Лагранжа и Пуассона случай

Лагранжа и Пуассона случай 175 [c.485]

Случай Лагранжа и Пуассона. Эллипсоид инерции, построенный в неподвижной точке, является эллипсоидом вращения, и центр тяжести находится на оси вращения. [c.175]

Случай Лагранжа и Пуассона. Примем за ось Oz ось [c.176]

В 1788 г. Лагранж и независимо от него в 1815 г. Пуассон рассмотрели случай тяжелого симметричного гироскопа тело имеет ось материальной симметрии и поэтому 1х = 1у, а единственная заданная сила —это сила тяжести гироскопа, причем центр тяжести лежит, очевидно, на оси симметрии, но не совпадает с неподвижной точкой (иначе снова имели бы случай Эйлера) Лагранж и Пуассон получили общее решение снова в эллиптических функциях. [c.252]

Л. Пуансо. Другой случай А = В, х = у = 0) был исследован Ж. Лагранжем и С. Пуассоном. Позднее К. Г. Якоби доказал, что в этих случаях общие решения уравнений движения являются однозначными мероморфными функциями времени, рассматриваемого как комплексное переменное [22, 40]. [c.126]

Лагранж, Жозеф Луи (25.1.1736-10.4.1813) — великий французский математик, механик, астроном. В своем знаменитом трактате Аналитическая механика (в 2-х томах), наряду с общим формализмом динамики, привел уравнения движения твердого тела в произвольном потенциальном силовом поле, используя связанную с телом систему координат, проекции кинетического момента и направляющие косинусы (том II). Там же указан случай интегрируемости, характеризующийся осевой симметрией, который был доведен им до квадратур. Следуя своему принципу избегать чертежей, Лагранж не приводит геометрического изучения движения, а рисунки поведения апекса, вошедшие ранее почти во все учебники по механике, впервые появились в работе Пуассона (1815 г), который рассмотрел эту задачу как совершенно новую. Пуассон, тем не менее, систематизировал обозначения, усложняющие понимание трактатов Даламбера, Эйлера и Лагранжа и рассмотрел различные частные случаи движения (случай Лагранжа в некоторых учебниках называют случаем Лагранжа-Пуассона). В свою очередь Лагранж упростил решение для случая Эйлера и дал прямое доказательство существования вещественных корней уравнения третьей степени, определяющих положение главных осей. Отметим также вклад Лагранжа в теорию возмущений, позволивший Якоби рассмотреть задачу о возмущении волчка Эйлера и получить систему соответствующих оскулирующих переменных. [c.21]

Замечание 1. Уравнения движения в форме (1.1) были известны еще Эйлеру (1758 г.), он также установил простейший случай интегрируемости, при котором твердое тело движется по инерции (г = 0). Интегрируемость осесимметричного волчка с центром тяжести на оси симметрии была установлена Лагранжем и несколько позже Пуассоном, а имя последнего стало фигурировать в названии общих уравнений (1.1). [c.86]

Позже Пуассон обобщил результаты Лагранжа и доказал аналогичную теорему для случая, когда в разложениях сохранены члены с квадратами масс, т. е. члены порядка i , и отброшены члены порядка Доказано, что разложения больших осей содержат смешанные вековые члены, но не содержат чисто вековых членов. [c.259]

Случай Лагранжа — Пуассона. В этом случае тело, имеющее одну неподвижную точку О, находится под действием только силы тяжести и форма этого тела такова, что для него А=В С, т. е. эллипсоид инерции для неподвижной точки О тела есть эллипсоид вращения, и центр тяжести тела лежит на подвижной оси Oz на некотором расстоянии от неподвижной точки О. При этом ось Oz является осью симметрии эллипсоида инерции и называется оаю динамической симметрии тела. Такое тело, имеющее одну неподвижную точку, часто называют симметричным гироскопом (рис. 391). Его положение определяется тремя Эйлеровыми углами <р, ф и 0. [c.709]

Случай Эйлера и случай Лагранжа — Пуассона можно демонстрировать на гироскопе колоколообразной формы, вдоль оси динамической симметрии которого передвигается винт, чем можно по произволу привести точку опоры О (острие винта) в совпадение с центром тяжести С или же поместить центр тяжести С выше точки опоры О на оси винта (рис. 392). [c.711]

