Градиент тензора

Градиент тензора представляет собой тензор третьего ранга. (В общем тензорном анализе или линейной алгебре скаляры рассматриваются как тензоры нулевого ранга, векторы — как тензоры первого ранга, тензоры — как тензоры второго ранга кроме того, изучаются тензоры более высокого ранга. Их компоненты имеют более чем два индекса и преобразуются при изменении системы координат согласно правилам, аналогичным (1-2.10), (1-2.11) и (1-3.23)—(1-3.25).) [c.34]

Компоненты градиента тензора А даются выражениями [c.34]

V(A-a) = a-v-A + А где А — произвольное симметричное тензорное поле и а — произвольное векторное поле. Указание доказательство вести в компонентной форме, поскольку в исходное тождество входит градиент тензора А. Выяснить, где именно требуются условия симметрии. [c.54]

Наконец, градиент тензора образуется при диадном умножении его слева на V [c.842]

Совокупность величин — образует тензор с = Vo на единицу большей валентности, чем о, который называется градиентом тензора о. В частности, градиент скаляра — вектор. [c.212]

В трехмерных задачах часто используется символический набла-оператор Гамильтона V, который рассматривается как вектор, компоненты которого представляют собой дифференциальные операторы Vi. Диадное произведение Vo есть градиент тензора о рассматривают также произведение oV, отличное от Vo например, если о — вектор, то набор компонентов oV представляет собой транспонированную матрицу по отношению к V о, а [c.212]

Это значит, что сила, отнесенная к единице объема, может быть представлена в виде градиента тензора 0,- [c.397]

В п. 2.2 получены кинематические зависимости, которые связывают относительную деформацию и вращение с первой производной от вектора смещения. Здесь введем, с одной стороны, уравнения связи для упругого тела, с помощью которых устанавливается зависимость между тензором относительных деформаций и тензором напряжений, и, с другой стороны, дифференциальные уравнения движения или равновесия, которые связывают градиент тензора напряжений с ускорением элемента таким образом, в последнем (имеется в виду ускорение) фактически неявно присутствует вторая производная от смещения. Однако прежде всего обратимся к вопросам кинематики и подсчитаем изменение кривизны поверхности предмета, при этом [c.154]

Для записи этих зависимостей в произвольной системе криволинейных ортогональных координат составим предварительно выражение тензора третьего ранга УТ — градиента тензора Т- Имеем [c.57]

По определению градиент тензора Т любой валентности есть [c.46]

Градиентом вектора а в точке X является тензор, обозначенный символом Va и определяемый как [c.32]

Выбирая координатную систему, можно найти соотношение между компонентами тензора Va и вектора а. Это соотношение оказывается более сложным, чем соотношение для градиента скалярной величины в ранее рассмотренном случае. Действительно, компоненты тензора Va вовсе не являются производными по координатам компонент вектора а, как это можно было бы предположить на основании аналогии между уравнениями (1-4.8) и (1-4.1). Такой простой результат имеет место лишь в том случае, когда система координат является декартовой. [c.32]

Из изложенного выше ясно, что символ V широко применяется при введении различных величин. Этот символ V имеет также специальное название — оператор набла. Во избежание недоразумений важно помнить, что оператор, подразумеваемый под этим символом, зависит от природы величины, к которой он применяется в этом отношении он различен в применении к скалярам, векторам и тензорам. С другой стороны, в компонентной форме эта операция допускает общую формулировку при помощи кова-риантного дифференцирования тензора и-го ранга. Кроме того, следует подчеркнуть различие между операторами V и V., которые обозначают градиент и дивергенцию соответственно. [c.35]

Ясно, что D симметричен. В общем случае любой тензор можно однозначно разбить на сумму симметричного и антисимметричного тензоров. Для градиента скорости имеем [c.49]

Вязкость ньютоновских жидкостей определяется уравнением (1-9.4) как половина коэффициента пропорциональности в зависимости, связывающей тензор напряжений т с тензором растяжения D. Уравнение (1-9.4) предполагает, что компоненты тензора напряжений должны быть пропорциональны соответствующим компонентам тензора растяжений для любого заданного участка течения. Одним из хорошо известных следствий уравнений Навье — Стокса (уравнение. (1-9.8)) является закон Хагена — Пуазейля, связывающий объемный расход Q в стационарном прямолинейном течении жидкости по длинной круглой трубе с градиентом давления в осевом направлении [c.55]

Рассмотрим теперь кинематические тензоры, такие, как градиент скорости Vv и тензор растяжений D. Из определения градиента скорости имеем [c.61]

Поскольку в декартовой системе все символы Кристоффеля равны нулю, компоненты (любого типа) тензора градиента скорости Vv задаются просто производными dv ldx (см. уравнение (1-4.9) или (1-4.14)) [c.83]

Применение теоремы полярного разложения к градиенту деформации F позволяет выделить тензор вращения R, правый тензор деформации U и левый тензор деформации V. Эти тензоры являются относительными тензорами, и если они записаны без индекса, то считается, что они отнесены к моменту наблюдения. Геометрическая интерпретация тензоров R, U и V будет дана ниже. [c.93]

Твердотельное движение характеризуется тем фактом, что градиент деформации является ортогональным тензором. Согласно [c.120]

Первое слагаемое представляет обычную обратимую работу сжатия материала фазы, а второе — диссипируемую энергию в г-й фазе из-за внутренних вязких сил, проявляющихся как за счет градиентов в поле скоростей Г , так и за счет взаимодействия с другой фазой. Так как непосредственное определение истинного тензора скоростей деформации в рассматриваемом случае является затруднительным, следует попытаться описать диссипируемую энергию в фазе с помощью используемых средних макроскопических параметров и воспользоваться некоторыми допущениями, вытекающими из анализа движения включений в несущем потоке среды и анализа уравнения баланса внутренней энергии фазы [c.37]

