Матрица Якоби

Я]р — со знаком минус . Пример формирования матрицы Якоби приведен ниже. [c.179]

Использование вышеописанного алгоритма формирования матрицы Якоби непосредственно приводит к ММС вида (4.52). Здесь Ур— проводимость ветви р срл — потенциал к то узла на данном шаге интегрирования ф ,— то же на предыдущем шаге интегрирования. [c.182]

Для схемы, данной на рис, 4,30, составьте матрицу Якоби для модели, получаемой по методу узловых потенциалов, [c.220]

Если система (5.1) нелинейна, то условие (5.2) используется как приближенное, фигурирующие в нем собственные значения относятся к матрице Якоби системы (5.1) [c.227]

В большинстве задач скорость сходимости удается увеличить, применяя релаксационные методы, когда требуется такое упорядочение уравнений, чтобы диагональные элементы матрицы Якоби были отличны от нуля. На очередной (гЧ-1)-й итерации вектор неизвестных [c.227]

AV,—ЯГ Р(УД где — обратная матрица Якоби, вычисленная на г-й итерации. [c.228]

Метод Ньютона, характеризуемый высокой скоростью сходимости, широко распространен в процедурах автоматизированного проектирования. Однако по сравнению с предыдущими методами реализация метода Ньютона связана с увеличенными затратами памяти, требующимися для размещения матрицы Якоби. Кроме того, увеличивается трудоемкость вычислений на одной итерации. [c.228]

В алгоритмах решения системы конечных уравнений по методу Ньютона для вычисления поправки ДУ,- вместо обращения матрицы Якоби используют решение системы линейных алгебраических уравнений [c.228]

На эффективность применения метода оказывают влияние не только особенности самого метода, но и в не меньшей мере особенности решаемой задачи и используемой ЭВМ. Среди наиболее существенных особенностей задач, называемых ниже факторами, отметим размерность п (порядок системы уравнений), число обусловленности Ц и разреженность S матрицы Якоби, а среди особенностей ЭВМ — быстродействие Б, определенное для класса научно-технических задач, емкость оперативной памяти и разрядность машинного слова. Разработчик ППП должен ориентироваться на некоторые диапазоны значений этих факторов, характерные для моделей проектируемых объектов в соответствующей предметной области. Эти диапазоны должны быть либо указаны в техническом задании на разработку ППП, либо спрогнозированы самим разработчиком на основе исследования статистических данных [c.232]

Решение систем нелинейных АУ выполняется итерационными методами, при этом на требуемое число итераций И в методе Ньютона решающее влияние оказывает выбор начального приближения, а в остальных итерационных методах — число обусловленности Ц матрицы Якоби решаемой системы уравнений. [c.233]

В методе простых итераций И может достигать неприемлемо больших значений, поэтому целесообразно ввести на И ограничение Игр сверху. Если принять Ягр=1,5-10 , то из соотношения Ягр = —0,5 Ц Ige при е=10" получаем, что метод простых итераций можно применять только к решению системы уравнений, у которых матрица Якоби имеет Ц< 0. Методы Зейделя, Якоби, последовательной верхней релаксации (ПВР) имеют аналогичный характер зависимости И от Ц, хотя скорость сходимости у них часто оказывается несколько выше, чем в методе простых итераций. [c.234]

Можно ли применять метод прогонки к решению системы уравнений (4.52) Одинаковы или нет исходная и итоговая разреженности матрицы Якоби в этой системе [c.260]

Часть матрицы Якоби, определяемая компонентными уравнениями при условии, что /ь /2 — хорды, С , С2 — ветви дерева, представлена в табл. 3.5. Коэффициенты в матрице определяются по следующим формулам [c.123]

Представление компонентных уравнений в форме (3.6) удобно для формирования матрицы Якоби. Матрица Якоби, получаемая при использовании табличного метода, сильно разреженная. Чем меньше число ненулевых элементов в матрице, тем выше экономичность модели, поэтому следует стремиться получить максимальную разреженность матрицы. [c.124]

Часть матрицы Якоби, сформированная на основании только компонентных уравнений, представлена в табл. 3.6. Коэффициенты в матрице, не обозначенные штрихом, остались такими же, как и в матрице, представленной табл. 3.5, т. е. [c.128]

Ш Примечание. В матрице Якоби многополюсник представлен только своими внешними узлами, в то время как может иметь и внутренние. [c.135]

Достоинство узлового метода — простота формирования матрицы Якоби и низкий порядок получаемой системы уравнений, поскольку именно для этого метода характерно предварительное исключение большого числа неизвестных из обобщенного базиса. [c.137]

Элементы матрицы Якоби определяются дифференцированием элементов вектора невязок [c.139]

