Катастрофа градиентная

Замечание. Для градиентных систем кризисы можно трактовать как катастрофы. [c.161]

Возможность восстановления течений в физическом пространстве xi, Ж2, жз, t зависит от свойства якобиана J = 6>(xi, 2, жз)/д щ, U2, нз), который не должен обращаться в нуль в области определения течения в пространстве щ, М2, щ, t. Если J обращается в нуль, в течении появляются предельные многообразия, происходит явление градиентной катастрофы. Представляет интерес выяснить особенности появления предельных многообразий и разрушения потенциальных бегущих волн для класса течений (1.1), [c.151]

Непосредственно из вида J получаем теорему явление градиентной катастрофы в классе течений (1.1), (L2) наступает одновременно вдоль некоторой поверхности в пространстве xi, Х2, как в области тройной волны, так и в двух примыкающих к ней областях двойных волн и в одной из волн Римана. [c.151]

В момент времени t = 1 в течении наступает градиентная катастрофа, потенциальное течение разрушается. На рис. 9 показано распределение скорости в простой волне от начального момента t = О до разрушения течения. Форма стенки (рис. 10, 11) меняется со временем так же, как в случае / =. [c.158]

Сделаем некоторые выводы. Итак, показано, что при согласованных а и 7 задачу о выдвижении двух поршней с непостоянными скоростями в классе точных решений [8 уравнений неавтомодельных двойных волн можно решить в целом , если у вершины угла ввести подвижную стенку Потенциальность течения не нарушится, если скорость выдвижения поршней f t) — монотонная функция без точек перегиба. В момент времени t = Т, когда f t) имеет точку перегиба, в течении происходит градиентная катастрофа. [c.159]

Ниже на простейшем примере одного квазилинейного уравнения первого порядка будет продемонстрирована основная схема применения характеристического ряда для решения смешанной задачи Коши. Будет также показано, что применение специальных преобразований переменных позволяет эффективно описать окрестность зоны градиентной катастрофы. [c.230]

В случае, когда ai>0 при t = наступает явление градиентной катастрофы. Из [c.231]

Ряд (1.18) сходится при w 1 < 1 и не содержит особенностей при приближении градиентной катастрофы. [c.241]

До момента образования особенностей (градиентной катастрофы) течение газа будет потенциальным. Потенциал (t, Г2, жз) удовлетворяет уравнению [c.241]

Несмотря на громоздкость уравнения для Ф, оказалось, что в общем трехмерном случае коэффициенты определяются рекуррентно из простых обыкновенных диф ференциальных уравнений первого порядка с переменной t, в которые ip ш в входят в качестве параметров. Коэффициенты ао, ai определяются геометрией поверхности Sq, уравнение для 2 отвечает за явление градиентной катастрофы, а при к > 2 опреде ляются из линейных уравнений. При этом все уравнения интегрируются в квадратурах и содержат произвольные функции от и 6>, которые определяются по заданному краевому режиму (1.19). [c.242]

Пусть пространственная волна разрежения распространяется по области покоя, и на фронте ее не равны нулю первые производные газодинамических величин, а течение за волной достаточно гладкое (сильные разрывы не догоняют фронт волны разрежения). Тогда, если в какой-либо точке пространства xi, Ж2, жз, t происходит фокусировка слабого разрыва (в нуль обращается хотя бы один из радиусов кривизны главных нормальных сечений поверхности слабого разрыва), то в этой точке обращаются в бесконечность нормальные к поверхности разрыва производные давления и скорости — происходит явление градиентной катастрофы. [c.351]

TO обязательно в течении газа, определяемом движением Rp, в некоторый момент t < tk наступит градиентная катастрофа и возникнет ударная волна. [c.405]

Т. е. в момент скорости поршней и Rp сравнялись, а ускорение поршня Rp по абсолютной величине больше аналогичной величины для поршня Ясно, что в силу неравенства (2.11) такой момент т < найдется. Тогда, вычисляя при i = = т разность времен At = tk tp, соответствующих возникновению градиентной катастрофы, получим [c.406]

Градиентные системы изучались Ляпуновым в теории устойчивости, С. Смейлом с точки зрения структурной устойчивости, а также Р. Томом и его последователями в теории катастроф. [c.56]

Упомянутые выше недостатки линейной теории связаны прежде всего с тем, что в этой теории все возмущения распространяются с одинаковой скоростью независимо от их амплитуды. Это исключает возможность градиентной катастрофы и, следовательно, возможность образования разрывов — явления, столь важного в нелинейной теории, а также исключает взаимодействие простых волн и ударных волн, бегущих в одном направлении. Линеаризация же уравнений исключает вообще взаимодействие волн, в том числе и бегущих в разных направлениях. [c.239]

