Инвариантное потенциальное

Сохранение момента импульса является следствием инвариантности потенциальной энергии при повороте системы отсчета. Если существует момент внешних сил, то в общем случае мы должны при вращении системы совершить работу против этого момента. Если же мы совершаем работу, то потенциальная энергия должна измениться. Когда известно, что при вращении потенциальная энергия не изменяется, то это означает, что не существует момента внешних сил. При равенстве нулю момента внешних сил момент импульса сохраняется постоянным. [c.196]

После образования трещин выражения для Лц- Лзз можно получить на основании зависимостей, изложенных в работе [33]. Однако, используя свойство инвариантности потенциальной энергии к направлению осей, эти коэффициенты можно также получить, записав выражение потенциальной энергии КЭ в тех осях, относительно которых можно сформировать физические соотношения рассматриваемого материала [17, 18]. Так, например, предполагая, что направление главных напряжений и относительных деформаций совпадают и коэффициент Пуассона после [c.89]

Более общий случай дважды вырожденных колебаний. Рассмотренное нами поведение нормальных координат по отношению к операциям симметрии можно также получить из требования инвариантности потенциальной энергии [c.107]

Теорема Пуанкаре (теорема 12 7) дает критерий инвариантности потенциального и-мерного многообразия (и — число степеней свободы), однозначно проектирующегося на конфигурационное пространство потенциал соответствующего поля импульсов удовлетворяет уравнению Гамильтона—Якоби. Мы укажем сейчас условия инвариантности и-мерных потенциальных (вихревых) многообразий. [c.83]

Получим прежде всего выражение потенциальной энергии системы, для которой выполняется преобразование Галилея. Предположим, что система состоит из двух частиц и мы рассматриваем одномерный случай. Пусть координаты этих частиц будут xi и Х2- Тогда потенциальная энергия U(xi, Х2) будет зависеть только от положения этих частиц. При осуществлении преобразования Галилея потенциальная энергия не должна изменяться, т. е. должна быть инвариантной по отношению к этому преобразованию при трансляции каждой из частиц на величину Ь с постоянной скоростью [c.180]

Это рассуждение легко обобщить на случай N частиц. Потенциальная энергия системы, состоящей из N частиц, будет инвариантна по отношению к переносу, если эту энергию можно представить как функцию только расстояний между частицами [c.181]

Следует подчеркнуть, что сила может быть инвариантна по отношению к трансляции и без того, чтобы сохранился постоянным импульс. Важно, чтобы инвариантной была потенциальная энергия. Импульс сохраняется постоянным только в том случае, когда потенциальная энергия инвариантна по отношению к трансляции. [c.181]

Этот вывод дословно переносится в динам 1ку системы. Примеры, с которых мы начали, показывают, что конкретный аналитический вид правых частей уравнения Ньютона в разных инерциаль-ных системах отсчета может быть неодинаковым. Так вот, сейчас мы хотим рассмотреть системы, в которых аналитический вид правых частей, наоборот, остается инвариантным при всех преобразованиях Галилея. Для простоты мы рассмотрим случай, когда силы потенциальны, т. е. существует функция У(гь. .., г , t) такая, что [c.59]

Из формул (7.50) и (7.51) формально следует, что любое выражение для Wg является инвариантным к ортогональному преобразованию координатной системы, так как Wg выражается через инварианты к этому преобразованию. Указанная инвариантность энергии совершенно очевидна и из простых физических соображений, а именно величина потенциальной энергии системы не должна зависеть от того, в какой из систем координат ее вычисляют. Количество удельной энергии в окрестности некоторой точки следует рассматривать как объективную реальность, не зависящую от субъективного подхода исследователя, выбираю-щего ту или иную систему координат. [c.510]

Рассмотрим те глобальные С. 7(1), судьба к-рых зависит от свойств электрослабого взаимодействия [4]. Сохранение барионного числа и лептонного числа в СМ гарантировано инвариантностью класСич. лагранжиана относительно двух независимых групп (7(1) фазовых преобразований. С учётом квантовых поправок соответствующие этим группам барионный и лептонный токи становятся аномальными и приобретают дивергенции, пропорциональные плотности топологич. заряда электрослабых калибровочных бозонов. Потенциальная энергия в теории с глобальными С. (7(1) периодична, как и в КХД, по обобщённой координате X (она, конечно, построена теперь из электрослабых калибровочных полей), причём минимумы разделены барьерами высотой порядка и 10 ТэВ (ЛС й — [c.520]

