Вращение твердого тела переменное

Из других работ по механике тел переменной массы Мещерского важное практическое значение имеет его исследование вращения твердого тела переменной массы вокруг неподвижной оси дополняющее ранние работы о поступательном движении тел переменной массы. [c.232]

I—момент инерции твердого тела относительно мгновенной оси, ш — величина мгновенной угловой скорости (так как мгновенная ось меняет свое положение при вращении твердого тела вокруг неподвижной точки, то / является величиной переменной). [c.285]

Из различных переменных вращений тела в задачах наиболее часто встречается равнопеременное вращение. Равнопеременным вращением называют такое вращение твердого тела вокруг оси, -при котором угловое ускорение остается постоянным [c.169]

Какое вращение твердого тела называется равномерным, какое равномерно-переменным [c.437]

Эйлер (1707—1783). Эйлер внес очень существенный вклад в развитие теоретической механики. При изучении вращения твердого тела он впервые использовал кинематические переменные, введя в качестве вспомогательных переменных три компоненты угловой скорости. Замечательны его пионерские работы в области вариационной механики. Эйлер начал систематическое изучение вариационных задач иногда называемых изопериметрическими . Эти задачи на максимум-минимум привлекали к себе внимание лучших умов — таких, как Ньютон.. Лейбниц. Яков и Иоганн [c.389]

Рассмотрим еще знаменитую задачу о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки при отсутствии каких-либо сил. В этой задаче приходится интегрировать пять дифференциальных уравнений первого порядка между шестью переменными. Принцип живых сил дает здесь один интеграл, три других получаются из принципа площадей, пятый интеграл непосредственно выводится из моего принципа. Таким образом, все интегралы в этой трудной задаче получаются только лишь из общих принципов механики, без того чтобы понадобилось писать хотя бы одну формулу или производить замену переменных. [c.295]

Примечание. Аналогичная конструкция используется для введения переменных действие — угол в задаче Кеплера и в случае Эйлера вращения твердого тела. Как и задача о геодезических на сфере, эти задачи относятся к числу вырожденных (гамильтониан зависит не от всех переменных действия). [c.269]

В работе Ковалевской о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки необходимо отметить следующие существенно новые для механики и математики особенности. Ею открыт новый случай вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, для которого она нашла общий интеграл. С. В. Ковалевская впервые привлекла к исследованию подобных задач прекрасно разработанный аппарат теории функций комплексного переменного. Наконец, ее работа поставила некоторые новые общие математические проблемы. [c.246]

Заметим, что возникновение асимптотической устойчивости по части переменных характерно и для твердых тел с полостями, содержащими сильно вязкую жидкость [Румянцев, 1967]. Кроме того, асимптотическая устойчивость по части переменных при отсутствии активных внешних диссипативных сил является существенной особенностью задачи устойчивости перманентных вращений твердого тела на абсолютно шероховатой плоскости [Карапетян, 1981 Марке-ев, 1992] см. раздел 1.1.4. [c.22]

Область Д в координатах Ii, I2 есть снова Д = h, h h О, /i /2 . В канонических переменных действие-угол I, (fi функция имеет вид S h I2 h Ф1 Ф2 Фз), то есть зависит только от h, h - Используя формулу (1.1), легко получить, что линии уровня функции 23 (h, h)/ в координатах действие суть прямые линии, проходящие через начало координат. Прямые II = О, /i = I2 (лежащие в Д) отвечают вращениям твердого тела вокруг меньшей и большей осей инерции. Вращениям вокруг средней оси инерции соответствуют точки из Д, расположенные на двух прямых 23 Ii, I2) = / . [c.40]

Пуанкаре принадлежит важное замечание о том, что в некоторых канонических переменных I, ср гамильтониан свободного вращения твердого тела имеет вид 3 1х, /2). Им же введена функция а(25 // А, В, С) отношения а/27г суть числа вращения [опять-таки определенные впервые Пуанкаре) на двумерных торах интегрируемого случая Эйлера-Пуансо. Пуанкаре первым указал вид разложения возмущающей функции в кратный ряд Фурье по угловым переменным ср, ср2- Ссы- [c.53]

Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в потенциальном поле сил, инвариантном относительно поворотов вокруг некоторой прямой Г, проходящей через точку подвеса. Обозначим, как обычно, через р, ц, г проекции вектора угловой скорости на главные оси эллипсоида инерции тела, а через 71, 72, 73 — косинусы углов между прямой Г и главными осями инерции. Потенциал поля сил "V зависит только от переменных 71, 72, 73. Предположим, что У — аналитическая функция в некоторой окрестности нуля 7 = 72 = = -уз = О, содержащей сферу Пуассона [c.68]

Рассмотрим группу 5p(l) — мультипликативную группу кватернионов q = X + Шс единичной нормой + + = 1. Каждому такому кватерниону соответствует линейное отображение Г, алгебры всех кватернионов К на себя, определенное формулой Тд г) = qrq (г Е К). Легко проверить, что Г, отображает множество чистых кватернионов (у которых х = 0) на себя. Если отождествить это множество с евклидовым пространством то Тд будет ортогональным преобразованием —> —> R . Рассмотрим теперь твердое тело с закрепленной точкой. Зафиксируем некоторое положение этого тела. Тогда его поворот из начального положения в произвольное задается некоторым ортогональным преобразованием, которому, в свою очередь, соответствует некоторый кватернион д Е Sp(l). Таким образом, каждому кватерниону g Е Sp(l) можно поставить в соответствие положение твердого тела с неподвижной точкой, причем кватерниону —д (и только ему) соответствует то же самое положение тела в R . Эти наблюдения восходят к Гауссу. Таким образом, переменные (Xi С) можно считать избыточными координатами в задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки. [c.35]

Существуют ли такие неустановившиеся движения, для которых линии тока все же совпадают с траекториями Возьмем, например, прямолинейное движение твердого тела с переменной скоростью. В этом случае как линии тока, так и траектории будут прямыми, а само движение будет, конечно, неустановившимся. Аналогично линии тока и траектории будут совпадать в случае вращения твердого тела вокруг неподвижной оси с переменной угловой скоростью. В общем случае линии тока и траектории будут совпадать друг с другом при таких неустановившихся движениях, в которых скорости меняются в данной точке пространства с течением времени только по величине, но не по направлению. [c.42]

Во время первого, третьего и пятого периодов ротор вращается по хорошо известным законам вращения твердого тела вокруг оси под действием постоянных или переменных моментов во время второго и четвертого периодов вращение ротора происходит во время рабочих ходов штока и называется срабатыванием, а соответствующее время — временем срабатывания. [c.6]

Проведем через нее три подвижные оси, движущиеся поступательно. Тогда движение твердого тела может быть разложено на движение по отношению к подвижным осям Охуг и переносное, которое будет поступательным и определяется движением точки О тела. Сложное центробежное ускорение равно нулю в случае поступательного переносного движения поэтому ускорение точки М тела равно геометрической сумме относительного ускорения, равного ускорению при движении тела вокруг неподвижной точки, и переносного ускорения, представляющего собой ускорение точки О. Пусть w—ускорение точки О, и р, q, /- — проекции на оси переменного вращения w тела проведем ось z параллельно оси вращения в рассматриваемом ее положении и в сторону вектора (о тогда проекции абсолютного ускорения точки /И (с координатами х, у, г) будут [c.111]

В каждый момент времени в движущемся твердом теле существует такая точка, что, с точки зрения ускорений, движение тела происходит, так, как если бы оно совершало переменное вращение ы вокруг этой, точки, рассматриваемой как неподвижная. Эта точка, изменяющая с течением времени свое положение в теле, есть центр ускорений. [c.112]

