Применение метода разделения переменных

Приведем выражение для компоненты а,, которое может быть получено для этой задачи непосредственным применением метода разделения переменных в 2 гл. IV [c.468]

Рассмотрим еще в качестве примера применения метода разделения переменных случай, когда [c.169]

Применение метода разделения переменных приводит в этом случае к формуле см. пример 1.2) [c.61]

Далее следует продолжать сокращение области (<р, Р) добавлением условий исправления аберраций во всем диапазоне фокусных расстояний. Решение этой задачи стало возможным благодаря электронно-вычислительным машинам большой скорости и применению метода разделения переменных. [c.307]

Основные трудности при решении краевых задач с условиями на движущихся границах связаны с тем, что они не допускают непосредственного применения метода разделенных переменных -одного из наиболее мощных методов математической физики. Особенно остро это касается неодномерных задач, которые рассматриваются в пятой главе. В настоящее время отсутствуют регулярные методы точного решения двух- и трехмерных задач. В них, как правило, ограничивались отысканием приближенных решений при медленных движениях границ путем разложения искомого решения по мгновенным модам квазистатического приближения 5.10, 5.11,5.13]. Такой подход, как отмечалось выше, не адекватен физической сущности задачи и в двумерных системах не позволяет описать явление аберрации при наклонном падении волны на движущуюся границу, двойной эффект Доплера, наличие крити- [c.16]

Применение метода разделения переменных [c.47]

Функции Лежандра встречаются также при применении метода разделения переменных к ортогональным координатам, полученным внутренними сечениями семейства конфокальных растянутых эллипсоидов вращения и семейства конфокальных гиперболоидов (рис. 29). Если записать [c.106]

Исследование неустановившихся (т. е. зависящих от времени) потенциальных течений в гл. XI имеет особый характер. Несмотря на то, что рассматриваемые течения весьма важны для приложений, полученные результаты относятся в основном к простым симметричным конфигурациям свободных границ и возмущений (цилиндрической и сферической кавитации), допускающим применение метода разделения переменных. Единственными исключениями являются импульсные и автомодельные течения, в которых от переменной времени удается избавиться другим способом. [c.31]

После этих предварительных замечаний можно перейти к применению метода разделения переменных в задаче о дифракции на цилиндре при д/дг = О, Каждая из двух систем (5.1) описывает, очевидно, и акустическую задачу, однако мы будем пользоваться электродинамической терминологией. [c.44]

Операционные методы. Для многих задач теплопроводности использование классических методов оказывается неэффективным, например, применение метода разделения переменных для задач с внутренними источниками тепла. Решения, получаемые классическими методами, не всегда удобны для практического использования. Часто требуется иметь приближенные решения, которые получить из классических решений трудно. В результате запросов техники за последние десятилетия инженерами и физиками стали широко применяться операционные методы решения. Основные правила и теоремы операционного исчисления были получены проф. М. Ващенко-Захарченко [7] и независимо от него Хевисайдом [102]. Наибольшее распространение они нашли в электротехнике, благодаря работам Хевисайда. Этот метод оказался настолько эффективным, что позволил решить многие задачи, считавшиеся до него почти неразрешимыми. [c.51]

Решение уравнения Лапласа в цилиндрической системе координат при применении метода разделения переменных в общем виде записывается в форме (2.44). В данном случае принимая во внимание симметрию задачи, а также учитывая условия (5.23) и (5.24), потенциал ф можно представить в виде [c.43]

Для решения этой задачи может быть применен метод разделения переменных. Используем для функции прогиба w и функции напряжений ф выражения вида [c.273]

Как было показано в предыдущих параграфах, применение метода разделения переменных позволяет получить полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. Однако этот метод не всегда применим. Поэтому естественно заранее выяснить, при каком виде гамильтоновой функции (или отдельна кинетическое и потенциальной энергий) возможно применение метода разде- [c.166]

Метод разделения переменных, сводящий решение уравнения в частных производных к решению нескольких обыкновенных дифференциальных уравнений, при определенных условиях может быть применен и для решения краевых задач. Попытаемся решить задачу о стационарном распределении температуры в круглой пластинке радиуса а с различными краевыми условиями на границе 5 пластинки. [c.170]

