Якоби потенциальная

Физический маятник массы М вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси. Момент инерции маятника относительно этой оси равен /, расстояние от центра масс маятника до оси равно I. Составить дифференциальное уравнение Якоби — Гамильтона, найти его полный интеграл и первые интегралы движения маятника (нулевой уровень потенциальной энергии взять на уровне оси маятника). [c.376]

Материальная точка т вынуждена двигаться вдоль прямой, вращающейся с постоянной угловой скоростью. Реакция связи, перпендикулярная этой прямой, не равна нулю и совершает работу на абсолютном перемещении точки. Механическая энергия системы в этом случае не сохраняется, хотя сила пружины, действующая на точку, потенциальна. Вместе с тем имеет место обобщенный интеграл энергии Якоби. [c.546]

Якоби тождество 283 Якобиан 274 Яма потенциальная 107 [c.415]

Действие этого постулата не ограничивается областью статики. Он приложим также и к динамике, где принцип виртуальных перемещений соответствующим образом обобщается принципом Даламбера. Так как все основные вариационные принципы механики — принципы Эйлера, Лагранжа, Якоби, Гамильтона — являются всего лишь другими математическими формулировками принципа Даламбера, постулат А есть в сущности единственный постулат аналитической механики и поэтому играет фундаментальную роль Принцип виртуальных перемещений приобретает особое значение в важном частном случае, когда приложенная сила Fi моногенная, т. е. когда она получается из одной скалярной функции — силовой. В этом случае виртуальная работа равна вариации силовой функции LJ qi,. .., ( ). Так как силовая функция равна потенциальной энергии, взятой с обратным знаком, то можно сказать, что состояние равновесия механической системы характеризуется стационарностью потенциальной энергии, т. е. условием [c.100]

Этот принцип сходен с принципом Якоби (5.6.12), если только в последнем опустить член с потенциальной энергией V. Кроме того, ds —это уже не линейный элемент трехмерного пространства, а элемент (9.3.8) четырехмерного пространства. Минковского. Предположим, что с помощью некоторого точечного преобразования мы переходим от прямоугольных к произвольным криволинейным координатам. Тогда тот же самый линейный элемент ds примет форму (1.5.16), с суммированием от 1 до 4 13 [c.371]

Пусть теперь движение системы происходит в потенциальном поле (П 0). Тогда функция Якоби Р может быть вычислена по формуле (40) п. 152. Поэтому [c.487]

Рис. 41. Объединение однотипных иллюстраций к различным разделам курса 1) колебательное движение одномерной консервативной системы в потенциальной яме 2) этапы построения траекторий и решения уравнений движения в центральном поле сил 3) зависимость одной из постоянных интегрирования от определяющей координаты при применении метода Гамильтона—Якоби. Аналогичные многозначные зависимости можно указать и в других случаях Объяснение. Решение многих задач механики упирается в интегрирование дифференциального уравнения вида

Возможность восстановления течений в физическом пространстве xi, Ж2, жз, t зависит от свойства якобиана J = 6>(xi, 2, жз)/д щ, U2, нз), который не должен обращаться в нуль в области определения течения в пространстве щ, М2, щ, t. Если J обращается в нуль, в течении появляются предельные многообразия, происходит явление градиентной катастрофы. Представляет интерес выяснить особенности появления предельных многообразий и разрушения потенциальных бегущих волн для класса течений (1.1), [c.151]

Булатович Р. М. Аналитические решения уравнения Гамильтона — Якоби необратимой системы в окрестности невырожденного максимума потенциальной энергии у/ ПММ. —1989, т. 53, 5, 739-742. [c.418]

Интеграл Якоби. Рассмотрим уравнения Лагранжа (10)-(11) в случае, когда на систему действуют потенциальные и непотенциальные силы [c.229]

При таком выборе переменных уравнения движения, когда активные силы потенциальны, записываются в весьма симметричной и компактной форме, называемой канонической это облегчает исследование общих свойств движения и допускает сведение задачи интегрирования канонических уравнений к разысканию полного интеграла некоторого уравнения в частных производных первого порядка (теорема Якоби). Переменные являются независимыми и симметрично входят [c.503]

