Функция Гамильтона обобщенная

Функ и1Я H называется функцией Гамильтона. Функцию Гамильтона можно выразить также и в канонических переменных. Введем в выражение этой функции (131.4) вместо обобщенных координат и скоростей канонические переменные q/ и р/. Получим выражение функции Н в канонических переменных [c.368]

Вычислим частную производную от функции Гамильтона по обобщенному импульсу р,- [c.368]

Обобщенные координаты, которые не входят явно в функцию Лагранжа I, называются циклическими координатами ( 127). Очевидно, что циклические координаты не войдут явно и в функцию Гамильтона Н. Пусть, например, первые k обобщенных координат 9[, 9а,. -ч Як механической системы с s степенями свободы циклические. Тогда функция Гамильтона примет вид [c.375]

В том случае, если все обобщенные координаты механической системы являются циклическими, то функция Гамильтона зависит лишь от обобщенных импульсов и времени, т. е. [c.376]

Если все обобщенные координаты являются циклическими и, кроме того, функция Гамильтона не зависит явно от времени, то [c.376]

В общем случае функция Гамильтона Н является функцией времени, s обобщенных координат и s обобщенных импульсов, т. е. [c.128]

Функция Гамильтона теперь будет зависеть от времени i, S—k обобщенных координат, s — k обобщенных импульсов и k постоянных интегрирования су. [c.129]

Для произвольных систем материальных точек функция Гамильтона представляет собой обобщенную энергию [c.633]

Чтобы найти функцию Гамильтона, достаточно учесть, что система склерономна. Поэтому Я = Т -Г П, где обобщенные скорости следует заменить их выражениями через обобщенные импульсы (следствие 9.2.2, свойство 3). Учтем, что по теореме Эйлера [c.635]

Обобщенные импульсы и функция Гамильтона [c.326]

Исключим обобщенные скорости из основных величин, входящих в дифференциальные уравнения движения, и введем в них обобщенные импульсы. Конечно, при этом изменится вид соответствующей функции. Поэтому функции канонических переменных обозначаются ниже дужкой над буквой, обозначающей функцию. Например, функция Лагранжа в канонических переменных обозначается А, обобщенные силы в канонических переменных обозначаются Qj и т. д. Но функция Гамильтона Н в канонических переменных обозначается Н. [c.145]

Здесь впервые обнаруживается соответствие между главной функцией Гамильтона и производящей функцией V канонических преобразований, превращающих все обобщенные координаты в циклические. Однако соответствия между равенствами [c.370]

На основании соотношений (Ь) можно полагать, что функция 5 зависит от 7 — ti , начальных координат Угй и начальных скоростей уго. Но, как и при построении главной функции Гамильтона, можно определить начальные обобщенные скорости из соотношений (Н) [c.373]

Как и во всех задачах, связанных с гармоническим движением, в нашем случае легко произвести квантово-механическое обобщение. В классической механике для одномерного гармонического осциллятора функция Гамильтона имеет вид [c.150]

Назовем систему обобщенно-консервативной, если функция Гамильтона Н не зависит явно от t, т. е. если [c.88]

Здесь мы познакомим читателя с методом разделения переменных для нахождения полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби. Этот метод применяется в тех случаях, когда функция Гамильтона Н обобщенно-консервативной системы имеет специальную структуру. [c.162]

В ТО время как в уравнениях Лагранжа независимыми переменными являлись обобщенные координаты и обобщенные скорости в уравнениях Гамильтона которые мы теперь выведем двумя различными способами, независимыми переменными являются обобщенные координаты qk и обобщенные импульсы р/., причем последние определяются выражением (36.9а). Далее, в то время как в уравнениях Лагранжа характеристической функцией была свободная энергия Т — У, рассматриваемая как функция qk и qk, в уравнениях Гамильтона роль такой характеристической функции играет полная энергия Т + V, рассматриваемая как функция qk и pk- Назовем ее функцией Гамильтона и обозначим через H q, р), подобно тому, как мы называли свободную энергию функцией Лагранжа и обозначали ее через L q, q). Функции Н и L связаны соотношением (34.16), которое, учитывая определение р/., можно переписать в виде [c.288]

Общая параметрическая формулировка канонических уравнений в форме (6.10.15) с теоретической точки зрения обладает серьезными преимуществами по сравнению с другими формулировками. Ее можно считать наиболее выразительной формой канонических уравнений. Она совсем по-новому освещает роль консервативных систем. Заметим, что после преобразования времени t в одну из механических переменных любая система становится консервативной. Обобщенная функция Гамильтона К не зависит явно от независимой переменной т, и поэтому наша система в расширенном фазовом пространстве становится консервативной. Движение фазовой жидкости является установившимся, и каждая частица жидкости все время находится на какой-то определенной поверхности [c.221]

Наконец, в лагранжевой механике не существует какого-либо общего метода упрощения функции Лагранжа. Не существует никакого систематического приема для получения циклических переменных и их можно получить лишь путем удачной догадки. В гамильтоновой механике может быть предложен определенный метод получения циклических переменных и упрощения функции Гамильтона. Этот метод сводит всю задачу интегрирования к нахождению одной фундаментальной функции, являющейся производящей функцией некоторого преобразования. Он играет центральную роль в теории канонических уравнений и, как будет показано в следующей главе, предоставляет широкие возможности для различных обобщений. [c.226]

Более того, инвариантом преобразования является теперь не функция Гамильтона Н, а обобщенная функция Гамильтона К. Как было показано в гл. VI, п. 10, эта функция находится в следующем соотношении с обычной функцией Гамильтона Я [c.232]