Как уже отмечалось, метод разделения переменных является эффективным, когда область в соответствующей криволинейной системе координат представляет собой параллелепипед (или прямоугольник). Однако возможно применение этого метода и в том случае. А, , когда область есть объединение областей такого вида [4]. Изложим этот метод на л примере задачи о кручении призматического стержня в форме уголка (рис. 31). [c.345]

До последнего времени для решения уравнений теплопроводности и диффузии обычно использовались метод разделения переменных, метод мгновенных источников, методы, основанные на применении функций Грина, Дирака и др. Эти классические методы предполагают отыскание в первую очередь общего решения и его последующее приспособление к частным условиям конкретной задачи. Детальное освещение классических методов решения уравнений переноса можно найти в фундаментальной работе А. Н. Тихонова и А. А. Самарского (Л. 7]. Получаемые классическими методами решения, однако, не всегда оказываются удобными для практического использования. Так, иногда требуется получить приближенные соотношения, в которых режимные параметры процесса должны быть отделены от физических характеристик тела или системы тел, взаимодействующих с окружающей средой. Эти важные для практики соотношения бывает затруднительно получить из классических решений. Еще большие осложнения возникают при решении систем дифференциальных уравнений тепло- и массопереноса классическими методами. Под влиянием запросов техники за последние десятилетия инженерами и физиками стали широко применяться операционные методы решения. Основные правила и теоремы операционного исчисления получены киевским профессором М. Ващенко-Захарченко [Л. 8]. Наибольшее распространение они нашли в электротехнике благодаря работам Хевисайда. Этот метод оказался настолько эффективным, ЧТО позволил решить многие проблемы, считавшиеся до его появления почти неразрешимыми, и получить решения некоторых уже рассмотренных задач в форме, значительно более приспособленной для численных расчетов. [c.79]

Поскольку методы решения линейных задач разработаны достаточно хорошо, естественным путем решения нелинейных задач является линеаризация, т. е. сведение к линейным с последующим применением известных методов разделения переменных (метод Фурье), интегральных преобразований и т. п. [c.68]

Как уже отмечалось, задача дифракции упругих волн на трехмерных телах решена методом разделения переменных для сферического и сфероидального тел. Для тел другой формы результаты еще не получены. В третьей главе изложен разработанный приближенный подход к решению дифракционных задач для произвольных тел, близких к сферическому, в случае произвольного волнового воздействия. В данном параграфе разработанный метод (метод возмущения формы границы ) применен к исследованию задач дифракции волн кручения на телах вращения, близких к сферическому [46]. Как уже отмечалось в тре- [c.119]

В заключение сделаем методические выводы. Метод, примененный выше для решения задач о волноводе с открытым концом, позволяет решать —строго и вместе с тем эффективно — ряд граничных задач математической физики, для которых обычные методы (например, метод разделения переменных и примыкающие к нему методы) оказываются непригодными. Во второй части данной книги мы рассмотрим некоторые из этих задач, не пытаясь при этом исчерпать все возможные задачи и ограничиваясь лишь теми из них, которые представляют определенный физический и технический интерес и для которых получены конкретные результаты. [c.196]

Исследование уравнений теплопроводности (параболического и эллиптического типа) содержится в курсах математической физики [43, 46, 49]. Здесь рассматриваются задачи теплопроводности, имеюшие наибольшее практическое значение и иллюстрирующие применение основных методов теории теплопроводности. К ним относятся задача о нестационарном теплообмене пластины произвольного профиля, решение которой основано на аппроксимации температуры по толщине пластины по степенному закону ( 3.2) задачи о стационарном и нестационарном осесимметричном плоском температурном поле диска ( 3.3 и 3.6) задача о нестационарном осесимметричном теплообмене полого цилиндра конечной длины с окружающей средой, исследованная с помощью интегрального преобразования Лапласа и метода разделения переменных ( 3.7), и др. [c.57]