В предыдущем разделе было доказано существование хаотических траекторий для значений энергии, близких к максимуму потенциальной энергии V. При условии, более сильном чем условие (12), можно рассматривать произвольные значения энергии. В данном разделе будет сформулирован без доказательства один результат, доказанный в [11]. Для простоты ограничимся случаем обратимых систем на торе М. Тогда метрика Мопертюи-Якоби обратима. [c.159]

Книга содержит систематическое изложение теоретической механики и основ механики сплошных сред. Большое внимание уделено фундаментальным понятиям и законам механики Ньютона — Галилея, законам изменения и сохранения импульса, кинетического момента и энергии, уравнениям Лагранжа, Гамильтона и Гамильтона — Якоби для класса обобщенно-потенциальных сил, а также законам механики сплошных сред, на единой основе которых рассматриваются идеальная и вязкая жидкости, упругое тело. В книге подробно излагаются-, задача двух тел и классическая теория рассеяния, законы изменения импульса, кинетического момента и энергии относительно неинерциальных систем отсчета, теория линейных колебаний систем под действием потенциальных, гироскопических и диссипативных сил, метод Крылова — Боголюбова для слабо нелинейных систем, методы усреднения уравнений движения. Книга содержит большое количество примеров интересных для физиков, в частности рассматриваются примеры на движения зарядов в заданных электромагнитных полях, задачи на рассеяние частиц, колебания молекул, нелинейные колебания, колебания систем с медленно меняющимися параметрами, примеры из магнитогидродинамики. Книга рассчитана на студентов и аспирантов физических специальностей. [c.2]

Основываясь на теореме Якоби, можно применять следующий метод решения задач о движении механических систем с обобщенно-потенциальными силами и голономными идеальными связями. Этот метод заключается в составлении уравнения Гамильтона — Якоби по известной функции Гамильтона и в отыскании полного интеграла этого уравнения с последующим использованием соотношений (9.75). [c.405]

Например, составим уравнения Гамильтона — Якоби для свободной точки в потенциальном поле в декартовых, цилиндрических и сферических координатах (см. (9.2) — (9.4)) [c.405]

В 9.4 (см. 407) обращалось внимание на весьма интересную аналогию, которую можно провести между механикой точки и теорией волнового процесса. Проанализируем эту аналогию на примере свободной материальной точки, движущейся в стацио- парном потенциальном поле и(г), и монохроматической волны, распространяющейся в оптически неоднородной среде. Движение точки подчиняется уравнению Гамильтона — Якоби [c.415]

Как известно, якобиан отображения представляет собой отношение площадей соответствующих ориентированных элементарных площадок знак якобиана положителен при совпадающих ориентациях и отрицателен при противоположных. Как следует из (18), в области дозвуковых скоростей всегда выполняется неравенство J О, а в случае потенциальных течений — неравенство / 0. При этом / и J могут обращаться в нуль только в изолированных точках решение задачи Коши с начальными данными dp/dsi = О, dp ds2 = О (или d /dsi = О, d /ds2 = 0) на линии J = = О (или / = О для потенциальных течений) дает тривиальный случай равномерного потока. Аналогичным образом при рассмотрении уравнений движения в плоскости годографа устанавливается изолированность точек дозвуковой области, где J = ос (/ = ос для потенциальных течений). [c.31]

Неустойчивость положения равновесия при отрицательно определенной потенциальной энергии в неавтономном случае интуитивно достаточно ясна. Ее можно доказать сравнением с подходящей автономной системой. Б результате такого сравнения мы убеждаемся, что все решения уравнения Якоби для нормальных отклонений на многообразии отрицательной кривизны растут при движении вдоль геодезической не медленнее экспоненты прой- [c.276]

