Симплектический лист

Возникающая из периодов пуассонова пространстве ласточкина хвоста может быть локально определена как структура общего положения среди обладающих следующим свойством линия самопересечения хвоста вся лежит в одном симплектическом листе. [c.434]

Через точки, для которых ранг скобки Пуассона не максимален (меньше 2г), проходят сингулярные симплектические листы (подробнее см. [31]). Системы на сингулярных симплектических листах также часто встречаются в механике [31, 141]. [c.32]

Размерность неособого симплектического листа, гомеоморфного (ко)каса-тельному расслоению трехмерной сферы T S , равна шести. Вследствие выполнения соотношений ортонормированности, симплектический лист определяется условиями Д = /2 = /з = 1, = 0. Так [c.52]

Неособый симплектический лист также гомеоморфен кокасательному расслоению трехмерной сферы Т 3 , его размерность равна шести. Уравнения движения могут быть записаны в следующем виде [c.53]

Функции Fi и F2, которые называются интегралами импульсивного момента и импульсивной силы соответственно, являются функциями Казимира и фиксируют симплектический лист (в дальнейшем интеграл Fi, по аналогии с уравнениями Эйлера-Пуассона, мы называем интегралом площадей). Для интегрируемости возникающей на листе гамильтоновой системы с гамильтонианом (1.2) не хватает еще одного дополнительного интеграла (это следует также из теории последнего множителя — вследствие наличия стандартной инвариантной меры). В общем случае уравнения Кирхгофа не являются интегрируемыми. Их неинтегрируемость и стохастичность обсуждается, например, в [31]. [c.165]

В невырожденном (регулярном) случае размерность симплектического листа равна восьми. Однако при i = О или при сг = О размерность листа падает на две единицы. При с ф Q, сг = О особый симплектический лист (сингулярная орбита) гомеоморфна (ко)касательному расслоению трехмерной сферы TS (T S ), и для векторов Ь,тг выполняются соотношения [c.282]

Симплектическая структура 31 Симплектический лист 31, 52 [c.376]

Естественным с физической точки зрения вопросом является нахождение условий на интенсивности, при которых данная алгебра является компактной, поскольку это влечет компактность всех симплектических листов. В этом случае все траектории относительного движения, вне зависимости от значения энергии (1.9) и момента (1.14), финитны, и, кроме того, всегда можно выбрать ограниченную область в пространстве взаимных расстояний, которую вихри не покидают. В некомпактном случае динамика вихрей существенно иная — даже если все траектории на симплектическом листе финитны (что в общем случае не так) можно подобрать значения интеграла энергии (1.9) и момента (1.14) таким образом, что вихри покинут наперед заданную область. Проблемы классификации алгебраического типа структуры (1.10) рассмотрены нами в 5. [c.34]

Проблема интегрируемости. Переход от уравнений движения (1.1) и (2.7) к гамильтоновой системе со скобкой (1.10) и (2.17), описывающей эволюцию взаимного расположения вихрей, соответствует процессу редукции в алгебраической форме. Для реального понижения порядка необходимо, так же как и в случае плоскости, ввести некоторую систему координат (не обязательно канонических) на симплектических листах, которые и являются фазовым пространством приведенной системы. В дальнейшем ( 3) мы проделаем эту процедуру для частного случая при N = Ъ, при введении канонических (симплектических) координат, которые выражаются в очень частном случае через эллиптические функции. При К = 4 нам удалось построить соответствующие симплектические координаты только для случая плоскости, для случая сферы можно указать лишь общие соображения, позволяющие разобрать общий алгоритм, хотя и не являются каноническими, но также могут быть использованы для аналитических и численных исследований. [c.43]

Симплектические листы, соответствующие возможным расположениям вихрей, определяемым условием F = О, выделяются условиями [c.50]

Рассмотрим здесь подробно случай выполнения условий компактности А > 0). Симплектические листы представляют собой двумерные сферы (3.16), в качестве канонических координат удобно использовать цилиндрические координаты l,L (сохраним для них обозначения координат [c.50]

Замечание 4. Описанная геометрическая интерпретация эквивалентна некоторой проекции движения изображающей точки по симплектическому листу (3.16), (3.19), (3.23), а смены направлений движения есть следствие особенностей этой проекции из пространства А, М1, Мг, Мз в пространство М1, Мг, М3. [c.54]

Построение канонических переменных приведенной системы, как можно заключить из (3.49), (3.50), достаточно проблематично и для численных расчетов и качественного анализа явные выражения, как правило, не требуются. Для этого достаточно пользоваться произвольной параметризацией симплектического листа. [c.68]