Момент инерции 0 твердого тела при неподвижной оси вращения не зависит от времени, тогда как для шарнирных механизмов и живых существ 0 переменно. В 13 мы покажем, что все спортивные занятия, в особенности гимнастика, основаны на изменчивости момента инерции человеческого тела. [c.86]

Например, в случае твердого тела, движущегося в двух измерениях, если мы обозначим через 6 угол, на который повертывается тело и который отсчитывается от некоторого определенного положения тела, то коэфициент а в равенстве (1) будет представлять расстояние точки/м от мгновенной оси вращения, и соответственно А будет (обычно переменный) момент инерции относительно этой оси. [c.166]

И. В. Мещерский. О вращении тяжелого твердого тела с развертывающейся тяжелой нитью около горизонтальной оси.— В кн. Работы по механике тел переменной массы, стр. 183—199. [c.232]

Магистерская диссертация И. В. Мещерского Динамика точки переменной массы и работа Уравнения движения точки переменной массы в общем случае являются высшими достижениями его научного творчества. Следует отметить еще две работы Ивана Всеволодовича, посвященные задачам механики тел переменной массы. В работе О вращении тяжелого твердого тела с развертывающеюся тяжелою нитью около горизонтальной оси исследуется движение вала переменной массы, причем отделение или присоединение частиц к валу происходит без ударов, т. е. с относительной скоростью, равной нулю. В этом частном случае уравнение вращения не будет отличаться по форме от уравнения вращения тела постоянной массы только момент инерции тела относительно оси вращения будет величиной переменной. [c.120]

Осесимметричные движения. В предыдущих главах мы могли рассматривать двумерные движения с помощью комплексного переменного и комплексного потенциала. При рассмотрении трехмерного движения мы уже не можем пользоваться комплексным потенциалом. Простейшим примером трехмерного движения является движение, одинаковое в каждой плоскости, проходящей через некоторую прямую, называемую осью. Такое движение, например, имеет место, когда твердое тело вращения движется в направлении своей оси вращения в покоящейся жидкости. [c.428]

Задача о существовании дополнительного интеграла уравнений вращения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, аналитического по каноническим переменным и параметру (л, впервые поставлена А. Пуанкаре в п. 86 его Новых методов небесной механики . Анализируя разложение возмущающей функции, А. Пуанкаре показал, что (в нашей терминологии) вековое множество не является всюду плотным, и, следовательно, его общая теорема об отсутствии новых аналитических интегралов не применима ...ничто не препятствует существованию третьего однозначного интеграла, если только якобиан трех интегралов обращается в нуль, как только п [у нас и , В. К.) становится кратным п [у нас и)1, В. К.)] отсюда следует, что этот третий интеграл не может в общем случае быть алгебраическим. [c.72]

Линейная вектор-функция (14.14) представляет так называемое линейное преобразование в пространстве. Очевидно, что умножение вектора г на оператор Ф переводит переменный вектор г в новое положение г. Подобную интерпретацию уравнения (14.14) можно применить и для представления вращения абсолютно твердого тела. [c.178]

Громоздкие условия, приведенные в таблице 3.1, с геометрической точки зрения имеют простой смысл. Воспользовавшись аналогией с уравнением Эйлера-Пуассона, будем считать, что динамически несимметричное твердое тело движется в обобщенно потенциальном поле, т.е. 7 — некоторые позиционные переменные. Тогда условием существования соотношения (1.16) является симметрия потенциала и обобщенного потенциала системы (1.2) относительно вращений вокруг перпендикуляра к круговому сечению гирационного эллипсоида (ср. с 6 гл. 2). [c.176]

Пример 11. Рассмотрим вращение тяжелого твердого тела около неподвижной точки. Расстояние от точки подвеса до центра масс тела обозначим е и будем считать малой величиной. При е = 0 получаем задачу Эйлера—Пуансо (гл. 4). Переменные действие — угол /ь /г, в, фи фг, А для этой задачи описаны в [12] (см. также гл. 3, п. 2.3). Напомним, что /г — модуль вектора кинетического момента тела, а 0 — его вертикальная проекция, О — угол поворота вектора кинетического момента вокруг вертикали, переменные и ф1. фг при заданном /г определяют положение тела в системе осей, жестко связанной с вектором кинетического момента и вертикалью (рис. 20). [c.183]