Лагранж, Жозеф Луи (25.1.1736-10.4.1813) — великий французский математик, механик, астроном. В своем знаменитом трактате Аналитическая механика (в 2-х томах), наряду с общим формализмом динамики, привел уравнения движения твердого тела в произвольном потенциальном силовом поле, используя связанную с телом систему координат, проекции кинетического момента и направляющие косинусы (том II). Там же указан случай интегрируемости, характеризующийся осевой симметрией, который был доведен им до квадратур. Следуя своему принципу избегать чертежей, Лагранж не приводит геометрического изучения движения, а рисунки поведения апекса, вошедшие ранее почти во все учебники по механике, впервые появились в работе Пуассона (1815 г), который рассмотрел эту задачу как совершенно новую. Пуассон, тем не менее, систематизировал обозначения, усложняющие понимание трактатов Даламбера, Эйлера и Лагранжа и рассмотрел различные частные случаи движения (случай Лагранжа в некоторых учебниках называют случаем Лагранжа-Пуассона). В свою очередь Лагранж упростил решение для случая Эйлера и дал прямое доказательство существования вещественных корней уравнения третьей степени, определяющих положение главных осей. Отметим также вклад Лагранжа в теорию возмущений, позволивший Якоби рассмотреть задачу о возмущении волчка Эйлера и получить систему соответствующих оскулирующих переменных. [c.21]

Если движение точки происходит под действием притяжения центрального тела и потенциальной возмущающей силы, то помимо оскулирующих элементов р, е, i, Q, со, т часто пользуются каноническими элементами Якоби аи 2, з, Pi, Р2, Рз, связанными с первыми элементами соотношениями [c.339]

Например, вариационный принцип Эйлера — Лагранжа в форме, указанной Якоби, позволил, по-видимому, впервые, установить явную связь между метрикой пространства, в котором движется изображающая точка, кинетическими характеристиками механической системы и потенциальной энергией консервативного поля, в котором движется механическая система. Далее было установлено, что при отсутствии активных [c.7]

Если построена обобщенная функция Гамильтона и уравнения движения непотенциальной системы приведены к гамильтоновой форме, то для таких систем справедливы все основные теоремы и методы гамильтоновой механики потенциальных систем, в частности теорема Остроградского — Гамильтона — Якоби об интегрировании канонической системы уравнений. На доказательстве этих утверждений не останавливаемся, поскольку оно проводится так же, как указано, например, в работе [16]. [c.169]

Отметим, что последование любой автономной натуральной лагранжевой системы в потенциальном силовом поле сводится к исследованию задачи о геодезических в метрике Якоби. [c.161]

Книга посвящена математическому изложению аналогий, существующих между гидродинамикой, геометрической оптикой и механикой. Оказывается, изучение семейств траекторий гамильтоновых систем по существу сводится к задачам многомерной гидродинамики идеальной жидкости. В частности, известный метод Гамильтона — Якоби отвечает случаю потенциальных течений. Рассказано о некоторых приложениях такого подхода, в частности, о вихревом методе точного интегрирования дифференциальных уравнений динамики. [c.2]

Это уравнение было открыто Гамильтоном в 1824 году в геометрической оптике, а спустя десять лет оно было распространено им на механику систем с потенциальными силами. Уравнение (7.1) называется уравнением Гамильтона в частных производных или (еще чаще) уравнением Гамильтона—Якоби, поскольку Якоби упростил его вывод и открыл важные свойства этого уравнения. [c.73]

Теорема Пуанкаре (теорема 12 7) дает критерий инвариантности потенциального и-мерного многообразия (и — число степеней свободы), однозначно проектирующегося на конфигурационное пространство потенциал соответствующего поля импульсов удовлетворяет уравнению Гамильтона—Якоби. Мы укажем сейчас условия инвариантности и-мерных потенциальных (вихревых) многообразий. [c.83]

Если уравнения (1.1) получены как уравнения Ламба для потенциальной инвариантной поверхности уравнений Гамильтона, то (1.10) превращается в известное уравнение в частных производных Гамильтона—Якоби. [c.108]

Для потенциальных течений и = дср/дх полное решение уравнений Ламба переходит в полный интеграл х, с) уравнения Гамильтона—Якоби [c.122]

Вихревой метод интегрирования уравнений Гамильтона включает в себя проблему отыскания в явном виде полного интеграла уравнений Ламба. Как нам известно, поиск потенциальных решений сводится к интегрированию одного уравнения Гамильтона—Якоби. Для [c.203]

Если ранг ротора поля и постоянен, то при и = 3 он может быть равен либо нулю, либо двум. В первом случае решение будет потенциальным и интегрируемость уравнений Гамильтона вытекает из теоремы Якоби. Если ранг равен двум, а функция [c.215]