Описанная процедура достаточно традиционна и совершенно инвариантна к классу рассчитываемых конструкций. Исключением является процедура составления матрицы жесткости, которая обусловлена типом выбранных координатных функций и зависит от выражения для потенциальной энергии системы, т, е. вида матриц D, В, векторов а, г, и. Поэтому дальнейшее рассмотрение использования МКЭ к различным классам задач будет сводиться к построению матриц жесткости для различных элементов. [c.29]

Можно этому выражению придать инвариантную форму, рассматривая удельную потенциальную энергию деформации как функцию трех инвариантов [c.643]

Выбор формы зависимости удельной потенциальной энергии деформации от инвариантных характеристик деформации представляет трудную и, конечно, неразрешимую единственным образом задачу. Можно указать ряд критериев, которым должна удовлетворять разумно назначаемая зависимость. [c.645]

В этом капитальном труде ставится цель построить единую, основанную на минимуме исходных предпосылок (принципы инвариантности, детерминизма, локального действия), теорию поведения сплошной среды. Выделен класс простых материалов , для них тензор напряжений зависит от истории изменения градиента вектора перемещения (но не от градиентов более высокого порядка). К числу таких материалов относятся упругое и гиперупругое тела. Дан исчерпывающий обзор решений частных задач, большое место уделено установлению приемлемых форм задания законов состояния и критериям выбора зависимости удельной потенциальной энергии деформации гиперупругого тела от инвариантов деформации. Книга снабжена исчерпывающей библиографией по нелинейной теории упругости доведенной до 1965 г. [c.926]

Остается теперь выяснить, в каких случаях гамильтониан удовлетворяет условию (2.41), т. е. инвариантен относительно операции инверсии. Очевидно, это имеет место для системы с центром инверсии. Другим важным случаем является изолированный атом. В этом случае потенциальная энергия fe-ro электрона равна сумме потенциальной энергии взаимодействия с ядром (которая описывается симметричной функцией) и энергии взаимодействия со всеми остальными электронами. Для i-ro электрона эта энергия зависит от гг—г [, т. е. от расстояния между двумя электронами. Следовательно, соответствующие члены будут также инвариантными относительно инверсии. Важным случаем, когда (2.41) не выполняется, является случай, когда атом находится во внешнем электрическом поле (например, в электрическом поле кристалла), не обладающем центром инверсии. В этом случае волновые функции не имеют определенной четности. [c.40]

Они связывают компоненты второго тензора напряжений Пио-ла — Кирхгофа S с компонентами тензора деформаций Грина — Лагранжа Е. Альтернативные формы определяющих соотношений гиперупругого материала можно получить, используя другие пары сопряженных (необязательно инвариантных) тензоров напряжений и деформаций. Получим, например, такие соотношения с помощью несимметричных тензоров напряжений и деформаций. Пользуясь (1.47), запишем следующие выражения для удельной потенциальной энергии деформаций [c.72]

Поскольку удельная потенциальная энергия деформации инвариантна к преобразованию координат, то [c.82]

Эти соотношения показывают, что наиболее общее выражение оператора потенциальной энергии системы нейтрон - -протон, симметричного в спинах частиц и инвариантного по отношению к вращениям пространственных и спиновых координат, имеет вид И [c.36]

Ядерное взаимодействие инвариантно по отношению к вращению в изотопическом пространстве (не зависит от значения компоненты изотопического спина т ), и именно в этом смысле мы говорили раньше о законе сохранения, который носит название изотопической инвариантности (подобно тому как обычные потенциальные силы в системе не зависят от ориентации обычных спинов частиц, от вращения в обычном пространстве). Последнее означает собой симметрию сильных взаимодействий, не связанную с общими свойствами пространства и времени. [c.253]