Мы снова имеем дело с расширенным фазовым пространством, в котором обобщенная функция Гамильтона К инвариантна относительно преобразования. Это приводит к соотношению [c.236]

Наконец, инвариантность обобщенной функции Гамильтона К = Pt + Н приводит к следующему закону преобразования обычной функции Гамильтона Я [c.240]

В распоряжении Гамильтона не было теории канонических преобразований, и он сделал свое открытие, исходя из совершенно иных предпосылок. Главная функция Гамильтона не является абстрактным математическим понятием, которое используется только для получения преобразований специального вида она имеет определенный физический смысл. Для того чтобы пояснить ход рассуждении Гамильтона, начнем с консервативной системы, у которой функция Лагранжа L и функция Гамильтона Н не зависят явно от времени. Именно такие функции встречаются в оптике, и это явилось для Гамильтона исходным пунктом как для оптики, так и для механики. Обобщение на случай неконсервативных систем может быть сделано очень просто задача сводится к случаю консервативных систем путем включения времени t в число механических переменных. [c.257]

Второе дифференциальное уравнение больше не нужно, поскольку точка Qi,. .., Q не должна лежать на обобщенной изоэнергетической поверхности К = 0. Более того, S является функцией только q , q , Qi, Q , t в то время, как главная функция Гамильтона зависит, кроме того, еще и от переменной t. [c.262]

Если мы предположим теперь, что функция Гамильтона не зависи явно от t, то непосредственно найдем, что для канонической системы существует интеграл (6), который можно также называть обобщенным интегралом энергии. [c.245]

Для того чтобы перейти к выражению функции Гамильтона Н, определяемой равенством (3), заметим прежде всего, что уравнения (2), определяющие обобщенные импульсы р, принимают здесь вид [c.246]

В предыдущем изложении были отмечены те условия, при которых функция Гамильтона и обобщенные импульсы остаются постоянными при движении системы. Согласно одной точке зрения, постоянство импульсов является следствием того обстоятельства, что координаты оказываются циклическими главный результат здесь заключается в том, что соответствующие уравнения движения (Лагранжа или Гамильтона) можно сразу проинтегрировать. Согласно другой точке зрения, такое постоянство само по себе рассматривается как важное свойство системы. Последняя точка зрения широко распространена в наиболее важных приложениях данного метода к современной физике, и приемлемое решение задачи может состоять в определении всех интегралов движения. В общем смысле термин интеграл движения применяется к любой динамической переменной [c.67]

Отметим, что попутно мы получили равенство (11), означающее, что если функция Лагранжа не зависит явно от времени, то и функция Гамильтона также не зависит от времени, и наоборот. Аналогично, из равенств (10) следует, что если функция L не зависит от какой-либо из обобщенных координат, то и функция Н от этой координаты не зависит, и наоборот. [c.286]

Уравнения Уиттекера и Якоби. Пусть движение системы описывается каноническими уравнениями (12). Если функция Гамильтона не зависит явно от времени, то существует обобщенный интеграл энергии [c.289]

Уравнения движения точки Р могут быть записаны в форме канонических уравнений Гамильтона. Функция Гамильтона явно от времени не зависит, поэтому существует обобщенный интеграл энергии — интеграл Якоби [c.326]

Уравнение Гамильтона-Якоби для консервативных и обобщенно консервативных систем. Пусть функция Гамильтона не зависит явно от времени [c.360]

Характеристическая функция Гамильтона. Функцию У, входящую в правую часть равенства (14), называют характеристической функцией Гамильтона. Она удовлетворяет уравнению (13) и была введена в п. 177 как не зависящая от времени часть производящей функции 5, задающей свободное каноническое преобразование, приводящее функцию Гамильтона f( i,..., pi,..., рп) консервативной или обобщенно консервативной системы к функции % = 0. [c.361]

Можно показать, что функция Гамильтона для случаев, когда кинетическая iH pi ИЯ янляс гея однородной квадратичной формой обобщенных скоростей, т. с. [c.417]

Заменим в выражепиг функции Гамильтона Я все обобщенные импульсы pi, Pi,. .., р,- частными производными первого порядка от некоторой неизвестной функции 5 и составим уравнение в частных производных следующего впда [c.382]

Следствие 9.2.3. Система канонических уравнений Гамильтона имеет первый интеграл вида Н = к, где к — постоянная инте-грирования, тогда и только тогда, когда функция Гамильтона Н не зависит явно от времени дH/дt = 0. Для систем материальных точек этот интеграл эквивалентен обобщенному интегралу энергии Якоби, для склерономных систем с потенциальными силами — интегралу полной механической энергии. [c.634]

Система называется обобщенно консервативной, если ее функция Гамильтона не зависит явно от времени. В этом случае dHldt O и в силу тождества (18) dHldt = 0, т. е. при движении системы [c.244]

Отметим еще одну возможность упрощения задачи интегрирования канонической системы уравнений. Пусть функция Гамильтона Н не зависит явно от времени. Тогда, отбрасывая в уравнениях (40) последнюю дробь, содержащую dt получим систему из 2п — 1 уравнений, которая по-прежнему имеет множитель М = 1. Поэтому для построения ее общего интеграла достаточно знать 2п — 2 первых интеграла. Но так как в рассматриваемом случае материальная система является обобщенно консервативной, то один интеграл нам известен заранее. Это обобщенный интеграл энергии Н = h = onst (см. п. 151). Поэтому для построения общего интеграла достаточно знать еще 2п — 3 первых интеграла. Если, например, п = 2, то кроме интеграла энергии Н = h достаточно найти еще только один первый интеграл. [c.325]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...