Гироскоп с потенциалом, зависящим только от угла нутации. Случай Лагранжа — Пуассона. Здесь, кроме А = В, надо еще положить лгд =Уо О, а потенциал, предполагаемый зависящим только от 0, можно рассматривать как функцию от единственного аргумента Уз = os 6. Мы уже знаем, что эти условия выполняются как при изучении влияния притяжения отдаленным телом Земли на ее вращение вокруг центра тяжести (п. 50), так и в задаче о движении тяжелого гироскопа (случай Лагранжа — Пуассона), для которого имеем U = [c.334]

Опираясь на этот результат, С. В. Ковалевская поставила следующую задачу найти все случаи, когда общее решение задачи о тяжелом твердом теле с неподвижной точкой представляет собой функции, мероморфные во всей плоскости комплексного времени. В результате исследований С. В. Ковалевской выяснилось, что эти случаи весьма немногочисленны к классическим случаям Эйлера-Пуансо и Лагранжа-Пуассона надо добавить еще один случай, когда А = В = = 2С, 2 = 0 случай Ковалевской). [c.126]

Данный случай интегрируемости аналогичен случаю Лагранжа в уравнениях Эйлера-Пуассона ( 3 гл. 2), а дополнительный интеграл F = Мз связан с наличием циклической координаты (угла собственного вращения). Редукция к одной степени свободы и явное интегрирование приведено нами в 1 гл. 4. [c.171]

Лагранж впервые исследовал движение тяжелого тела с одной неподвижной точкой при любом распределении плотности и показал, что если эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения, то решение задачи сводится к вычислению эллиптических квадратур (к спрямлению конических сечений по словам самого Лагранжа) ). Поэтому случай, который мы будем рассматривать, называется случаем Лагранжа или Лагранжа — Пуассона ). [c.405]

После того как Эйлером и Пуансо, Лагранжем и Пуассоном были исследованы два случая вращения тяжелого твердого тела около неподвижной точки (случай, когда центр тяжести совпадает с точкой опоры, и случай симметричного эллипсоида инерции, когда центр тяжести лежит на неравной другим оси ирерции), наступило затишье в исследованиях, относящихся к этой задаче. [c.157]

Как известно, еще в 1758 г. Л. Эйлер рассмотрел случай движения твердого тела вокруг неподвижно точки (полюса), когда центр тяжести совпадает с полюсом, а вое силы сводятся к равнодействующей, проходящей через эту неподвижную точку. В 1834 г. Л. Пуансо дал геометрическую интерпретацию этого случая. В 1788 г. Лагранж (и независимо от него в 1815 г. С. Пуассон) рассмотрел случай, когда тело имеет ось сиАГметрии, проходящую через неподвижную точку, и движется под действием только силы тяжести, точка приложения которой лежит на оси симметрии и не совпадает с полюсом (симметрический тяжелый гироскоп — волчок). Обе задачи сводятся в общем случае к квадратурам, и их решения выражаются через эллиптические функции. [c.246]

Матрица К и условие целочисленности ее собственных значений впервые появились в работах Ковалевской по динамике тяжелого твердого тела [73]. Иошида предложил назвать числа р ,..., р показателями Ковалевской. Если решения (9.28) мероморфны и ряды (9.28) бесконечны, то р 0. Исследования Ковалевской были дополнены и усилены Ляпуновым [118], показавшим, что решения уравнений Эйлера—Пуассона ветвятся во всех случая, исключая интегрируемые задачи Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. [c.122]

В заключение отметим еще одно важное применение теоремы 1, С. Л, Зиглин доказал, что дополнительный мероморфный интеграл уравнений Эйлера — Пуассона задачи о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой существует только в трех классических случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. Если зафиксировать нулевое значение постоянной площадей, то к этим случаям надо добавить еще случай Горячева—Чаплыгина. Этот результат также основан на анализе уравнений в вариациях для некоторых частных решений уравнений Эйлера — Пуассона [64]. [c.371]

