Многомерные задачи

В современном системном проектировании разработано много методов получения алгоритма решения многомерных задач, в которых используются графические модели. Их содержание представляет информацию об определенных функциях компонентов, об их совместимости (метод морфологических карт, матриц, сетей взаимодействия). Благодаря анализу различных запретов и ограничений, графические модели позволяют сузить поле поиска решения задачи до обозримого предела. [c.75]

Выше были приведены примеры решения уравнений теплопроводности (4.1), (4.49), (5.1). Из этих примеров видно, что решения эти весьма громоздки даже для одномерных и двухмерных уравнений теплопроводности и тел простой формы. На практике встречаются многомерные задачи теплопроводности тел сложной формы, для которых практически невозможно получить аналитические решения. [c.83]

В этих методах многомерная задача на шаге Ат заменяется последовательностью одномерных задач на временных шагах, которые (кроме последнего) формально можно рассматривать как доли (правильные дроби) от Ат, а последний шаг дает окончательное решение для момента времени т + Ах. [c.96]

Подчеркнем, что если функции X, а , имеют разрывы между узлами, то для повышения точности разностной схемы, как правило, следует вычислять интегралы точно. Особенно это существенно в случае многомерных задач, когда приходится вести расчет при достаточно грубых сетках. [c.91]

КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ [c.111]

Построение разностных схем. При построении разностных схем для многомерных задач обычно используется рассмотренный выше метод баланса. Для его применения необходимо разбить исследуемую область на элементарные объемы. Очевидно, что по сравнению с одномерным случаем, где элементарный объем всегда является отрезком, здесь имеется гораздо большее число видов этих объемов. Например, двумерную область можно разбить на элементарные объемы прямоугольной (рис. 3.11, а), треугольной (рис. 3,11, б) формы [c.111]

Локально-одномерная схема является типичным представителем широкого класса схем, применяемых для решения многомерных задач и задач расчета совместно протекающих процессов, описываемых несколькими уравнениями (например, уравнениями теплопроводности и диффузии или уравнениями Навье— Стокса и энергии для потока жидкости). Отличительная особенность этих схем — сочетание сильных сторон явных схем (малые затраты машинного времени на шаге по времени) и неявных схем (безусловная устойчивость). [c.118]

В таких схемах протекание многомерного физического процесса на каждом временном шаге представляется как результат последовательной реализации соответствующих одномерных процессов, каждый из которых начинается от распределения поля, возникшего после окончания предыдущего одномерного процесса. На основе такого представления, называемого расщеплением задачи по пространственным переменным, моделирование одномерных процессов проводится с помощью неявных схем, а последовательное действие процессов учитывается по существу явным образом, т. е. решение многомерной задачи сводится к расчету на каждом шаге по времени набора одномерных задач, решаемых в случае уравнения теплопроводности методом прогонки. Применение неявной аппроксимации одномерных задач обеспечивает устойчивость схемы, а общее число арифметических действий оказывается пропорционально числу [c.118]

Аналогичный подход используется и для задач расчета нескольких совместно протекающих процессов, в которых на каждом временном шаге расщепление проводится по физическим процессам, т. е. последовательно решаются отдельные уравнения со своими граничными условиями, а значения величин, определяемых из других уравнений, берутся из уже полученных на данном или предыдущем временном шаге полей. После расщепления по физическим процессам отдельные многомерные задачи можно далее расщеплять и по пространственным координатам. [c.119]

ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ЛОКАЛЬНО-ОДНОМЕРНОЙ СХЕМЫ [c.123]

Изложенные понятия и методы могут быть распространены на более сложные многомерные задачи. Для некоторых из них, например для про- [c.131]

Этот подраздел посвящен рассмотрению существующих подходов к оптимизации, обладающих повьппенной степенью общности и ориентированных на применение к многомерным задачам структурного синтеза при проектировании, в информационной логистике и управлении проектами. Сущность этих подходов выражают методы эволюционные и распространения ограничений. [c.204]

Для решения многих (особенно многомерных) задач с переменными значениями X, с ш р и зависимостью т/ от [c.88]

При решении уравнения (2.34) температуры определяют в точках == 1, 2, 3,...,п, лежащих на оси х. При этом предполагается, что в каждый момент времени г распределение температуры в промежутках между соседними точками является линейным. При решении многомерных задач эти точки обычно называют узлами пространственной сетки. Интервалы между ними в простейшем случае одинаковы и равны Ах. [c.89]

Сложные многомерные задачи можно заменить последовательностью белее простых одномерных. Например, при ре- [c.92]

В каждом разностном уравнении члены, аппроксимирующие вторые производные по двум из координат, полностью опущены. В этом случае эффективный метод прогонки применим и при решении многомерных задач. [c.92]