Бом предложил интерпретировать уравнение (5) в общем случае, когда Н ф О, снова как уравнение Гамильтона—Якоби для обычной классической частицы, которая находится в суперпозиции двух потенциальных полей с потенциалами V и [c.225]

Как было показано в предыдущих параграфах, применение метода разделения переменных позволяет получить полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. Однако этот меуод не всегда применим. Поэтому естественно заранее выяснить, при каком виде гамильтоновой функции (или отдельно кинетической и потенциальной энергий) возможно применение метода разде- [c.166]

Следствие 8.12.3. (Принцип Якоби). Пусть система с го-лономными связями находится под действием потенциальных в обычном смысле) сил, а связи не зависят явно от времени. Тогда функцгюнал принципа Мопертюи-Лагранжа-Якоби представляется в форме [c.619]

Следствие 9.2.3. Система канонических уравнений Гамильтона имеет первый интеграл вида Н = к, где к — постоянная инте-грирования, тогда и только тогда, когда функция Гамильтона Н не зависит явно от времени дH/дt = 0. Для систем материальных точек этот интеграл эквивалентен обобщенному интегралу энергии Якоби, для склерономных систем с потенциальными силами — интегралу полной механической энергии. [c.634]

Ж. Лагранж первый ясно сформулировал принцип наименьшего действия (1760 г.). Среди всех движений, которые приводят систему материальных точек при постоянной полной энергии из определенного исходного положения в определенное конечное положение, действительное движение производит минимальное действие. Следовательно, возможные движения должны удовлетворять принципу сохранения энергии, зато они могут происходить в любое время. В соответствии с этой формулировкой путь одной материальной точки без приложенной движущей силы таков, что она с постоянной скоростью и в кратчайщее время достигнет цели. В качестве кривой пути получается линия кратчайшей длины, т. е. для свободной точки — прямая линия. К. Якоби и У. Гамильтон показали впоследствии, что принцип допускает и совершенно иные формулировки. Особую важность для будущего представляла формулировка, которую предложил Гамильтон. В ней сравниваемые возможные движения не должны обладать постоянной полной энергией, а вместо этого все должны протекать в одно и то же время. Но в таком случае действие, которое для действительного движения принимает минимальное значение, надо выражать не интегралом по времени от кинетической энергии, данным Мопертюи, а интегралом по времени от разности между кинетической и потенциальной энергиями. В применении к указанному выше примеру материальной точки, движущейся без воздействия движущих сил, принцип из всех возможных кривых дает в качестве траектории ту, на которой точка в определенное время с наименьшей скоростью достигает своей цели, следовательно, опять-таки наикратчайшую линию. [c.585]

Уравнения такого вида впервые применялись в работах Лагранжа и Пуассона по небесной механике. Трактовка их как общей формы уравнений движения механических систем под действием потенциальных сил была дана позднее Гамильтоном (для систем свободных точек), Якоби (для систем со стационарными связями), Остроградским и Донкином (для систем с нестационарными, вообще говоря, связями). Для нас основой такой трактовки послужит [c.129]

Первый подход предложил Л. М. Зубов [71. В этом подходе принцип стационарности потенциальной энергии был обобщен с использованием тензоров напряжений Пиолы ) и тензоров градиентов перемещений. Второй подход предложил Фрайш де Вебеке 181. Его формулировка основана на теореме о полярном разложении матрицы Якоби. В подходе использованы технические тензоры деформаций и сопряженные с ними тензоры напряжений, которые рассматриваются как функции тензоров напряжений Пиолы и материальных вращений. Таким образом, функционал [c.368]

А. Д. Билимович показал, что с помощью интеграла энергии из уравнений Чаплыгина — Воронца можно исключить время и понизить порядок этой системы на единицу. Если при этом потенциальная энергия и коэффициенты при лагранжевых скоростях в выражении кинетической энергии системы являются рациональными функциями кординат, то преобразованные уравнения не содержат иррациональностей. В случае голономной системы они принимают вид уравнений Якоби. [c.101]