Но полученная формула для кинетической энергии вращательного движения твердого тела (18.2) может быть использована для вычисления только в случае, когда вектор угловой скорости не изменяет своего направления при движении тела (например, при вращении тела вокруг неподвижной оси). Если это условие не выполняется, момент инерции Is становится переменной величиной и формула практически оказывается непригодной для использования. В этом случае выражаем момент инерции /j относительно мгновенной оси вращения через главные моменты инерции по формуле (16.7) и замечаем, что wot = со -, соР = соу, wv = есть проекции угловой скорости на подвижные оси. Тогда для кинетической энергии вращательного движения получается следующее выражение [c.163]

В двух работах М. Ш. Аминова Об устойчивости вращения твердого тела переменной массы вокруг неподвижной точки (1958) и Некоторые вопросы движения и устойчивости твердого тела переменной массы (1959) содержатся некоторые общие результаты для системы ге материальных точек переменной массы, подчиненной идеальным голонохмным связям, формулируется принцип Гамильтона — Остроградского, который затем применяется к выводу дифференциальных уравнений движения твердого тела переменной массы вокруг неподвижной точки и для [c.305]

Особое внимание при эксплуатации следует обратить на вибрацию, периодически возникающую на отдельных ГЦН. Предупредить возникновение вибрации намного легче, чем после ее возникновения найти вызвавшие ее причины, устранить их и ликвидировать последствия. Проблема устранения общей вибрации машин тесно связана с задачей уравновешивания быстровращаю-шихся роторов. Если ось вращения твердого тела совпадает с одной из его главных осей инерции, то вращающееся тело не будет оказывать никакого переменного возмущающего действия на опоры. Однако в процессе изготовления ротора очень трудно точно удовлетворить этому требованию вследствие отклонений геометрических размеров, неоднородности материала, а также некоторой несимметричности в распределении масс относительно оси вращения. [c.296]

Градиент степени реактивности ступени 3, закрутка потока в межвенцевом зазоре которой соответствует вращению твердого тела (показатель п = —1), согласно расчетным и экспериментальным данным,—отрицательный (рис. ХН.1). Однако опытная степень реактивности рт. с на среднем диаметре ступени 3 приблизительно на 15% выше расчетной, равной рт. с ступени 1. Повышение рт. с ступени 3 вызвано тем, что живые сечения решеток ее НА и РК не были согласованы по условию равенства интегрального расхода [см. формулу (XI.31)]. Это привело к появлению отрицательных углов атаки при входе потока на РЛ и повышению характеристического числа (u/ o)opt (рис. ХП.1). Следовательно, при расчете на цилиндрических поверхностях тока ступеней с ТННЛ, имеющих существенно переменные по высоте плотность рабочего тела и проекции скоростей iz и 2z, решетки их НА и РК должны быть обязательно согласованы по расходу. [c.207]

Жесткий ротор. Проблема устранения общей вибрации турбомашин тесно связана с задачей уравновешивания быстровращаю-щихся роторов. Если ось вращения твердого тела совпадает с одной из его главных осей инерции, то вращающееся тело в данном случае не будет оказывать никакого переменного возмущающего действия на опоры. Однако в процессе изготовления ротора очень трудно точно удовлетворить этому условию вследствие нарушений геометрических размеров, неоднородности материала, а также некоторой несимметричности в распределении масс относительно оси вращения. [c.99]

Рассматривается вращение твердого тела с одной неподвижной точкой в поле тяготекня сжатой планеты, потенциал которой с высокой точностью аппроксимируется двумя неподвижными центрами, расположенными на комплексно-сопряженных расстояниях. Метилом Пуанкаре строятся периодические решения. Задача решается в переменных Лндy J ie, при этом используется аппарат гамильтоновых систем. [c.128]

