Многообразие отрицательной кривизны

Результаты Синая были подготовлены длительным предыдущим развитием эргодической теории в обоих отмеченных в предыдущем примечании направлениях. Особенно большое значение имели работы по геодезическим потокам на многообразиях отрицательной кривизны, начатые еще Адамаром в 1899 г. и в известной степени завершенные в работах Д. В. Аносова 1962 г. [ДАН СССР, 151, 1250 (1963)]. Еще до завершения этого направления Н. С. Крылов в посмертно опубликованной книге Работы по обоснованию статистической физики (Изд-во АН СССР, 1950) отметил, хотя и не мог строго обосновать, аналогию мен ду геодезическими потоками и бильярдной системой.— Прим. ред. [c.383]

К этому классу относится, например, движение по инерции на многообразиях отрицательной кривизны. [c.256]

А именно, на многообразии положительной кривизны при па-раллельном переносе вдоль границы малой области вектор поворачивается вокруг своего начала в ту же сторону, в какую точка на границе обходит область на многообразии отрицательной кривизны направление вращения обратное. [c.270]

Неустойчивость положения равновесия при отрицательно определенной потенциальной энергии в неавтономном случае интуитивно достаточно ясна. Ее можно доказать сравнением с подходящей автономной системой. Б результате такого сравнения мы убеждаемся, что все решения уравнения Якоби для нормальных отклонений на многообразии отрицательной кривизны растут при движении вдоль геодезической не медленнее экспоненты прой- [c.276]

Таким образом, чем более отрицательна кривизна многообразия, тем меньше характерный путь s, на котором неустойчивость геодезических приводит к е-кратному нарастанию ошибок. Ввиду экспоненциального характера нарастания ошибок ход геодезической на многообразии отрицательной кривизны практически невозможно прогнозировать. [c.277]

К. Геодезические потоки на компактных многообразиях отрицательной кривизны. Пусть М — компактное риманово многообразие, кривизна которого в каждой точке по каждому двумерному направлению отрицательна (такие многообразия существуют). Рассмотрим движение материальной точки массы 1 по многообразию М по инерции, вне поля действия всевозможных внешних сил. функция Лагранжа этой системы равна кинетической энергии, равна полной энергии и является первым интегралом уравнений движения. [c.277]

Вот некоторые из свойств геодезических потоков на многообразиях отрицательной кривизны (подробнее см. цитированную на стр. 266 книгу Д. В. Аносова). [c.278]

Итак, экспоненциальная неустойчивость геодезических на многообразии отрицательной кривизны приводит к стохастичности соответствующего геодезического потока. [c.279]

Возможность грубых систем со сложными движениями, каждое из которых само по себе экспоненциально неустойчиво, является одним из основных открытий в теории обыкновенных дифференциальных уравнений последнего времени (гипотеза грубости геодезических потоков на многообразиях отрицательной кривизны была высказана С. Смейлом в 1961 г., а доказательство дано Д. В. Аносовым и опубликовано в 1967 г., основные результаты о стохастичности этих потоков получены Я. Г. Синаем и Д. В. Аносовым также в шестидесятых годах). [c.280]

У-диффеоморфизмы и У-потоки (вместе У-системы) возникли как естественное обобщение алгебраических автоморфизмов тора и геодезических потоков на многообразиях отрицательной кривизны [Аи]. С другой стороны, подкова Смейла [17] и ее разнообразные обобщения [С] послужили стимулом для выделения более широкого класса динамических систем, обладающих гиперболическими свойствами, класса систем, удовлетворяющих так называемой аксиоме А Смейла, илн класса А-систем (диффеоморфизмов и потоков). [c.214]

Важный класс многообразий отрицательной кривизны получается с помощью алгебраической конструкции, которая обобщает алгебраическое описание поверхностей постоянной отрицательной кривизны из 5. Геометрическое свойство, которое дает нам возможность описывать геодезический поток на сфере, торе и гиперболической плоскости, — наличие группы изометрий, действующей транзитивно на единичных касательных векторах (лемма 5.4.1). Пространства, обладающие таким свойством, называются (глобально) симметрическими пространствами. Сначала дадим традиционное определение, а затем докажем транзитивность группы изометрий в случае ненулевой кривизны. [c.555]

Подчеркнем, что в отличие от диффеоморфизмов Аносова, которые кажутся достаточно жесткими объектами с точки зрения топологического сопряжения, потоки Аносова встречаются чаще. С одной стороны, известны другие конструкции римановых многообразий отрицательной кривизны, кроме возмущений симметрических пространств. В частности, существуют римановы многообразия отрицательной кривизны размерности, большей [c.558]