На плоскости при > = О, согласно (3.16), (3.17), (3.19), (3.23), симплектический лист, соответствующий фазовому пространству редуцированной системы при А > О (условие компактности), вырождается в точку, при А < О в конус, а при А = О — в прямую. Для геометрической интерпретации получается соответственно, точка, угол на плоскости и прямая. Аналогичные утверждения справедливы и для одновременного коллапса N вихрей, случаи = 4,5 изучаются в [42]. Таким образом, движение вихрей возможно лишь при условии А < 0. Причем в случае А = О вихри движутся вдоль одной прямой. [c.81]

Согласно (3.16), при А > О симплектический лист, соответствующий относительному движению, компактен, поэтому все расстояния ограничены и рассеяние невозможно. [c.83]

При помощи предложения 4.1 можно выполнить понижение порядка и построить фазовые портреты интегрируемого случая задачи четырех вихрей с нулевой суммарной интенсивностью и нулевым суммарным моментом. Для этого необходимо получить уравнения в канонических переменных на приведенном фазовом пространстве, пользуясь соображениями 2. Па симплектическом листе алгебры трех вихрей, определяемом интегралом момента (4.7) [c.91]

Качественный анализ относительного движения нри ЛГ = 1. Таким образом, фазовое пространство приведенной системы для задачи вихря Кирхгофа и точечного вихря состоит из двух двумерных симплектических листов, которые склеиваются по прямой у = с, гамильтонианы (9.9) на каждом из листов отличаются знаком. [c.155]

Можно показать, что у = с является частным решением системы, которое соответствует круговому вихрю Кирхгофа (или вихрю Рэнкина, А = 1), который, согласно (9.8), располагается на постоянном расстоянии от точечного вихря. Следовательно, симплектические листы разделены инвариантным (одномерным) многообразием, и траектории с одного листа не переходит на другой. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать траектории лишь на одном листе (А < 1). Согласно (9.9), траектории на другом листе получаются заменой х х + т ,у у. [c.155]

Размерности листов пуассонова многообразия чётны. В самом деле, каждый лист имеет естественную симплектическую структуру (скобка Пуассона которой совпадает с ограничением исходной скобки на этот лист). [c.108]

С. Ли доказал, что всякое пуассоново многообразие локально (в окрестности точки, где размерности симплектических листов постоянны, например — в окрестности точки общего положения, где размерности максимальны) разлагается в прямое произведение симплектического листа и дополнительного пространства, на котором все скобки Пуассона нулевые. [c.424]

Размерности симплектических листов пуассонова многообразия в точках не общего положения меньше, чем в точках общего положения. В окрестности такой точки пуассоново многообразие [c.424]

В указанных координатах симплектический лист задается уравнениями = j, ( j = onst), a симплектическая структура на нем задается формой [c.32]

Симплектические листы структуры Ли-Пуассона, как известно из теории алгебр Ли, представляют собой орбиты коприсоединенного представления соответствующей группы Ли (см. [6, 7, 135]). Формальное изложение и соответствующее доказательство имеется, например, в [6]. Уравнения Гамильтона для структуры Ли-Пуассона в покомпонентной записи имеют [c.32]

Скобка Пуассона в переменных (М, 7) определяется алгеброй е(3) (см. 1 гл. 2). Симплектический лист алгебры е(3) 7 = 1, (М, 7) = с диффео-морфен кокасательному расслоению к двумерной сфере S = 7 = Эта сфера, являющаяся конфигурационным пространством приведенной (по ф) системы, называется сферой Пуассона. [c.223]

Общие уровни функций Казимира Fi = i,F2 = 2, j = onst представляют собой симплектические листы, расслаивающие фазовое пространство L, тг, Л, Ао) на орбиты коприсоединенного представления группы -Б (4). [c.282]

Предложение 1.1. Поверхность уровня Do = onst совместно с соотношениями (1.12) определяет симплектический лист в общем случае сингулярный) размерности 2N — 4, который соответствует симплекто-морфен) приведенному фазовому пространству системы (1.1), ограничение пуассоновой структуры (1.10) на него невырождено. [c.34]

Таким образом, относительное движение вихрей может быть описано гамильтоновой системой со скобкой Ли—Пуассона (1.10), зависящей от параметров — интенсивностей вихрей. Эта система и является приведенной, причем, для действительного понижения порядка системы, необходимо ограничить структуру (1.14) на симплектический лист. Ажоритм такого ограничения приведен нами в 5. Вещественная форма алгебр Ли, отвечающих данным скобкам при различных значениях интенсивностей определяет, топологию симплектических листов и следовательно динамику приведенной системы. [c.34]