Работой компилятора управляет монитор, который осуществляет вызов в необходимые моменты анализатора, генератора и конструктора, располагаемых в отдельных оверлейных сегментах, фиксирует время их выполнения, организует единообразный доступ к внутренне БД и наборам данных на внешних носителях, обрабатывает режимные параметры (опции) компилятора. Опции позволяют управлять форматом вывода, задавать объем ОП, доступной рабочей программе, выводить в удобной форме информацию из внутренней БД, распечатывать структуру матрицы Якоби, таблицы перенумерации и т, п. [c.144]

Функции fj будем считать независимыми, т.е. матрица Якоби [c.350]

Будем считать, что ранг матрицы Якоби [c.421]

Составим матрицу Якоби этого преобразования [c.669]

Преобра.зование (4) называется каноническим, если существует такое постоянное чпсло с =5 О, что матрица Якоби (6) удовлетворяет тождеству [c.286]

Так как матрицей Якоби обратного преобразования z = z( , t) является матрица то отсюда следует, что это преобразование каноническое и имеет валентность 1/с. [c.287]

После того как при очередной итерации будут определены величины Хг, Xi, 1133, Рз и 3 и вычислены параметры в точке 4, решают систему (4.23) методом Ньютона с переменной матрицей Якоби. При этом определяют а,з, Т , W3. Далее по формуле (4.21) вычисляют Лз и Рз, а по формуле (4.19) — аз и Рз. На этом очередную итерацию заканчивают. [c.120]

Отметим, что каждое из уравнений (7.45) получено в результате разрешения разностного уравнения типа (7.41) относительно неизвестной ai(n+i). Такое разрешение, во-первых, устраняет произведение малой разности а,—а больших величин на большую величину 1/т,, содержаш,ееся в правой части основного уравнения, и делает матрицу Якоби при вычислениях в методе Ньютона лучше обусловленной. [c.207]

Алгоритм вычисления матрицы Якоби в методе узловых потенциалов. Вычисление матрицы Якоби как матричного произведения AYA без учета разреженности матриц А и Y нерационально, так как приводит к излишне большим затратам машинных времени и памяти. Например, в схеме средней сложности, включающей р = 51 и а = 80, матрица А имеет размер 50X80, а матрица Y—размер 80 x 80, т. е. только эти две матрицы для хранения всех их элементов требуют около 10 000 ячеек памяти. В то же время статистические исследования показывают, что ненулевыми в этих матрицах оказываются лишь около 240 элементов. Поэтому на практике используют алгоритмы формирования матрицы Якоби, учитывающие сильную разреженность матриц А и Y. [c.178]

Vtti = Vki—H n (v i, V2i. .. Vhi. .. Vni) — элементы вектора V( H=hlakk, /a(V)=0—k-e уравнение упорядоченной системы (5.1) Ukk—k-a диагональный элемент матрицы Якоби. [c.228]

Метод прогонки. Примерами сильно разреженных матриц являются матрицы Якоби в системах конечных уравнений, получаемых по методам конечных разностей или конечных элементов из дифференциальных уравнений в частных производных. Если алгебраизация дифференциального уравнения производится на основе регулярной сетки, то разреженная матрица Якоби оказывается ленточной, т. е. матрицей, у которой ненулевые элементы располагаются только на k главных диагоналях. Специфические особенности структуры ленточных матриц можно использовать для упрощения алгоритмов учета разреженности. [c.231]

Экономичность метода решения систем АУ определяется также затратами оперативной памяти. При неучете разреженности только на хранение матрицы Якоби нужно п ячеек памяти. Поэтому если для одного слова используется 8 байт, то при п=100 для хранения требуется 80 кбайт, а при п = 500 — уже 2 Мбайт. Итак, подтверждается вывод о необходимости учета разреженности при решении задач с п>п р, где Ппр зависит от характеристик используемой ЭВМ и, как правило, составляет несколько десятков. В задачах анализа распределенных моделей, в которых п может превышать 10 , экономичность метода по затратам машинной памяти становится одной из важнейших характеристик. В таких случаях применяют либо релаксационные методы, либо метод Ньютона с использованием на каждой итерации метода Гаусса, но в рамках рассматриваемого ниже диакоптического подхода. [c.234]

Условия (5.11) или (5.12) устойчивости методов интегрирования в применении к нелинейным системам ОДУ можно рассматривать как приближенные, при этом под X/ понимают собственные значения матрицы Якоби Я = <ЗУ/(ЗУ. Так как в нелинейных задачах элементы матрицы Якоби непостоянны, то непостоянны и ее собственные значения. Поэтому априорный выбор значения постоянного шага h, удовлетворяющего условиям устойчивости на всем интервале интегрирования [О, Ткон], оказывается практически невозможным (случай гарантированного выполнения условий устойчивости за счет выбора /г<Стпип неприемлем, так как приводит к чрезмерным затратам машинного времени). [c.239]