Как мы уже указали выше, с появлением на свет мемуара Ковалевской о вращении твердого тела оказалась поставленной другая задача общего характера, задача об отыскании всех случаев, кЬгда существует новый алгебраический первый интеграл задачи, т. е. когда существует алгебраическая функция переменных р, q, г, у, f, дифференциал которой обращается в нуль на основании уравнений (1) и которая отличается от известных уже алгебраических интегралов. [c.167]

Если один из двух винтов вывернуть нз отверстия п переставить в диаметрально противоположное отверстие, то будет иметь место колебательное двии ение, при котором концы вала находятся в нротивофазе , т. е. когда один конец вала перемещается в одном направлении, а другой в противоположном. Указанный характер движения также находится в соответствии с законом механики, который утверждает, что для колебательного вращения твердого тела вокруг центра масс требуется действие внешнего переменного момента. Если винты установлены с противопололшых сторон короткого жесткого ротора, и его концы могут поворачиваться, то геометрическая ось совершает колебания, так как ротор стремится удержать неподвижной главную ось инерции. [c.34]

Уравнения (3.5) и (3.6) образуют полную систему дифференциальных уравнений шестого порядка относительно неизвестных р, q, г, 0, (р, описывающую вращение твердого тела относительно неподвижной точки. Моменты сил т Шу, должны бьпъ заданы как функции переменных t, р, q, г, v]/, 0, ср. [c.123]

В некоторых задачах принцип Даламбера оказывается даже более гибким, чем более развитый принцип наименьшего действия. Дифференциальные уравнения движения, определяющие ускорения движущейся системы, являются уравнениями второго порядка. Ускорение qi — это вторые производные координат qi или первые производные скоростей qi. Может, однако, оказаться более удобным — и такая ситуация встречается, в частности, в динамике твердого тела — характеризовать движение при помощи некоторых скоростей, не являющихся производными действительных координат. Такие величины называют кинематическими переменными . Хорошим примером является вращение волчка вокруг оси симметрии. Его можно охарактеризовать угловой скоростью вращения со = defi it, где d p — просто бесконечно малый угол поворота, а не дифференциал от какого-либо угла ф, так как такой угол ф существует лишь в случае, если ось симметрии закреплена. Тем не менее и при незакрепленной оси удобно использовать d(f/dt как величину, характеризующую движение волчка. В принципе наименьшего действия нельзя использовать кинематические переменные, а в принципе Даламбера можно. [c.117]

Мы уже многократно рассматривали как примеры для объяснения общих понятий и законов механики те движения, причиной которых считают силу тяжести, рассмотрим эти движения подробнее и вначале разъясним, как измеряется сила тяжести. Для этого нам послужит наблюдение колебаний тяжелого тела, которое способно вращаться вокруг горизонтальной оси. Такое приспособление называют маятником, а именно сложным маятником — в противоположность простому маятнику, о котором мы уже говорили. Допустим, что сила тяжести — постоянная ускоряющая сила. Рассмотрим маятник как твердое тело и пренебрежем влиянием воздуха, движением Земли и трением оси вращения тогда мы сможем очень легко вычислить движение такого маятника. Положение последнего в некоторый момент определено одной переменной выберем в качестве ее угол образованный плоскостью, проходящей через ось вращения и центр тяжести маятника, и вертикальной плоскостью, проходящей через ось вращения. Согласно 5 четвертой лекции, имеем теорему площадей относительно плоскости, перпендикулярной к оси вращения, так как связи точек маятника допускают вращение вокруг нее эта теорема дает дифференциальное уравнение для такого угла. Обозначим величину силы тяжести — g, массу маятника—т, расстояние от его центра тяжести до оси вращения—s, момент инерции маятника относительно этой оси — к, таким образом получим дифференциа ное уравнение [c.69]