Основные результаты по неинтегрируемости уравнений Эйлера-Пуассона принадлежат В. В. Козлову, С. Л. Зиглину, С. В. Болотину. Они обсуждаются в книгах [92, 97] и связаны с расщеплением асимптотических поверхностей, ветвлением решений на комплексной плоскости времени, рождением большого числа невырожденных периодических решений. Вершиной этого направления являлась бы теорема, что общие случаи существования дополнительного вещественно-аналитического интеграла исчерпываются случаями Эйлера, Лагранжа и Ковалевской, а для частных интегралов к ним надо добавить случай Горячева-Чаплыгина. К сожалению, в полном объеме эта гипотеза до сих пор не доказана, несмотря на отдельные и довольно существенные продвижения [97]. [c.90]

Для того чтобы полностью определить закон движения твердого тела, системы динамических уравнений Эйлера недостаточно. Эту систему следует допо.пнить кинематическими соотношениями ( 6.2). В целом получается система дифференциальных уравнений, исследование свойств решения которой часто сопряжено со значительными трудностями. Ниже будут рассмотрены три случая, когда для этой системы аналитически может быть построено общее решение. Это — случай Эйлера, когда момент внешних сил отсутствует, а также случаи Лагранжа-Пуассона и Ковалевской, когда движение вокруг неподвижной точки происходит под действием параллельного поля силы тяжести. [c.466]

В этой главе прежде исего будет рассказано о том, как можно описать движение механической систел1ы с 5 стеиенями свободы в 25-мерном фазовом пространстве. Канонические уравнения выводятся из уравнений Лагранжа, Канонические преобразования обсуждаются весь 1а кратко, более подробно рассматриваются свойства скобок Пуассона, их инвариантность относительно канонических преобразований, их значение для отыскания интегралов движения и связь с бесконечно малыми контактными преобразованиями. Бегло рассмотрен случай движения заряженной частицы Б электромагнитном поле. В последнем параграфе принцип наименьшего действия выводится из вариационного принципа Гамильтона и обсуждается вопрос о том, как молено рассматривать время на равных правах со всеми остальными координатами q . [c.123]

Задача о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки издавна привлекала внимание всех крупных механиков и математиков. Эйлер в 1758 г. впервые рассмотрел решение этой задачи для случая, когда центр масс совпадает с неподвижной точкой. В 1788 г. Лагранжем был исследован другой случай движения тяжелого твердого тела, когда эллипсоид инерции, построенный для неподвижной точки, является эллипсоидом вращения, а центр масс твердого тела находится на оси симметрии этого эллипсоида. После открытия Лагранжа в течение целого столетия, несмотря на усилия многочисленных ученых, в том числе таких крупных математиков, как Пуассон, Якоби, Пуансо, не было получено новых существенных результатов. В 1886 г. Парижская академия наук объявила конкурс на соискание премии Бордена за лучшее сочинение на тему о движении твердого тела около неподвижной точки. Эту премию получила С. В. Ковалевская, пред- [c.399]

За открытие, после Эйлера и Лагранжа, третьего случая интегрируемости уравнений Эйлера-Пуассона ей была присуждена премия Бордена [c.23]

Система переменных Андуайе - Депри не разбивается на позиционную и чисто импульсную составляющие подобно углам Эйлера и сопряженным им каноническим импульсам. Однако они очень удобны для применения метода теории возмущений, так как связаны с компонентами кинетического момента. В двух наиболее известных интегрируемых (невозмущенных) задачах динамики твердого тела — случаях Эйлера и Лагранжа — переменные С и Ь соответственно являются интегралами движения. Сходные системы оскулирующих элементов , не обязательно являющихся каноническими, использовались еще Пуассоном, Шарлье, Андуайе и Тиссераном при построении теорий физической либрации Луны и вращательного движения планет в небесной механике. Их введение в этом веке А. Депри в работе [71] преследовало цель прояснить фазовую геометрию случая Эйлера (см. 2 гл. 2) и позволило осознать их универсальный характер в динамике твердого тела — они использовались для применения методов качественного анализа в [92], где называются специальными каноническими переменными, и для численных исследований [28]. [c.47]

В итоге задача о движении твфдого тела вокруг неподвижной точки сводится к нахождению недостающего только одного интеграла четвертого п )вого интеграла системы ( ) . Этот четвертый интеграл для произвольных начальных условий был найден только в трех случаях (случай Эйлера-Пуансо, Лагранжа-Пуассона и С.Ковалевской). Прежде чем приводить краткое описание этих последних трех случаев, рассмотрим сначала те пфвые интегралы системы ( ), которые определяются непосредственно. [c.196]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...