Можно также применить анализ размерностей для учета в формуле (11.6) влияния сжимаемости газа. Из соображений теории подобия ) следует инвариантность колебаний относительно подстановок а Ра, У рзу, откуда следует, что 2 1 = У Ч(р, Р), где р — плотность окружающей воды. Если предполагать, что газовый пузырек расширяется однородно и адиабатически, и учитывать только его потенциальную энергию. [c.309]

Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в потенциальном поле сил, инвариантном относительно поворотов вокруг некоторой прямой Г, проходящей через точку подвеса. Обозначим, как обычно, через р, ц, г проекции вектора угловой скорости на главные оси эллипсоида инерции тела, а через 71, 72, 73 — косинусы углов между прямой Г и главными осями инерции. Потенциал поля сил "V зависит только от переменных 71, 72, 73. Предположим, что У — аналитическая функция в некоторой окрестности нуля 7 = 72 = = -уз = О, содержащей сферу Пуассона [c.68]

В случае изотропии удельная потенциальная энергия деформации О не зависит от направления в пространстве, следовательно, инвариантна относительно поворота системы координат. Поэтому П является функцией только инвариантов тензора деформаций, а так как речь идет об однородной квадратичной форме, определяющими будут только два инварианта Л и /п (так как /щ имеет третью степень). Таким образом, и представляется как линейная комбинация [c.60]

После образования tpeщин выражения для Лц- Лзз можно принять в виде, предложенном в работе [33]. Однако, используя свойство инвариантности потенциальной энергии к направлению координатных осей, эти коэффициенты можно, получить через главные компоненты напряженного состояния. Так, например, предполагая, что направление главных моментов и кривизны совпадают и коэффициент Пуассона после образования трещин - [c.91]

В однородной системе одночастичная функция распределения не зависит от qi (в термодинамическом пределе). Математически это обусловливается трансляционной инвариантностью потенциальной энергии Я. Во всех физически реализуемых ситуациях, когда система находится в газообразной или жидкой фазе, конфигурационная одночастичная функция распределения равна просто постоянной плотности тасла частиц [c.256]

Полученные результаты могут быть непосредственно применены к задаче о малых колебаниях. Действительно, условие симметрии системы, совершающей малые колебания, может быть выражено как условие коммутативности матрицы V потенциальной энергии с матрицами представления В(д), которое реализуется на смещениях. Напомним, что такая форма условия инвариантности потенциальной энергии имеет место только в силу ортогональности матриц упомянутого представления. Если мы построим симметризованные смещения, т. е. линейные комбинации смещений, преобразуюпдаеся по неприво-димьш представлениям рассматриваемой группы, то соответствующая им матрица потенциальной энергии примет вид, определяемый формулой (5.27) [c.64]

Теперь надо уточнить, какой точный смысл вкладывается в слова законы и уравнения механики не изменяются при некотором преобразовании . Законы механики, как мы увидим далее, записыраются в виде равенств. В эти равенства в качестве переменных входят координаты, скорости и ускорения материальных точек, подсчитанные по отношению к какой-либо системе отсчета, и функции от этих переменных — координат, скоростей и ускорений. Роль таких функций далее будут играть силы, энергия системы (потенциальная, кинетическая или полная), количество движения (импульс) и иные функции, которые будут введены в рассмотрение в этой и в следующих главах. Говорят, что законы и уравнения механики не меняются при некоторых преобразованиях системы отсчета или что они инвариантны по отношению к этим преобразованиям, если равенства, выражающие законы механики, удовлетворяют следующим двум условиям. [c.45]

Таким образом, для случая движения в потенциальных полях мы получили из теоремы Нётер все законы сохранения, которые были рассмотрены выше. Теорема Нётер вскрыла природу их возникновения, связанную с инвариантностью уравнений движения при различных преобразованиях координат и времени. Закон сохранения энергии является следствием инвариантности уравнений консервативной системы при сдвиге вдоль оси времени, закон сохранения количества движения — результат инвариантности уравнений замкнутой системы по отношению к сдвигам вдоль осей координат, а закон сохранения кинетического момента — результат инвариантности уравнений замкнутой системы по отношению к поворотам вокруг осей координат. [c.293]