Часть матрицы Якобн, получаемая из топологических уравнений, формируется после обработки М-матрицы всей эквивалентной схсмы, а часть матрицы Якоби, получаемая из компонентных уравнений, может быть сформирована в подпрограмме модели. В предположении, что в дерево вошли ветви С.,, С,( и Гб, эту часть матрицы для вышеперечисленного порядка неизвестных можно представить в табл. 3.4, Коэффициенты в этой матрице [c.120]

Поскольку структура компонентных уравнений определена набором элементов, используемых в объекте, то влиять на разреженность можно только за счет топологической части ММС. Один из алгоритмов, обеспечива-ьощий высокую разреженность М-матрицы, а потому и разреженность топологической части матрицы Якоби, основан на включении в дерево в первую очередь тех ветвей (по возможности), которые обладают наибольшим весом. Вес ветви определяется суммарной кратностью вершин, между которыми она включена. Кратность вершины, в свою очередь, определяется количеством ветвей, ей инцидентных. Для графа гидромеханической системы (рис. 3.4, б) ветви, включенные в дерево, отвечают этому условию. [c.124]

Матрица Якоби и вектор правых частей вычисляются по значениям неремеииых, определенных на предыдущей итера ции, или по результатам предыдущих шагов (для первой итерации на шаге). [c.125]

Аналогично можно определить остальные элементы матрицы. Рассмотрим экономичную процедуру формирования матрицы Якоби поочередно выбирается каждая ветвь эквивалентной схемы. Пусть очередная k-я ветвь включена между узлами с номерами i и /. Тогда проводимость этой ветви yh = dlkldUij даст слагаемое в элементы матрицы уа и yjj со знаком плюс, а в элементы yij и Уа — со знаком минус. [c.132]

Для формирования матрицы Якоби используем экономичную процедуру. Элементы R , и шз дадут вклады в элемент уц, равные соответственно l/ з и niilAt, где Д/ — шаг интегрирования. Элемент La даст вклад Д///-2 в элементы уц и (/22 со знаком + , в элементы уц и yzi —со знаком — н т. д. Элементы уц и (/,ц нулевые, так как нет связи между узлами I а 3. Элементы вектора невязок сформированы из усилий, приложенных к узлу. Надексом обозначены переменные, полученные на предыдущем [c.134]

Нулевые элементы в строках матрицы Якоби обусловлены однонаправленностью модели. Выходной сигнал представляет собой зависимый источник тока с компонентным уравнением 1 = ху. Подключая к базовому узлу полюс 4 модели, будем иметь источник тока со знаком плюс, подключая полюс 3 — со знаком минус. [c.149]

Рассмотренные выше критерии позволяют, например, выделить в иерархической структуре математического обеспечения пакета фупущионального проектирования (см. рис. 5.2) элементы, подлежащие генерации (алгоритм Гаусса, расчет матрицы Якоби и вектора невязок, обращение к подпрограммам моделей элементов). Все остальные процедуры н алгоритмы, участвующие в анализе и параметрической оптимизации проектируемого объекта, должны быть реализованы в интерпретирующем виде и храниться в постоянных библиотеках пакета проектирования. [c.137]

В задачу генератора Г входит генерация объектных модулей процедур рабочей программы РП обращения к моделям элементов проектируемого объекта, расчета матрицы Якоби и вектора невязок, прямого и обратного хода алгоритма Гаусса, расчета данных для печати и др. Непосредственно генерации предшествует оптимальная перенумерация переменных математической модели объекта. Генерация объектных модулей производится в соответствии с деле-ннем проектируемого объекта на фрагменты. Такой подход необхо-ДИМ для реализации диакоптических методов анализа и способствует снижению требований к ОП, занимаемой компилятором, так как возникает возможность последовательной обработки фрагментов объекта с сохранением во внутренней БД только необходимого минимума информации о них. [c.143]

Производную (Jvldx легко подсчитать с помощью матрицы Якоби, используемой для перехода от лока.чьиых координат к глобальным (производные dx/d dy/d% прямо содержатся и матрице Якоби), [c.86]

Теоретические основы САПР (1987) -- [ c.178 ]

Классическая динамика (1963) -- [ c.290 , c.291 , c.304 ]

Динамика управляемых машинных агрегатов (1984) -- [ c.172 , c.214 ]

Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов (1985) -- [ c.164 ]

Аналитическая механика (1961) -- [ c.756 ]

Применение метода конечных элементов (1979) -- [ c.253 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...