифференциальных уравнений и к восстановлению уравнения по группе монодромии теорию аналитических функций от матриц. [c.132]

Из общих рассуждений п. 32 следует, что так как в рассматриваемом нами случае все связи двусторонние, то множители Лагранжа будут однозначно определены при единственном условии, что уравнения связей независимы между собой, т. е. что функциональная матрица левых частей этих уравнений, рассматриваемых как функции от координат точек системы, имеет ранг, равный числу самих уравнений. В нашем случае число уравнений равно т — 1 = = 2 (и — 2) [поскольку должно быть исключено равенство (29), со-ответствз ющее i = a, i= ] в силу самого определения неизменяемой системы без лишних стержней, их левые части независимы (гл. XIV, н. 14) по отношению к 2 (и — 2) координатам различных узлов Fi (i < а, р). [c.282]

Элементами первой строки этой матрицы служат направляющие косинусы оси GI по отношению к осям системы Oxyz, элементами второй строки — направляющие косинусы оси G2, и элементами третьей строки — направляющие косинусы оси G3. Элементы матрицы I являются известными функциями от углов 01, 02, 0з явные выражения для этих функций будут приведены позже ( 7.11) для двух способов выбора углов 0i, 02, 0 . Для точки с координатами а, Ь, с в системе G123 справедливы формулы [c.60]

Форма частиц у-фазы зависит от степени несоответствия ее параметров параметру матрицы. При несоответствии порядка 0...0,2 % образуются сферичесюте частицы, при несоответствии порядка 0,5...1,0% — ку-бичесюте, при несоответствии больше 1,25 % - пластинчатые. В свою очередь, несоответствие является функцией состава матрицы и преципитата. [c.305]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...