Для того чтобы в решении Файлона освободиться от ограничения, налагаемого на тангенциальные нагрузки условиями (6.89), и вообще расширить область его применения, следует к найденному выше решению (6.88) добавить еще одно частное решение, вытекающее из принятого метода разделения переменных, но опущенное пока нами. Действительно, в дополнение к значениям /и=1. 2. 3.....принятым в (6.88) для построения функции ср, положим еще /и = 0. т. е. [c.173]

Полезность уравнения Гамильтона-Якоби заключается в том, что один из его полных интегралов часто удается найти без громоздких вычислений и без применения общей теории интегрирования уравнений в частных производных. Один из приемов нахождения полных интегралов заключается в методе разделения переменных вместо функции 3(t,q,a) многих переменных отыскивается комбинация функций, каждая из которых является функцией одной переменной. Наиболее популярной является аддитивная комбинация [c.176]

В этом разделе представлен второй метод вывода функции Грина для бесконечной среды. Фактически метод разделения переменных был развит позже, чем метод преобразования Фурье, но он изложен в настоящей книге первым, поскольку позволяет яснее продемонстрировать характер решения. Решение односкоростного уравнения переноса с помощью преобразования Фурье представляет интерес не только потому, что оно является еще одним подходом, но также и в силу того, что находит применение при решении некоторых многогрупповых задач. [c.62]

Сопротивление излучения круглого поршня, расположенного в акустически мягком концентрическом экране конечной высоты. Решение задачи об излучении звука круглым поршнем нулевой толщины, вставленным в абсолютно жесткий концентрический экран, может быть получено методом разделения переменных в сплющенной эллипсоидальной системе координат и применением парных интегральных уравнений (см. п. 1.3.6). Однако задача для абсолютно мягкого экрана конечной толщины такими способами уже не решается. Ниже приведены результаты вычисления активной составляющей импеданса излучения для модели, показанной на рис. 2.21, полученные решением интегрального уравнения (2.18). Здесь Ь - радиус экрана. [c.108]

Функции Рк. х) и Qk x t) будем считать базисными (они заданы), а с помощью коэффициентов ak t) bk t)) можно удовлетворить уравнению (например, вида (2)) и дополнительным начальным или краевым условиям. Вид ряда (4) является стандарт ным при применении метода разделения переменных для линейных уравнений. Однако для нелинейных задач процедура получения коэффициентов ak t) существенно услож няется. Как правило, системы обыкновенных дифференциальных уравнений для ak t) оказываются зацепленными и нелинейными (например, когда Рк х) = sin А ж(со8 А ж) и (4) является рядом Фурье), рекуррентное точное определение ak t) становится невоз можным и необходимо соответствующие системы обыкновенных уравнений каким-то образом обрезать. Нахождение коэффициентов ak t) даже после обрезания нелинейной системы является достаточно трудоемкой операцией, особенно если требуется опреде лить много коэффициентов. [c.19]

Последовательное применение метода разделения переменных н методов, связанных с интегрированием в плоскости комплексной переменной. Рассмотрены задачи о днфракцни на плоской границе раздела, иа цилиндре, клине н шаре, о волноводах и резонаторах. [c.270]

Для частного случая движения кругового цилиндра в безграничной жидкости решение может быть найдено непосредственно из уравнения (1.3), записанного в полярных координатах [8. Полярные координаты с последующим применением метода разделения переменных можно использовать также для произвольного контура. Однако здесь мы применим более эффективный метод, основанный на представлении бигармонической функции через две аналитические фукнкции комплексного переменного [c.332]

Из рассмотрення метода разделения переменных следует, что для его применения существен удачный выбор обобщенных координат, так как при одной системе обобщенных координат переменные могут быть разделены, а при другой нет. [c.162]

Исторически одним из первых методов, нашедших ншрокое применение при решении краевых задач для уравнений с частными производными, явился метод разделения переменных или, как его еще называют, метод Фурье, заключающийся в построении набора частных решений, каждое из которых разыскивается в виде произведения функций меньшего числа переменных (как правило, функций одного переменного). В ряде случаев оказывается, что такое представление не вступает в противоречие с исходным дифференциальным уравнением (тогда говорят, что уравнение допускает разделение переменных) и приводит, в зависимости от размерности задачи, к нескольким обыкновенным дифференциальным уравнениям, содержащим один и тот же числовой параметр. В зависимости от характера области, в которой решается краевая задача, граничных и начальных [c.117]

