Движение волчка

В условиях предыдущей задачи составить канонические уравнения движения волчка. [c.375]

Движение волчка, имеющего одну неподвижную точку О, определяется углами Эйлера ф, 0 и ср. Пользуясь результатами рещения задачи 49.11, составить уравнение в частных производных Якоби — Гамильтона и найти полный интеграл его. [c.376]

Решение. Гироскоп (волчок) имеет ось симметрии . Согласно условию задачи главный момент количеств движения волчка направлен по оси симметрии. Если бы ось была неподвижной, то такое направление кинетического момента являлось бы очевидным. Но основным свойством всякого гироскопа является его способность быстро вращаться вокруг оси при одновременном поворачивании оси вращения. Если угловая скорость со гироскопа вокруг оси очень велика, а угловая скорость tOi, с которой поворачивается ось гироскопа, невелика, то с достаточной точностью можно допустить, что главный момент количеств движения гироскопа относительно точки опоры О направлен по оси симметрии и равен произведению угловой скорости на момент инерции гироскопа относительно оси симметрии [c.229]

Рис. 6.8.2. Возможные типы движения волчка Лагранжа

Уравнения движения волчка примут вид ( 6.6) [c.501]

Непосредственным обобщением движения тела вокруг неподвижной оси является движение тела вокруг неподвижной точки. Примером такого движения является движение волчка (гироскопа). Это [c.108]

Из этого выражения следует, что для составления левых частей уравнений вращения снаряда относительно его центра тяжести. достаточно в уравнениях движения волчка заменить d на d — х-Что касается правых частей, то роль силы тяжести, направлен- ной противоположно оси 0 , в уравнениях движения волчка переходит к силе сопротивления воздуха, направленной противоположно скорости центра тяжести т. е. противоположно вектору т, причем расстояние I от точки опоры до центра тяжести волчка заменяется расстоянием СК = h между центром тяжести и центром сопротивления снаряда. Поэтому момент силы сопротивления D относительно центра тяжести снаряда выражается, как в случае волчка, формулой [c.628]

Решение. Лагранжиан, описывающий движение волчка, [c.225]

Примеры. 1 . Приложение к движению волчка по горизонтальной плоскости. Эта задача была решена в п. 407 как пример движения однородного тяжелого тела вращения, скользящего по горизонтальной плоскости. Пользуясь обозначениями пп. 407 и 408, мы видим, что положение системы зависит от пяти параметров i, т , <р, центра тяжести связана с 0 соотношением i = I os 0. Для сокращения письма мы предположим, что масса волчка принята равной единице (М = 1). Тогда кинетическая энергия будет [c.369]

Предыдущие условия являются идеальными. В действительности волчок опирается на плоскость не острием, а поверхностью вращения, более или менее заостренной, так что точка касания ее с плоскостью вообще не лежит на оси волчка и перемещается по поверхности. Кроме того, неподвижная плоскость не абсолютно гладкая. Эти два обстоятельства изменяют характер движения волчка по плоскости. [c.209]

Для решения задачи о движении волчка мы используем не уравнения Эйлера, а уравнения Лагранжа. Так как рассматриваемое тело является симметричным, то его кинетическая энергия может быть записана в виде [c.186]

Существует очевидное сходство между этим методом рассмотрения движения волчка и методом эквивалентного потенциала , применявшимся в главе 3 для центральных сил. Действительно, модифицированное уравнение энергии (5.52) можно рассматривать как уравнение одномерного движения точки, масса которой равна It, а потенциальная энергия равна [c.189]

В общем случае начальные условия требуют задания величин 0, ф, ij), 0, ф и ф при / = 0. Но так как две из них, ф и ф, являются циклическими, то начальные значения их являются для нас несущественными, и дело сводится к заданию четырех остальных величин. Но так как мы требуем, чтобы движение волчка представляло регулярную прецессию, то выбор этих четырех начальных значений не может быть произвольным, ибо они должны удовлетворять равенству (5.70). Выбрав, например, начальные значения 0 и, скажем, 0 и ij) почти произвольно, мы найдем соответствующее значение ф. Мы говорим почти произвольно , потому что уравнение (5.70) является квадратным, и для того, чтобы ф было вещественным, дискриминант уравнения должен быть положительным. Следовательно, должно выполняться неравенство [c.195]

Получить из уравнений движения Эйлера условие (5.70) для симметричного волчка в поле силы тяжести, накладывая требование, чтобы движение волчка представляло собой равномерную прецессию без нутации. [c.202]

Основанный на элементарных принципах, этот учебник содержит все же подробное описание движения Пуансо и движения тяжелого симметричного волчка. Кроме того, в этой книге имеются некоторые точные формулы, описывающие движение волчка с помощью эллиптических функций. Некоторые небольшие разделы этой книги посвящены качению твердых тел и техническим применениям гироскопов (главным образом гирокомпасу). [c.205]

Примером может служить волчок с неподвижной точкой О (рис. 133), совершающий так называемую регулярную прецессию (волчок вращается вокруг своей оси Oz, а эта ось обращается в свою очередь вокруг вертикали Ос так, что zOh, = onst). При этом движении мгновенная ось вращения волчка ОР, лежащая между осями 2 и t,, описывает относительно неподвижного пространства неподвижный конус /, а в самом теле— подвижный конус 2 при движении волчка около точки О подвижный конус (аксоид) будет катиться без скольжения по неподвижному. [c.134]

Тогда w.2 — Gal(jM ]. Следовательно, скорость иг прецессии при движении волчка остается иостоянной и будет тем меньше, чем больше скорость oi собственного вращения. Таким образом, быстро вращ.ающ ийся волчок обладает устойчивостью по отношению к опрокидывающему моменту сил тяжести. Это одна из важнейших особенностей гироскопических явлений. [c.196]