Изоэнергетическое варьирование в обобщённо-консервативных системах. При Qi = О, dL/dt = О и связях, однородных первой степени относительно обобщённых скоростей, имеет место обобщённый интеграл энергии Якоби Г2 - Го + П = /г = onst (Г2, Ti, Го — формы второй, первой и нулевой степени относительно обобщённых скоростей в выражении кинетической энергии системы П — потенциальная энергия). Для вариаций, сохраняющих интеграл энергии, равенство (5) преобразуется к следующему виду [c.120]

Проблема точного интегрирования уравнений динамики — одна из самых популярных тем исследования, начиная со знаменитых Математических начал натуральной философии Ньютона. Руководящей идеей в этом круге вопросов является общая идея симметрии. При решении задачи о центральном движении Ньютон уже использовал соображения симметрии факторизуя орбиты группы вращений, он свел эту задачу к изучению движения по прямой в потенциальном поле. Впоследствии Лагранж и Якоби заметили, что классические интегралы задачи многих гравитирующих тел связаны с инвариантностью уравнений движения относительно группы преобразований Галилея. Это фундаментальное наблюдение обобщено Эмми Нётер каждой группе преобразований, сохраняющих действие по Гамильтону, отвечает интеграл уравнений движения. Верно и обратное фазовый поток уравнений Гамильтона, в которых гамильтонианом служит известный интеграл, переводит решения исходных уравнений движения в решения тех же уравнений. На этой идее основано доказательство известной теоремы Лиувилля о полной интегрируемости уравнений Гамильтона фазовые потоки инволютивных интегралов попарно коммутируют и порождают абелеву группу симметрий максимально возможной размерности на многообразиях их совместных уровней. [c.6]

Упругое рассеяние. Предположим, что плотности пучков настолько малы, что можно пренебречь многократным рассеянием. В случае упругого рассеяния переход из состояния v в состояние v° определяется ветвями неоднозначной функции Ь в), неявно зависисящей от потенциальной энергии взаимодействия частиц. Если пренебречь квантовомеханическими эффектами, то дифференциальное сечение упругого рассеяния в с. ц. м. (1) можно представить в терминах якобиана [c.134]

Уравнения (8.2) появились, по-видимому, впервые в вариационном исчислении как условие согласованности полей экстремалей (которые, как известно, описываются каноническими уравнениями). Правда, там обычно рассматриваются лишь самосопряженные (потенциальные) поля. Поле в вариационном исчислении обозначает п-параметрическое семейство непересекающихся экстремалей оно порождает и-мерное инвариантное многообразие в 2и-мерном фазовом пространстве (см. [12, 19]). Условие согласованности поля обычно записывают в виде уравнения (8.4), которое является аналогом уравнения Эйлера (1.2) из гидродинамики. Преобразование Ламба (переход от (8.4) к (8.2)) применялось в теории гамильтоновых систем в связи с анализом линейных по импульсам инвариантных соотношений (см. [43, 57]). И.С.Аржаных [3] обобщил уравнение Ламба на негамильтоновы системы (в частности, неголономные) и распространил метод Гамильтона—Якоби для их точного интегрирования. Однако до работы [33] уравнение (8.2) обычно не связывали с идеями гидродинамики. [c.86]

Из (4.8) вытекает, что дЗ/дЬ + Н — функция лишь от координат Ж1,..., Х2к и времени Ь. Это соотношение обобщает уравнение Гамильтона—Якоби и переходит в него при к = О (когда поле и потенциально). Тогда (4.7) будет замкнутой канонической системой дифференциальных уравнений для потенциалов Клебша с гамильтонианом д8/дЬ + Н. Эти наблюдения обобщают известные результаты Клебша и Стюарта (см. [42]) о вихревых течениях идеальной жидкости (когда и = 3). [c.127]

Сколько известно автору, уравнения (4)-(5) получены впервые Э. Маделунгом. Они изучались также Д. Бомом в связи с его гипотезой скрытых параметров — попыткой уйти от вероятностной интерпретации квантовой механики [18]. При Н О уравнение (5) перейдет в обычное уравнение Гамильтона—Якоби, описивающее потенциальные семейства траекторий обычной классической частицы с гамильтонианом [c.225]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...