Тензор градиента скорости всегда, и причем единственным образом, можно представить в виде суммы симметричного [c.116]

Тензор градиентов скоростей 115 [c.335]

Предположим, что градиенты перемещений < ,7(Зх/<С 1, dui/dxj< l. Тогда из (3.16) получаем тензор малых деформаций Коши [c.72]

Если предположить, что кроме градиентов перемещений малы сами перемещения (ц 0), то разница между лагранжевым и эйлеровым координатами весьма мала и на основании (1.120) можно считать Xi = Xi. В этом случае тензоры е,/, определяемые по формулам (3.67), (3.68), можно считать совпадающими, что характерно для массивных тел. [c.73]

Тензор V называется градиентом векторного поля а(х). [c.323]

Дивергенция тензорного поля представляе собой тензор, получае-ыьш свертыванием двух последних индексов у компонент градиента тензора поля. Так, для тензора второго ранга (а ) его дивергенция [c.406]

Положим, что материал разбит на области с одинаковым градиентом тензора дисторсии внутри них, изменяющимся при не ех оде от одной области к другой. Область с одинаковым градиентом состоит из областей с одинаковым тензором дисторсии внутри, характерным для этрй области. С этими областями свяжем локальные системы координат. Тогда тензор дисторсии внутри малого структурного элемента моншо записать как [c.213]

Плотность дислокаций есть тензор 2-го ранга, связанный с ротором упругой дттсторсии. Перемещение дислокаций в общем случае описывается тензором 3-го ранга, симметричная часть которого описывает пластическую деформацию, а антисимметричная — пластический поворот. Градиент тензора дает накопление дислокаций в кристалле. Шпур тензора плотности дислокации описывает кривизну решетки. Можно ввести понятие об упругом и пластическом повороте. Например, ири плоской деформации, если дислокаций нет, кривизну решетки определяет градиент напряжений. При постоянном напряжении кривизна решетки определяется тензором плотности дислокаций. Несовместность деформации оказывается связанной с неоднородностью накопления дислокаций. [c.134]

Вектор Гамильтона V. Градиент тензора. Введем понятие градиента тензора с помощью символичеокого вектора (оператора) Гамильтона V (набла), который равен [c.46]

Итак, градиент тензора есть тензор валентности на единицу большей, чем валентность исходного тензора (градиент псевдотен-зора есть псевдотензор). [c.47]

Аналогично определяется коварпантная производная тензора второго ранга А. В частности, градиент тензора второго ранга может быть разложен но базисным нолиадам в виде [c.523]

Следует заметить, что градиент деформации F для любого заданного момента т зависит от момента времени, который рассматривается как момент наблюдения. Далее мы будем называть такие тензоры относительными тензорами. При рассмотрении относительных тензоров иногда желательно выбрать момент отсче- [c.91]

В тех случаях, когда изменение средней скорости несущей фазы заметно на расстояниях порядка размера ячеек I или R, следует учесть непоступательный характер среднего или макроскопического движения несущей фазы в ячейке. Эта неносту-пательность определяется тензором градиента средней скорости [c.114]

Во многих задачах механнки, когда градиенты перемещений точек деформируемого тела малы (смысл этого иредиоложения определяется точностью, которую необходимо получить в расчетах), нелинейными слагаемыми в определении тензоров деформации г9. и tf. пренебрегают в этом случае имеем [c.9]

Установить общий вид тензора сг. ., можно, исходя из следующих соображений. Процессы внутренне10 трения в жидкости возникают только в тех случаях, когда различные участки жидкости движутся с различной скоростью, так что имеет место движение частей жидкости друг относительно друга. Поэтому должно зависеть от производных от скорости по координатам. Если градиенты скорости не очень велики, то можно считать, что об с-ловленный вязкостью перенос импульса зависит только от первых производных скорости. Самую зависимость от производных dvifdxk можно в том же приближении считать линейной. Не зависящие от dvijdxk члены должны отсутствовать в выражении для сг- , поскольку а. должны обратиться в нуль при [c.72]

В потоке суспензпп с нешарообразыымп частицами наличие градиентов скорости оказывает ориентирующее действие на частицы. Под влиянием одновременного воздействия ориентирующих гидродинамических сил и дезориентирующего вращательного броуновского движения устанавливается анизотропное распределение частиц по их ориентации в пространстве. Этот эффект, однако, не должен учитываться при вычпслеипи поправки к вязкости г) анизотропия ориентационного распределения сама зависит от градиентов скорости (в первом приближении — линейно) и ее учет привел бы к появлению q тензоре напряжений нелинейных по градиентам членов. [c.111]

Аналогичные замечания должны были быть по существу сделаны уже в 15 (ср. примечание на стр. 66), так как ул<е наличие градиента скорости является термодинамической нерав-новесностью. Именно, под давлением р, которое входит в выражение для тензора плотности потока импульса в вязкой жидкости, следует понимать ту функцию р = р(е,р), которой она является в состоянии теплового равновесия. При этом р не будет уже, строго говоря, давлением в обычном смысле слова, т. е. пе будет совпадать с нормальной силой, действующей на элемент поверхности. В отличие от того, что было сказано выше [c.275]

Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей (1978) -- [ c.34 ]

Теория упругости (1970) -- [ c.842 ]

Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек (1978) -- [ c.212 ]

Пространственные задачи теории упругости (1955) -- [ c.57 ]

Нелинейная теория упругости (1980) -- [ c.476 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...