Задача об интегрируемости уравнений (4.1) при ах = 2 существенно сложнее. Выше уже отмечалось, что из наличия аналитического интеграла уравнений (4.1) вытекает наличие интеграла в виде однородного многочлена по переменным т, р. Это простое наблюдение позволяет применить к рассматриваемой задаче метод Гюссона, с помощью которого была решена задача о дополнительном алгебраическом интеграле уравнений вращения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой (историю вопроса и изложение метода Гюссона можно найти в [113] см. также [14]). Такая задача рассмотрена С. Т. Садэтовым [148] в предположении [c.285]

Эти общие соображения С. А. Довбыш применил к известной задаче о вращении несимметричного твердого тела с неподвижной точкой в слабом однородном поле силы тяжести. Малым параметром здесь служит произведение массы тела на расстояние от центра масс до точки подвеса. Факторизацией по группе вращений вокруг вертикали задача сводится к гамильтоновой системе с двумя степенями свободы. Фиксируя еще положительное значение постоянной интеграла энергии и применяя метод Уиттекера изоэнергетической редукции, уравнения движения можно привести к гамильтоновым уравнениям с 3/2 степенями свободы и периодическим по новой переменной времени гамильтонианом рассмотренного выше типа (все детали можно найти в книге [83]). В этой задаче диаграмма сепаратрис невозмущенной задачи Эйлера (в несимметричном случае) имеет вид, изображенный на рис. 29 (точки и 2з совпадают, так как фазовым пространством системы является цилиндр, а не плоскость). Особенностью этой задачи является совпадение характеристических чисел для гиперболических положений равновесия и 2. Выделим сепатрисы Г1, Гг и Гз, как показано на рис. 29. [c.290]

Электрическое и магнитное поля индуцируют в жидких и твердых телах (ироводниках, диэлектриках и магнетиках) токи, дипольный и магнитный моменты. В результате взаимодействия наведенных моментов с неоднородным переменным полем на жидкость или твердое тело действуют электромагнитные силы. Появляются качественно новые возможности управления движением тел [258, 259]. Такие задачи возникают во многих областях современной техники и технологии — нри создании бесконтактных опор, новых видов транспорта, устройств для сепарации, транспортировки и упаковки деталей, очистки воды от диэлектрических примесей — нефти, мазута и пр. [260]. Другое направление исследований связано с созданием систем пассивной и активной стабилизации спутников, тросовых космических систем в режимах тяги или генерации электроэнергии в магнитном поле Земли [258]. В рамках релятивистской электромеханики показано, что черная дыра, вращающаяся в магнитном поле, играет роль батареи, преобразующей энергию вращения в массу покоя и энергию выбросов в магнитосфере квазаров и активных ядрах галактик. [c.233]

Укажем классический способ сведения задачи Эйлера к га-мильтоиовой системе с одной степенью свободы, использующий специальные канонические переменные. Пусть оХ 1 — неподвижный трехгранник с началом в точке подвеса, одг /2 —подвижная система координат (главные оси инерции тела). Положение твердого тела в неподвижном пространстве определяется тоемя углами Эйлера О (угол нутации)—угол между осями о2 и ог, ф (собственного вращения) — между осью ох и линией пересечения плоскостей оху и оХУ (называемой линией узлов), (угол прецессии) — между осью оХ и линией узлов. Углы О, ф, 1 ) образуют на 50(3) систему координат, подобную географическим координатам на сфере с особенностями у полюсов (где 0=0, л) и многозначностью на одном меридиане. Пусть р. рщ, — канонические импульсы, сопряженные с координатами О, ф, 11). Еслн твердое тело вращается в осесимметричном силовом поле с осью симметрии oZ, то функция Гамильтона не будет зависеть от угла 1 ). Понижение порядка в этом случае можно трактовать как исключение узла — исключение циклической переменной я ), определяющей положение линии узлов в неподвижном пространстве. [c.111]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...