В работах [50, 66] была показана эквивалентность критериев разрушения Гриффитса и Баренблатта, основанных на балансе энергии и силах сцепления соответственно. Отметим, что важное следствие гипотезы Баренблатта заключается в сведении всех задач с трещинами к одномерной задаче, т. е. к одной клиновидной форме трещины. При рассмотрении баланса энергии в предыдущем разделе мы видели, что задача распространения трещины в композите явно не одномерная. Поэтому в следующем разделе будут даны соответствующая модификация и обобщение одномерной теории на случай многомерной задачи. [c.230]

В целях решения многомерной задачи (или со сложным видом смешанного разрушения) для композитов здесь мы предложим другую интерпретацию. Эта интерпретация основана на знании соответствующей прочности материала, содержащего случайно распределенные микроскопические трещины (т. е. трещины, которые на порядок меньше макроскопической), плотность которых типична для технологии изготовления материала. Знание прочности соответствует определению тензоров разрушения Рц,. . . [c.230]

В предыдущих разделах мы обсуждали предсказание прочности композита (при отсутствии макротрещин) на основе феноменологического критерия разрушения. Также была рассмотрена характеристика разрушения композита на основе общего баланса энергии для одномерных задач о трещине. Далее было установлено, что распространение трещины можно характеризовать разрушением внутри критического объема и что в общем случае многомерной задачи о трещине решение можно получить путем объединения критерия разрушения с анализом напряжений в кончике трещины. Хотя проведенный анализ позволяет нам предсказать и сопоставить условия разрушения характерного объема и общего разрушения, он не способствует дальнейшему пониманию микромеханики разрушения. Расширение области исследований обеспечило бы разумную основу для определения области использования материала и улучшения его свойств. Следовательно, необходимо более детальное исследование роста трепщны в окрестности кончика трещины. [c.243]

В последнее время, особенно для многомерных задач, все большее распространение находят методы случайного поиска [5.32—5.36]. Применительно к рассматриваемой задаче нахождения минимума функции Ф( ), где X — -мерный вектор в пространстве оптимизированных параметров, вводится понятие -мерного единичного случайного сектора [c.200]

Исследование сложных расчетных моделей машиностроительных конструкций аналитическими методами статистической динамики нелинейных систем встречает в ряде случаев принципиальные математические трудности. В особенности это относится к динамическим системам со случайными параметрами или случайными изменениями структуры даже в том случае, когда система является линейной во временной области. Поэтому для решения многомерных задач широко используют мощные средства вычислительной математики и вычислительной техники. В данной работе для исследуемого класса динамических систем принято сочетание аналитических методов с методами статистического моделирования (метод Монте-Карло) на ЭВМ, что позволяет более достоверно оценить полученные результаты и одновременно дать практические методы расчета. [c.4]

Представляется целесообразным на дебютной стадии [1] решения многомерной задачи (г 4) попытаться снизить размерность пространства поиска оптимальных решений за счет выявления несущественных ( вредных [2]) параметров. Также целесообразно попытаться определить в пространстве изменения параметров подобласти, соответствующие, с определенной степенью вероятности, унимодальным участкам поверхности Ф(а). Достигнутые в этом случае положительные результаты в реальных задачах проектирования имеют не меньшее значение, чем отыскание глобального экстремума. При этом существенно повышается эффективность дальнейшего поиска экстремумов, под которой в данном случае понимаются не только затраты машинного времени, но и возможность корректного ностроения упрощенных математических моделей в выделенных подобластях. [c.3]

Методы интегральных преобразований и в этом случае оказываются наиболее эффективным средством для быстрого получения интересующих нас решений. Наряду с рассмотренными ранее методами интегральных преобразований при решении многомерных задач мы часто будем иопользовать комплексное преобразование Фурье в различных его формах. В отличие от предыдущих глав решение задач будем производить в основном в размерном виде. [c.349]

Эту процедуру будем называть декомпозицией. Ее основное преимущество состоит в том, что одна многомерная задача минимизации представляется в виде последовательности задач минимизации, каждая из которых рассматривается в пространстве меньшей размерности, чем исходная. [c.205]

В уравнения энергии н теплового баланса входит коэффициент внутренней теплоотдачи. Эту величину можно было бы найти путем решения многомерной задачи. Однако, как указывалось выше, это нереализуемо, поэтому коэффициент Qb приходится брать по упрощенным эмпирическим зависимостям. [c.64]