Таким образом, область существования непрерывного сверхзвукового течения в физической плоскости может быть ограничена огибающей одноименных характеристик — краем складки решения. На огибающей (которая называется предельной линией) градиент скорости бесконечен ( градиентная катастрофа [55]). Появление огибающей свидетельствует [c.252]

Явление неограниченного роста градиентов основных величии называется градиентной катастрофой. [c.157]

Этот результат согласуется с выводами о поведении простых волн, полученными вслед за теоремой 3. Неравенство Д = Гг- < О в простой /-волне равносильно неравенству и -ь с) < 0. В силу теоремы 3 это означает, что характеристика, на которой в момент времени (42) наступает градиентная катастрофа, принадлежит волне сжатия. Аналогичные результаты справедливы для простых г-волн. [c.160]

Возникновение градиентной катастрофы в неравномерных движениях газа является скорее правилом, чем исключением. Как было выяснено в предыдущем параграфе, для ее предотвращения должны выполняться специальные ограничения, связанные со знаками градиентов инвариантов Римана. Так или иначе, в момент наступления градиентной катастрофы основные величины становятся разрывными и при дальнейшем продолжении движения оно будет, вообще говоря, содержать сильные разрывы. Тем самым возникает необходимость изучить и описать обобщенные движения газа (см. определение 4.1), определяемые разрывными начальными данными. В ее полном объеме эта большая задача газовой динамики на решена до настоящего времени даже для одномерных движении с плоскими волнами. [c.166]

Постановка такова пусть на отрезке О х < а находится покоящийся политропный газ с известными параметрами ро, q и пусть в момент времени I = О в этот газ из положения х - О начинает вдвигаться поршень с пулевой начальной скоростью. На плоскости событий (х, t) из точки О выходит прямолинейная характеристика ОВ, разделяющая области возмущенного и покоящегося газа, которая приходит в точку В в момент времени 6 = а/со. Требуется найти такой закон движения поршня х -- X(t), чтобы его траектория соединяла точки О и В и чтобы в области ОЛВ не возникала градиентная катастрофа (см. рис. 15). [c.189]

При условиях предыдущей задачи поршень вдвигается в трубу по закону а = аГ (а > 0). Показать, что момент наступления градиентной катастрофы дается формулой [c.214]

Из рассмотрений 10 вытекает, что при д > с (или М > 1) система (1) является гиперболической. Поэтому для нее важно найти характеристики и условия на них, а также построить транспортные уравнения для описания распространения слабых разрывов вдоль характеристик и выяснения возможности градиентной катастрофы. Необходимые для выполнения этой программы выкладки будут более компактными, если сразу ввести в качестве независимых переменных потенциал скоростей р и функцию тока ф [c.258]

На основании (22) можно сделать вывод о том, что неравенства Rq О и Lo < О достаточны для того, чтобы первые производные решения оставались ограниченными при движении в сторону dip > 0. Напротив, если хотя бы одна из величин, Rq или Lq, положительна, то со стороны гр > ipo можно ожидать наступления градиентной катастрофы в точке, определяемой условием обращения знаменателя в нуль. [c.264]

Различение простых волн сжатия и разрежения существенно с точки зрения возможности непрерывного продолжения течения. Нетрудно убедиться в том, что при неограниченно.м продолжении течения вниз по потоку градиентная катастрофа не наступает в волнах разрежения, но неизбежна в волнах сжатия. Геометрически последнее очевидно, так как в волне сжатия прямые характеристики рано или поздно начнут пересекаться и будут приносить в точку пересечения значения величин див. Аналитический вывод основан на замечании, что для простых волн в решении вида (22) транспортного уравнения вдоль прямолинейных характеристик подынтегральное [c.271]

Потенциальные поля, очевидно, порождают градиентные уравнения. Градиентные системы изучались Ляпуновым в теории устойчивости, С. Смейлом с точки зрения структурной устойчивости, а также Р. Томом и его последователями в теории катастроф. Функцию Ф обычно называют потенциальной функцией или потенциалом. [c.28]

Катастрофа градиентная 177 Качество аэродинамическое 364 Количество движения 32 Компрессор 68 Конус Маха 343 Конфигурация махова 312 [c.422]

МОЖНО аналогично предыдущему получить формулы для последовательного определе ния тэйлоровских коэффициентов функций а 1) по заданному краевому режиму (44). Оказывается, что при этом никаких неприятностей и особенностей при приближении момента градиентной катастрофы не происходит. [c.236]

