Изоэнергетическая редукция

Изоэнергетическая редукция фиксируем постоянную энергии и рассматриваем окрестность замкнутой траектории на 2п — 1-мерном многообразии уровня энергии как расширенное фазовое пространство системы сп — 1 степенью свободы, периодически зависящей от времени. [c.355]

Тем не менее общая проблема с ге = 2 степенями свободы несомненно проще для анализа, чем система с /г 2 3 степенями свободы. Действительно, с одной стороны, можно заменить при любом ге в аналитическом случае с помощью изоэнергетической редукции (см. 181) 2ге-мерное фазовое пространство (2ге —1)-мерным многообразием. С другой стороны, теория получающегося 3-мерного многообразия, хотя и достаточно сложна в своих деталях, если не исключать никаких топологически допустимых многообразий, но все же в настоящее время не столь безнадежно недоступна, как соответствующая теория при и > 2. [c.200]

В силу (25) 232 эта система удовлетворяет условию несжимаемости, приведенному в 122. Так как (13) получено из (9i) в результате изоэнергетической редукции, то из 81 видно, что F представляет собой для (13) инвариантное множество. Последнее же замечание в 498 позволяет сделать вывод, что все решения можно рассматривать как неограниченно продолжаемые в смысле, указанном в 119. Поэтому F является для уравнений [c.471]

При изоэнергетической редукции гамильтоновых систем [118 и регуляризации уравнений [34] применяется преобразование независимой переменной в гамильтоновых системах. Следуя [34], мы называем правило преобразования леммой Уинтнера 0. [c.221]

Эти общие соображения С. А. Довбыш применил к известной задаче о вращении несимметричного твердого тела с неподвижной точкой в слабом однородном поле силы тяжести. Малым параметром здесь служит произведение массы тела на расстояние от центра масс до точки подвеса. Факторизацией по группе вращений вокруг вертикали задача сводится к гамильтоновой системе с двумя степенями свободы. Фиксируя еще положительное значение постоянной интеграла энергии и применяя метод Уиттекера изоэнергетической редукции, уравнения движения можно привести к гамильтоновым уравнениям с 3/2 степенями свободы и периодическим по новой переменной времени гамильтонианом рассмотренного выше типа (все детали можно найти в книге [83]). В этой задаче диаграмма сепаратрис невозмущенной задачи Эйлера (в несимметричном случае) имеет вид, изображенный на рис. 29 (точки и 2з совпадают, так как фазовым пространством системы является цилиндр, а не плоскость). Особенностью этой задачи является совпадение характеристических чисел для гиперболических положений равновесия и 2. Выделим сепатрисы Г1, Гг и Гз, как показано на рис. 29. [c.290]

Так как, по предположению, гамильтониан имеет нормальную форму, то он не зависит от соответственно / — интеграл задачи. Сделаем изоэнергетическую редукцию на уровне энергии Я=А (см. [6]), в качестве нового времени введем фазу х- Получим приведенную систему с одной степенью свободы, гамильтониан которой зависит от параметра А. Ее фазовый портрет и надо исследсшать. В случае общего положения портрет существенно зависит еще от одного параметра — резонансной расстройки б = 1(й1-1-Л2<й2- [c.275]

Теперь сделаем изоэнергетическую редукцию (см. [6]), выбрав на уровне энергии H = h в качестве нового времени фазу ф (обозначать ее теперь будем t). Гамильтониан задачи примет вид F = F(z, t, Л). При Л = 0 начало координат — положение равновесия системы. Предположим, что оно невырождено (все мультипликаторы отличны от нуля вырожденный случай рассмотрен в п. 4.3). Тогда при малых h система также иыеет невырожденное равновесие. Гладкой по параметру за-ыенон переменных можно перенести это равновесие в начало координат. Гамильтониан примет вид [c.282]

При решении задачи об устойчивости будем использовать подход, который применен А. Д. Брюно, в работах [10, 14]. В этих работах, в отличие от классической постановки задачи об устойчивости периодических движений автономных гамильтоновых систем, значение постоянной энергии не фиксируется, а она может изменяться в некотором интервале. Тем самым не используется понижение числа степеней свободы гамильтоновой системы, как это делается при изоэнергетической редукции. Такой подход позволяет исследовать полную окрестность периодического движения, используя канонические преобразования, а в окрестности периодического движения можно ввести такие локальные координаты, что гамильтониан возмуш енного движения будет иметь нормальную форму, аналогичную нормальной форме в окрестности положения равновесия. Таким образом, задача об орбитальной устойчивости периодических движений сводится к задаче об устойчивости по Ляпунову по отношению к локальным координатам. [c.209]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...