Точное аналитическое решение линейной или предварительно линеаризованной многомерной задачи нестационарной теплопроводности удается получить лишь для элементов конструкций сравнительно простой геометрической формы, ограниченных координатными поверхностями в какой-либо одной системе ортогональных координат. Для большинства таких тел известна и табулирована [42, 56] система собственных функций и спектр собственных значений соответствующей однородной задачи. Поэтому для подобных тел удобно использовать достаточно универсальный метод конечных интегральных преобразований. При однородных граничных условиях и одинаковой во всех точках тела начальной температуре решение многомерной задачи для тел простой формы удается представить в виде произведения решений соответствующих одномерных задач [42, 55]. [c.203]

Работа с моделью. В рассматриваемой задаче для на- хождения оптимального варианта конструкции теплообменника варьируют два параметра 1 и гакв Дв программе соответственно Ш и/02). В связи с этим говорят о двумерной задаче оптимизации. Простейшим методом решения таких многомерных задач является алгоритм покоординатного спуска. Его идея заключается в последовательном циклическом применении одномерного поиска для каждого варьируемого параметра. Проще всего проиллюстрировать метод покоординатного спуска с помощью распечатки, полученной на ЭВМ (рис. 5.21). Поиск был начат с начальной (базовой) точки 01 ==0,08 02=0,04. Сначала осуществлялся спуск вдоль координаты 02 при фиксированном значении 01 = 0,08, и в точке 02 = 0,06 было достигнуто наименьшее значение целевой функции 2=212. Затем спуск проводился вдоль координаты 01 при фиксированном значении 02 = 0,06. [c.249]

При небольшом числе пространственных узлов это может привести к заметным потерям мощности. Например, при Л/ = 11, h = = //10 и q = onst теряется 10 % полной мощности, что, разумеется, приводит к занижению перегревов. Еще большие значения может принимать погрешность разностного решения без учета мощности в прилегающих к границе областях в многомерных задачах, поскольку в этом случае пространственные сетки довольно грубые и объем приграничных областей может составлять значительную долю общего объема тела. [c.93]

С помощью аналогичной системы неравенств можно вывести условия устойчивости для решения многомерных задач по рассмотренной выпте явной схеме, а также найти условия устойчивости разностных уравнений, соответ-сгвующих узлам, лежащим на границах тела. Так, одномерное разностное уравнение, приближенно выражающее условие теплового, баланса для граничного узла I (рис. 2.3) разностной сетки, [c.89]

Характеризуя перечисленные методы поиска, следует отметить, что время, затрачиваемое на поиск, существенно возрастает с увеличением размерности минимизируемой функции, т. е. числа независимых переменных. В работе А. Н. Иоселиани [5.40] показано, что количество элементарных шагов, затрачиваемых на поиск, для градиентных методов пропорционально (н - -п), для метода Гаусса — Зейделя—п п, для методов случайного поиска — п. В этом аспекте для многомерных задач следует отдать предпочтение методам случайного поиска перед детерминированными. [c.203]

Интегральное преобразование Лапласа имеет свои недостатки. В частности, известные трудности возникают при решении задач, когда начальные условия заданы в виде функции пространственных координат или когда приходится решать некоторые многомерные задачи. В этой связи 1был предложен ряд методов интегральных преобразований по пространственным координатам в соответствии с геометрической формой тела. За рубежом такие преобразования были предложены Детчем [Л. 20], Снеддоном [Л. 21], Трантером [Л. 22] и др. и использовались ими при решении различных задач математической физики. Ряд работ в 1ЭТОМ направлении было выполнено в Советском Союзе [Л. 23—27 и др.]. [c.81]

Более современный подход к разработке математической модели теплового режима изложен в [4]. Основной акцент сделан на анализ аналитических решений [39] и применение интегральных преобразований для решения уравнений стационарной и нестационарной теплопроводности. Авторами [4] разработаны методы решения одно- и многомерных задач, приведены программы, реализующие основные алгоррггмы, оценивается сходимость численных методов, включая и метод конечных элементов, изложенный в [28]. Анализ работы [49] позволяет сделать вывод, что на основе общего подхода для каждой сложной задачи, какой является задача теплового режима, необходимо, используя особенности объекта исследования, конструировать собственную методику, удовлетворяющую поставленным целям и требованиям разработки. [c.79]

Выражение (5.94) для нестационарной многомерной задачи неточно, но обеспечивает вполне приемлемую (локально одномерную) аппроксимацию для плотности диффузионного потока на грани е КО. В общем случае дискретный аналог уравнения (5.92) для любого КО с узловой точкойе со записывается в стандартном виде (5.87), при этом [c.159]

Методом конечных элементов решено большое количество задач йрочности, устойчивости и динамики конструкций. Он используется для анализа нелинейных явлений, с его помощью удается решить сложные многомерные задачи оптимизации и др. [c.88]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...