Из (1.3), (1.5), (1.9)-(1.11) сразу же следует, что если в якобиане J выражение в одной из скобок обраш ается в нуль, то в одной из волн Римана в области А или В наступает градиентная катастрофа. Таким образом, если до какого-либо момента времени в областях АшВше происходит градиентная катастрофа, то она не происходит до этого момента и в области двойной волны, т.е. выполнены условия разрешимости неявных уравнений (1.8). [c.475]

Исторически становление теоретической газовой динамики послужило не только пониманию и описанию общей структуры происходящих в сжимаемых средах физических процессов. 1 азовая лина.мика оказала также заметное влияние на развитие математики, главным образом ее части, связанной с теорией дифференциальных уравнений. Она вдохнула жизнь в целые математические направления — теорию разрывных решений дифференциальных уравнений, теорию уравнений смешанного типа, теорию квазиконформных отображений. Она стимулировала развитие теории сингулярных интегральных уравнений, группового анализа дифференциальных уравнений, фуик-ционально-аналитических и топологических методов исследования краевых задач. Она обогатила математику рядом важных понятий, таких как вырождение типа дифференциальных уравнений, сильный и слабый разрывы в решениях, градиентная катастрофа, сильная и слабая нелинейности, инвариантное и частично инвариантное решения, автомодельное решение и т. п. [c.10]

Модель одномерного нсустановившегося движения представляет собой одну из наиболее полно изученных газодинамических подмоделей. Исторически начало теоретического изучения движений этого класса восходит к Риману, почти 150 лет тому назад заметившему наиболее важные особенности явления распространения волн конечной акништуды. Это явление сопровождается такими существенно нелинейными эффектами, как градиентная катастрофа, образование ударных волн, распад произвольного разрыва и рядом других. [c.132]

Градиентная катастрофа. В простых волнах сжатия непрерывное движение газа, возникающее из сколь угодрю гладких начальных данных (скажем, заданных при I = 0), не может существовать как угодно долго (при всех I > 0). Действительно, при ручке веера сверху сближающиеся с ростом 1 прямолинейные характеристики должны пересечься при конечном значении . Тогда предположение о непрерывной дифференцируемости и даже вообще о непрерывности решения в окрестности точки пересечения приходит в противоречие с теоремой единственности решения обыкновенных дифференциальных уравнений характеристик. Из соотношений типа (27) видно, что при сближении характеристик (когда необходимо кх — оо) происходит неограниченный рост градиентов основных величин — абсолютных значений производных Их, Рх, и т.д., которые в точке пересечения характеристик обращаются в бесконечность. Существование таких решений типично вообще для нелинейных гиперболических уравнений. [c.157]

До(-то) < о, то вдоль выходящей из точки (,го,0) харакгеристи-ки все время будет 7 < О до тех нор, пока знаменатель в (36) не обратится в нуль. Там, где это случится, и произойдет градиентная катастрофа. Момент наступления градиентной катастрофы определяется уравнением [c.160]

Возникающая /-волна необходимо должна быть центрирована в точке В, так как иначе не будет выполнено либо ус ювие безударности движения (отсутствие градиентной катастрофы), либо условие направленности движения поршня в сторону газа (детальная проверка предоставляется читателю). [c.190]

На классификации критических точек функций основаны многие другие классификации в геометрии, физи>ке, теории дифференциальных уравнений, вариационном исчислении и других областях анализа. В этой главе описаны некоторые из таких приложений геометрические (особенности гауссовых отображений, эквидистант, эволют, эвольвент, многообразий центров кривизны, гиперповерхностей, проективно двойственных гладким, подэр и первообразных), оптические (каустики и волновые фронты, их перестройки, бикаустики), в теории обыкновенных дифференциальных уравнений (бифуркации градиентных систем, т. е. теория катастроф Тома) и теории [c.96]

Для определения момепта градиентной катастрофы из всех значений (1.8) нужно выбрать наимепыпее [c.248]

Картина решения задачи (1.14), па иоследовательпыо моменты времени при лпачспиях зшраметров Л = 0,2, Ь = 1,0, представлена на рис 5.7. Момент градиентной катастрофы , вычисленный по формуле (1.9), в этом случае равен = ( ,49. Можно показать, что с течением времени при профиль возмуще- [c.249]

Аналогично газодинамическому случаю можно рассматривать точное решепие типа ступеньки , которое возиикает в задаче Коши (1.6 ) после момента градиентной катастрофы и постанов-1 и разрыва в соответствии с правилами, изложенными выше. Для большей общности будем считать, что заачевик решения [c.250]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...