Здесь т — масса точки, П — потенциальная энергия, —декар. товы координаты. Уравнения (IV.158) не инвариантны. [c.528]

Лагранж (1736—1813). Достижения Лагранжа, этого величайшего математика XVIII века, во многих отношениях параллельны работам Эйлера. Лагранж вполне независимо от Эйлера получил решение изопериметрических задач, сделав это совершенно новыми методами. Он разработал для этой цели новое, вариационное исчисление. Он также понял преимущество вариационных принципов в связи с той свободой, которую мы получаем, описывая положение механической системы при помощи выбираемой по нашему усмотре-ншо совокупности параметров ( обобщенные координаты ). Если принцип виртуальных перемещений и принцип Далам-бера позволили рассматривать механическую систему как нечто целое, не разбивая ее на изолированные частицы, то уравнения Лагранжа добавили еще одно, чрезвычайно важное свойство — инвариантность относительно произвольных преобразований координат Это позволило выбирать системы координат, удобные для данной конкретной задачи. В своей Аналитической механике (1788) Лагранж создал новое, необычайно мощное оружие для решения любых механических задач при помощи чистых вычислений, без каких бы то ни было физических или геометрических соображений, при условии, что кинетическая и потенциальная энергии заданы в абстрактной аналитической форме. Относясь к этому выдающемуся результату со своей обычной скромностью. Лагранж писал в предисловии к своей книге Читатель не найдет в этой книге рисунков. Развитые мною методы не требуют ни каких бы то ни было построений, ни геометрических или механических аргументов — одни только алгебраические операции в соответствии с последовательными едиными правилами . Лагранж таким образом создал программу и основания аналитической механики. [c.390]

Если векторное поле У соленоидально, т. е. уУ = О, то для этого поля можно ввести векторный потенциал А, такой, что У = [у 1, при этом А определён с точностью до градиента произвольной ф-цин (градиентная инвариантность). В общем случае любое векторное поле представляется суммой потенциального и соле-ноидального полей. [c.89]

Потенциальная энергия инвариантна при транеляции на любой вектор решетки /, и(г +1) = и(г). Запишем уравнение Шредингера для данной задачи [c.275]

Можно распространить понятия квазилинейности и потенциальности операторов и на анизотропные среды [84]. В самом деле, пусть имеется оператор (3.4), инвариантный относительно некоторой подгруппы группы движения (т.е. группы, характеризующей некоторый вид анизотропии). Тогда будем считать, что и в этом случае выполняются соотношения (3.23), но в качестве параметров в эти соотношения входят тензоры базиса, инвариантного относительно рассматриваемой группы преобразований Tj) 72 выборе этого базиса в некоторых конкретных средах речь пойдет в следующем параграфе.) Тогда более полно соотношения (3.23) можно будет записать в виде [c.27]

Трудности изучения волн рангов два и три, являющихся с групповой точки зрения частично инвариантными решениями [14], связаны с необходимостью исследования сложных и громоздких переопределенных систем уравнений с частными производны ми. Несмотря на имеющиеся общие подходы к решению таких задач (алгоритм Картана и его модификации), конкретная реализация их связана с большими аналитическими вычислениями и пока даже с использованием специализированных программ для про ведения аналитических выкладок на ЭВМ не привела к успеху, в частности, при иссле довании совместности системы уравнений потенциальных тройных волн. Фактически каждое серьезное продвижение в теории кратных бегущих волн потребовало специ ализированного аналитического изучения в подходящих пространствах зависимых и независимых переменных. [c.199]

Изотропная упругая среда характеризуется следующими условиями упругие свойства среды симметричны относительно координатных плоскостей, одинаковы по отношению к каждой из координатных осей, а плотность потенциальной энергии W инвариантна относительно поворота координатных осей. Из этих условий вытекает следующий вид коэффициентов сцкг - [c.10]