Часто применяемые на практике балки таврового, двутаврового, зетового, коробчатого и других тонкостенных сечений могут рассматриваться как состоящие из длинных прямоугольных полос, соединенных между собой вдоль краев. Элементарная теория изгиба применительно к таким профилям может быть неточной более правильные расчеты получаются, если строить для каждой из полос решение плоской задачи теории упругости и эти решения сопрягать между собою. Таким образом, возникает естественная необходимость построения решения плоской задачи для длинного, вытянутого прямоугольника. Оговорка о том, что прямоугольник должен быть вытянут, существенна. Дело в том, что метод разделения переменных, который будет применен в этой задаче, не позволяет удовлетворить двум граничным условиям на каждой стороне. Поэтому при решении добиваются точного удовлетворения граничных условий на длинных сторонах, тогда как на коротких сторонах граничные условия выполняются лишь интегрально. Вспомним, что такая же ситуация встречается в теории кручения и изгиба. Пусть ширина балки есть 2Ь, длина I, оси координат выбраны так, что границами слун ат линии х, = 0, х, = I, Х2 = Ь. [c.355]

Основными общими методами, используемыми при расчете коррозионного потенциала и тока, являются методы собственных функций (метод разделения переменных и метод интегральныу преобразований), метод изображений и метод Грина. Эти методы допускают использование стандартных схем расчета с применением справочных материалов, приведенных в разд. 1.2.2-1.2.5. [c.31]

К недостаткам метода разделения переменных следует отнести 1) невозможность его применения для пoлyo paничeнныx и неограниченных тел 2) невозможность его непосредственного применения в случае неоднородных граничных условий, которые вначале должны быть приведены к однородным (что не всегда легко сделать) 3) значительные трудности, связанные с решением краевых задач при граничных условиях четвертого рода. [c.102]

Метод разделения переменных находит применение также и для решения краевых задач для ур-ния эл-пиптич. типа (5), При исследовании и приближённом решении краевых задач для ур-ния (5) используют вариац. методы. Так, напр., для задачи на собств. значения (12), (13) (при р = 1) собств. значения X удовлетворяют вариац. принципу [c.65]

Одной из основных целей при исследовании задач дифракции упругих волн на неоднородностях является получение не только формального математического рещения, а такого, с помощью которого можно было бы эффективно определить дифракционные поля деформаций и напряжений вблизи неоднородностей. В указанных трех традиционных направлениях отмеченная цель ие была достигнута. В последние годы в связи с созданием н применением ЭВМ наметились два направления, по которым проводятся исследования задач дифракции упругих волн на неоднородностях с целью определения динамической напряженности вблизи неоднородностей. Первое направление связано с развитием численных методов при соответствующей дискретизации задач и с применением ЭВМ на всех этапах рещения задач. Развитие этого направления в силу универсальности его алгоритмов, по-видимому, в будущем обеспечит возможность исследования весьма щироких классов задач. Все же основные результаты, полученные за последние годы в СССР и США, относятся ко второму направлению, которое связано на первом этапе рещения задач с применением аналитических методов (метода разделения переменных и его обобщений, методов теории возмущений, метода сведения к интегральным уравнениям после неполного разделения переменных и т. д.) и на заключительных этапах рещения — с применением ЭВМ. В этом направлении в настоящее время уже исследованы достаточно щирокие классы задач и опубликованы две обобщающие монографии по отдельным аспектам рассматриваемой проблемы [44] —по дифракции упругих волн в многосвязных телах (на нескольких полостях) н [125] — по дифракции упругих волн в односвязных телах (на одной полости). Создание же обобщающей монографии, относящейся ко всем основным аспектам рассматриваемой проблемы (в рамках второго направления), представляется в настоящее время целесообразным, так как уже исследованы достаточно щирокие классы задач. Предлагаемая вниманию читателей монография является попыткой реализации такого замысла, хотя при ее написании в значительной мере были использованы результаты авторов и их коллег, полученные в Институте механики АН УССР за последние 10—15 лет. [c.6]