Геодезические потоки компактных римановых многообразий отрицательной кривизны [c.63]

Определение 14.1. Многообразия отрицательной кривизны . [c.63]

Полная кривизна поверхности Е в точке V называется кривизной сечения р ег 62) многообразия V в точке V 2-плоскости (ех, 62). Говорят, что V — многообразие отрицательной кривизны если кривизна сечения отрицательна при всех V и всех (в1, 62). [c.63]

Геодезический поток риманова многообразия V описывает возможные движения точки, вынужденной оставаться на гладком многообразии У и не подверженной действию внешней силы (см. пример 1.4). Если V — многообразие отрицательной кривизны, то геодезические сильно неустойчивы если г , Vo Е то расстояние экс- [c.64]

Теорема Лобачевского-Адамара 14.3. Пусть V — связное компактное риманово многообразие отрицательной кривизны. Тогда геодезический поток на касательном унитарном расслоенном пространстве М = ТхУ — У-система. [c.64]

Следствие 17.12. Геодезический поток на унитарном расслоенном пространстве, касательном к компактному риманову многообразию отрицательной кривизны, есть К-система. [c.78]

Примеры римановых многообразий отрицательной кривизны [c.169]

A. Многообразия отрицательной кривизны [c.177]

Напомним сначала некоторые классические свойства римановых многообразий отрицательной кривизны. [c.177]

Теорема П21.1. Пусть V — полное односвязное риманово многообразие отрицательной кривизны. Тогда [c.177]

Как обычно, 7(ж, гг, Ь) = y t) = 7 обозначает геодезическую, исходящую из X с вектором начальной скорости и и длиной дуги 1. Точка на 7, соответствующая , также записывается через у Ь). Риманово расстояние между двумя точками а и Ь обозначается через а, Ь. Через V обозначим полное, односвязное риманово многообразие отрицательной кривизны. [c.177]

В этом добавлении определяется риманова кривизна и кратко обсуждаются свойства геодезических на многообразиях отрицательной кривизны. Дальнейшие сведения о римановой кривизн можно найти в книге М и л н о р Дж. Теория Морса.— М. Мир, 1965, а о геодезических на многообразиях отрицательной кривизны — в книге А н о с о в Д. В. Геодезические потоки на многообразиях отрицательной кривизны // Труды МИАН им. Стек-лова.— М., 1967. [c.266]

Резюмируя, мы можем сказать, что поведение геодезических на многообразии отрицательной кривизны характеризуется экспоненциальной неустойчивостью. Для количественной оценки этой неустойчивости полезно ввести характерный путь s как средний луть, при прохождении которого увеличиваются в е раз малые ошибки в начальных условиях. [c.277]

Л. Другие применеиия экспоненциальной неустойчивости. Свойство экспоненциальной неустойчивости геодезических на многообразии отрицательной кривизны, начиная с Адамара (а в случае постоянной кривизны — еще Лобачевского), изучалось многими авторами, в особенности Э. Хопфом. Неожиданным открытием шестидесятых годов в этой области оказались удивительная устойчивость экспоненциально неустойчивых систем относительно возмущений самой системы. [c.279]

Аносов Д. В., Геодезические потоки на замкнутых римановык многообразиях отрицательной кривизны, Тр, Матем. инст, мм, В, А. Стеклова. 90 (1967). [c.90]

Маргулис Г. А., О некоторых применениях эргодической теории к изучению многообразий отрицательной кривизны, Функц. анализ и его прил 3, № 4 (1969), 80—90. [c.238]

По теореме Лобачевского Адамара (14.3) геодезический поток есть У-система. Следовательно, по теореме 17.9, он эргодичен. По, как показывает следствие П16.10 (приложение 16), геодезический поток не имеет непрерывной собственной функции . Тем самым исключается вторая возможность теоремы 17.11. Таким образом, из теоремы 17.11 мы заключаем, что геодезические потоки на унитарных расслоенных пространствах Т1У, касательных к компактным римановым многообразиям отрицательной кривизны, являются Г-системами. Следовательно, они обладают положительной энтропией (теорема 12.31, гл. 2), имеют бесконечный лебеговский спектр (теорема 11.5, гл. 2), являются пере-мешиванием (теорема 10.4, гл. 2) и эргодичны (следствие 8.4 гл. 2). [c.78]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...