Проблема точного интегрирования уравнений динамики — одна из самых популярных тем исследования, начиная со знаменитых Математических начал натуральной философии Ньютона. Руководящей идеей в этом круге вопросов является общая идея симметрии. При решении задачи о центральном движении Ньютон уже использовал соображения симметрии факторизуя орбиты группы вращений, он свел эту задачу к изучению движения по прямой в потенциальном поле. Впоследствии Лагранж и Якоби заметили, что классические интегралы задачи многих гравитирующих тел связаны с инвариантностью уравнений движения относительно группы преобразований Галилея. Это фундаментальное наблюдение обобщено Эмми Нётер каждой группе преобразований, сохраняющих действие по Гамильтону, отвечает интеграл уравнений движения. Верно и обратное фазовый поток уравнений Гамильтона, в которых гамильтонианом служит известный интеграл, переводит решения исходных уравнений движения в решения тех же уравнений. На этой идее основано доказательство известной теоремы Лиувилля о полной интегрируемости уравнений Гамильтона фазовые потоки инволютивных интегралов попарно коммутируют и порождают абелеву группу симметрий максимально возможной размерности на многообразиях их совместных уровней. [c.6]

Ковекторное поле и назовем потенциальным, если rot и = 0 локально и = dif/dx, где ip — функция от х и i. Справедлива теорема Лагранжа если при i = О ковекторное поле u(x,t) потенциально, то оно будет потенциальным при всех t. В этом случае интеграл (2.6) будет равен нулю для любого замкнутого контура 7, стягиваемого по N в точку. Теорема Лагранжа — простое следствие этого замечания и теоремы Томсона. Инвариантное п-мерное многообразие I = у = и с потенциальным полем и называется лагранжевым. [c.68]

J е Лд) задают г-мерные инвариантные торы возмущенной гамильтоновой системы с сильно несоизмеримыми частотами. Эти торы называются колмогоровскими они аналитически зависят от е. Колмогоровские торы являются г-мерными инвариантными лагранжевыми многообразиями, поскольку ковекторное поле / = dS/d(p потенциально (см. п. 3 2). [c.124]

Пользуясь предложением 1, укажем метрики на двумерной сфере, для которых уравнения геодезических допускают неприводимые интегралы 3-й и 4-й степени. С этой целью рассмотрим задачу о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. Эта система с тремя степенями свободы инвариантна относительно группы вращений вокруг вертикали. Фиксируя нулевую постоянную соответствующего интеграла Нётер (интеграл площадей) и проводя факторизгщию по орбитам действия группы симметрий, сведем эту задачу к системе с двумя степенями свободы на фазовом пространстве 7 S . Гамильтониан имеет вид (6.1), где Г — гамильтониан приведенной задачи Эйлера, а V К — потенциальная энергия силы тяжести. Если выполнены условия Горячева — Чаплыгина или Ковалевской (см. 5 гл. П), то уравнения с гамильтонианом T+V допускают дополнительный интеграл соответственно третьей и четвертой степени по скоростям. Предложение 1 дает метрики на двумерной сфере с интегралами степени 3 и 4. При V = О эти интегралы приводимы. А. В. Болсинов и А. Т. Фоменко дали доказательство неприводимости интегралов Горячева — Чаплыгина и Ковалевской, основанное на глубоких идеях теории топологической эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем. [c.404]

В заключение отметим, что при использовании метода инвариантного моделирования во втором порядке замыкания все же нельзя точно рассчитать течения, в которых осуществляется перенос какой-либо величины в направлении, противоположном ее градиенту Меллор, Ямада, 1974, 1982). Подобное явление имеет, например, место в пограничном слое земной атмосферы, который нейтрально стратифицирован по температуре, в случае развитой конвекции, когда поток тепла направлен вверх против градиента потенциальной температуры. Это приводит к тому, что коэффициент турбулентной теплопроводности в формуле (4.3.67) оказывается отрицательной величиной - эффект отрицательной теплопроводности. Соответственно, адекватная теория противоградиентного переноса может быть развита, по-видимому, только на основе моделей третьего порядка замыкания Лыкосов, 1991). [c.207]

Решение. Нусть шх, Zв — масса и заряд ядра, Ш2, 2е — масса и заряд а-частицы. Потенциальная энергия взаимодействия U r) — а/г, а — = 2Ze . Кинетическая энергия относительного движения Е = /хг /2, инвариантный квадрат переданного импульса t = (2/хг sin /2) . Дифференциальное сечение рассеяния в с. ц. м. [c.138]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...