В книге дано систематическое изложение математических методов решения задач дифракции монохроматических волн (электродинамика, акустика). Представлены как точные методы (разделение переменных, интегрирование в плоскости комплексной переменной, метод собственных колебания), так и приближенные (вариационные, низкочастотная и высокочастотная асимптотики). В каждом методе описаны в первую очередь его идея, область применения, связь с другими методами. Затем изложен, в наиболее простой постановке, аппарат метода и приведечы примеры его применения. Киига может служить введением в теорию дифракции и облегчить переход к чтению более узкоспециальных монографий и журнальных статен. [c.4]

В 1881 г. Лэмб решил задачу о рассеянии электромагнитной волны на сфере. Метод, который он использовал при этом, тесно связан с методом разделения переменных, примененным Клебшем в 1861 г. при решении класса граничных задач с целью изучения взаимодействия волн в упругой среде на сферической поверхности. [c.459]

Будем искать частные решения основного дифференциального уравнения (У1Пп) плоской задачи, пользуясь методом разделения переменных, примененным в 44 к уравнению (IX) [c.204]

Аналитический расчет цилиндрических систем методом разделения переменных имеет большое значение для исследования краевых эффектов в индукторе, влияния магнитопровода для проектирования конкретных систем, а также для проверки результатов численных методов. Разработаны достаточно эффективные алгоритмы расчета единичных и многосекционных индукторов с периодическим полем. Существенными ограничениями, определяющими область применения метода, являются требования большой (теоретически бесконечной) длины загрузки, постоянства ее свойств по длине и кусочного постоянства по радиусу, а также возможности представления обмоток в виде тонких токовых слоев с заданным токораспределением. [c.60]

В 3 дано описание ДГС-лазера как диэлектрического волновода, а в 4 рассматривается распространение волны в симметричном трехслойиом плоском диэлектрическом волноводе. Центральный слой — это область в ДГС-лазере, в которой происходит генерация света и которая называется активным слоем. Трехмерное волновое уравнение для электрического поля оптической частоты выводится из уравнений Максвелла. Далее выводится дифференциальное уравнение, описывающее распространение электрического поля, поляризованного перпендикулярно направлению распространения, — поперечного электрического поля (ТЕ). Аналогичные уравнения описывают поперечные магнитные поля (ТМ), в которых магнитное поле поляризовано перпендикулярно направлению распространения. Эти поля зависят от двух пространственных переменных и времени, и решение волнового уравнения для них получается методом разделения переменных. Как следует из решений волновых уравнений, показатель преломления активного слоя должен быть больше показателей преломления прилегающих слоев, чтобы в трехслойной структуре происходило волноводное распространение излучения. Граничные условия для электрического и магнитного полей также выводятся из уравнений Максвелла. Применение этих граничных условий на границах раздела диэлектриков (гетеропереходах) приводит к дисперсионному уравнению, являющемуся уравнением на собственные значения, которое дает набор дискретных значений постоянной распространения. Получающиеся для этих дискретных значений конфигурации электрического и магнитного полей называются модами. [c.33]

Уравнение (3.3.8) можно разделить на два уравнения, одно из которых определяет координатную зависимость Т(г, ), а другое — временную. Метод разделения переменных уже применялся в 4 гл. 2 при решении волнового уравнения. Как и в задаче о волноводном распространении излучения, применение граничных условий приводит к уравнениям на собственные значения. Собственные решения уравнения (3.3.8) получаются в виде произведения собственной функции, зависящей от простраиственных переменных, на гармоническую функцию от времени [c.147]

Однако более простым и поучительным является применение бесселевых функций 2 для рассмотрения задач о потенциалах с осевой симметрией. В то же самое время мы остановимся на основных положениях одного из наиболее современных методов классического рещения диференциальных уравнений в частных производных математической физики, а именно методе разделения переменных. Этот метод обеспечивает систематическую процедуру при выводе элементарных рещений уравнения Лапласа, так как применявщиеся до сих пор элементарные решения уравнения Лапласа, как 1п г (гл. IV, п. 2), п в (гл. IV, п. 5), / (X + iy) (гл. IV, п. 8) 1/г (гл. V, п. 2) и (гл. VII, п. 4) при построении распределения давления или [c.355]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...