К таким задачам принадлежит, например, вопрос о движении волчка, опиракшижося одним концом на горизонтальную пло- [c.456]

Интегралы (1) — (3) позволяют свести решение задачи о движении волчка к квадратурам. Мы но будем исследовать движение во всей полноте, а рассмотрим только один частный случаи. Пусть в начальный момент волчок закручен вокруг оси симметрии и поставлен на плоскость без начальной koijo th центра масс п пусть в начальный момент ось симлютрии волчка наклонена к вертикали под углом 00. Это означает, что при t = Q выполнены равенства [c.188]

Левая часть равенства (7) неотрицательна. Поэтому угол О может принимать только такие значения, для которых /(0) 0. Отсюда следует, что 0 0о, так как при 0 < 0о функция /(0) представляет собой произведение двух сомножителей, имеюнщх нротивонолож-пые знаки. Угол 0 колеблется между 0о и значением 0 , являющимся ближайшим к 00 корнем уравнения /(0)=О. Отметим, что 01 < л, так как / (л) = — (1 + os 0 ) С г < 0. Таким образом, при движении волчка выполняются неравенства 0о 0 0i < л. Длина отрезка 0D (рис. 116) все время удовлетворяет неравенствам [c.189]

Влияние трения на движение волчка. В действительности пеиодвиялиая плоскость, па которую опирается волчок, пе является абсолютно гладкой, а волчок закапчивается по острп( м, а поверхностью вращения, более или моисе заостреипой, так что точка касания D волчка и плоскости не лежит па оси симметрии. По этим причинам движение волчка будет иным, иеж ели то движение, которое описано в и. 111. [c.189]

Так как вращательное движение продолговатого снаряда, центр масс которого перемещается по весьма настильной траектории, и движение волчка около вертикали описываются совершенво одинаковыми дифференциальными уравнениями, то достаточно рассмотреть устойчивость движения одного из них, например устойчивость волчка. [c.62]

В рассмат1)ивасмом случае мо кно, так i o как и и первых днух примерах, не составляя дифференциальных уравнений возмущенного движения, найти три интеграла. Два интеграла определяются сразу — это интеграл энергии и интеграл, соответствующий циклической координате ф (второй интеграл — интеграл моментов количеств движения волчка относительно оси z) [c.63]

Третий интеграл — это интеграл моментоп количеств движения волчка относительно неподвижной оси [c.63]

Функция F, опроделенно-иоложптельна относительно ж,, а функции Fj и Fj имеют одинаковую структуру. Поэтому, согласно общей теории для определения условия устойчивости невозмущенного движения волчка относительно величин а, а, Р, Р п ф, достаточно определить условие, при котором функция Fj будет определенно-положительной относительно величин x и а-4 (при этом же условии функция Fj будет опре-деленно-ноложительной относительно величин жз и х ). [c.65]

Пример 4. Необходимое у с jr о в и е устойчивости в о л ч 1 а (и р а щ а т е л ь н о го движения снаряд а). В примере Л 2.6 было получено следуюш,ее достаточное условие устойчивости установившегося движения волчка (вра-п ательного движепия снаряда) относительно неременных а, а, Р, Р п ф [c.118]

Отсюда видно, что при противоположном смысле неравенства (4.47) дискриминант D будег отрицате [еп и, следовательно, установившееся движение волчка (врагп ател[.поо движение снаряда) сделается неустойчивым. [c.119]

Такое движение волчка называется псевдорегулярной прецессией. [c.229]

Чтобы качественно объяснить движение китайского волчка, используем теорему о моменте количеств движения отнооитель-но центра масс с этой целью присоединим к заданным силам реакции шероховатой горизонтальной поверхности — нормальную реакцию N и силу трения Т и будем мыслить волчок свободным. Относительные движения волчка составляют прецессионные движения, вызванные реакциями N и Т. Скорость конца момента количеств относительного движения поэтому будет [c.160]

Пусть теперь жидкость движется со скоростью thu в жидкости идет волна со скоростью th ф. Если а — угол между скоростью движения волиы и скоростью наблюдателя, то полученная формула дает величину скорости волн для неподвижного наблюдателя А. Закон изменения частоты находится не сложнее, чем в предыдущем случае (рис. 179). Отрезок ОА отсекает столько волн v (v — частота в системе А ), сколько их отсекает отрезок ОВ (v hu) без числа волн, пересекающих отрезок ВА по В А нересекает столько же волн, сколько их пересекает ОК, т. е. i(sh и os а) волн. Стало быть [c.334]

Обычно движение волчка изображают посредством кривой, которую описывает так называемый апекс, под которым понимают конец единичного вектора, отложенного от начала координат в положительном направлении подвижной оси г. Траектория апекса является сферической кривой, и полярные координаты ее точек совпадают с углами Эйлера 0 и ф. Из предыдущего параграфа видно, что траектория апекса лежит между окружностями 01 = ar os Ui и 02 = ar os ti2, причем 0 обра- [c.189]

Таким образом, мы получили полную картину движения быстрого волчка, ось которого вначале неподвижна. Мы видим, что сразу после того, как ось его освобождается, он начинает опускаться под действием силы тяжести. Но, начиная опускаться, волчок приобретает прецессионную скорость, прямо пропорциональную величине его опускания, что заставляет его ось двигаться не вниз, а вбок. При этом, кроме прецессии, появляется также нутация оси волчка, которая носит периодический характер. С увеличением начальной скорости волчка амплитуда нутации быстро уменьшается, а частота нутации увеличивается. Прецессионное движение волчка вокруг вертикали становится при этом более медленным. Практически нутация достаточно быстрого волчка сильно демпфируется трением в опоре. Поэтому [c.193]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...