Размерность симплектического листа (в общем случае сингулярного) приведенной системы (определяется соотношениями (2.18) и (2.19) и линейным интегралом (2.21)) равна 2N — 4. По теореме Лиувилля для ее интегрируемости необходимо N — 3 дополнительных инволютивных интеграла. [c.44]

Симплектический лист структуры, соответствующий фазовому пространству приведенной системы, определяется как поверхность уровня D = onst и Р = 0. Он двумерный и при ограничении на него системы (3.6), получим (интегрируемую) гамильтонову систему с одной степенью свободы. [c.46]

Приведение к одной степени свободы. Как было показано выше, переменные Мг, М2, Мз, А описывают редуцированную (по действию группы движений плоскости (2)) систему. Исследуем подробно чему диффеоморфно (симплектоморфно) фазовое пространство приведенной системы или, что то же самое, симплектический лист алгебры скобок (3.4). Он является пересечением двух поверхностей в четырехмерном пространстве (Ml,Дiг,Mз,Д) [c.66]

Канонические неременные для относительного движения трех вихрей на сфере. Построение канонических переменных для редуцированной системы в переменных (Mf ,A) равносильно введению координат Дар-бу на двумерном симплектическом листе, определяемом общим уровнем функций Казимира (3.7). В общем случае получаются слишком громоздкие вычисления, поэтому опишем подробнее алгоритм построения таких координат для случая равных интенсивностей при D = О, (хотя эти симплектические листы не соответствуют реальным движениям идея, построения будет более понятна). [c.68]

Помимо естественного представления траекторий приведенной системы в канонических координатах на симплектическом листе (рис. 21 - 25, слева), в данном случае геометрическая интерпретация задачи трех вихрей (см. 3 раздел 3) также дает наглядное представление о движениях системы в пространстве взаимных расстояний Mi, М2, М3 (рис. 21 - 25, справа). Рассмотрим подробнее возможные типы фазовых портретов и соответствующие геометрические интерпретации в случаях компактности и некомпактности фазового пространства приведенной системы. [c.93]

Для объяснения происхождения лиевых пучков, связанных с вихревой алгеброй, и описания (сингулярных) симплектических листов, соответствующих фазовому пространству приведенной системы, рассмотрим переход к относительным переменным с точки зрения редукции по симметриям [1, 3, 119]. [c.113]

Наряду с классической скобкой Пуассона функций, встречаются более общие скобки (вырождающиеся). Типичный пример — скобка Пуассона функций от компонент М вектора кинетического момента, Р,С = дР дМ1) (дС дМ ) М1, М] . Такие вырожденные скобки можно рассматривать как семейства обычных скобок Пуассона функций на семействах силшлектических многообразий. Однако эти семейства, вообще говоря, имеют особенности (не являются расслоениями) они состоят из симплектических многообразий (листов) разных размерностей, соединенных менаду собой условием гладкости заданной вырожденными скобками пуассоновой структуры на пространстве — объединении. (В описанном выше примере листы — концентрические сферы и их центр.) [c.422]

Таким образом, листы пуассонова многообразия четномерны, и его можно рассматривать как объединение симплектических многообразий (вообще разных размерностей), симплектические структуры которых согласованы условием гладкости объединяющей скобки Пуассона. [c.423]

Нужное здесь условие общности положения состоит в том, что касательная плоскость листа в нуле не совпадает с касательной плоскостью ласточкина хвоста в нуле. Всякая гладкая функция, постоянная на линии самопересечения хвоста, имеющая ненулевой дифференциал на касательной плоскости хвоста в нуле, приводится вблизи нуля сохраняющим хвост диффеоморфизмом к виду A,2+ onst, а семейство голоморфных симплектических структур на плоскостях к = onst приводится к виду dkl Д dk голоморфным локальным диффеоморфизмом трехмерного пространства, сохраняющим ласточкин хвост и расслоение на плоскости к = onst (УМН. — 1985. — Т. 40, вып. 5. — С. 236). [c.434]

Симплектическое слоепие. Обобщение теоремы Дарбу. Если скобка Пуассона является вырожденной, то пуассоново многообразие (фазовое пространство) расслаивается на симплектические слои листы), ограничение пуассоновой структуры на которые уже невырождено. Эти слои, как правило, представляют собой общий уровень всех функций Казимира. На слое справедлива теорема Дарбу и каноническая форма уравнений движения. Однако для приложений сведение к такой системе не всегда бывает необходимым, поскольку как правило, ведет к потере алгебраичности дифференциальных уравнений и ограничениям в использовании геометрических и топологических методов исследования. [c.31]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...