Кватернионы

Обращаем внимание читателей, что это относится к сложению угловых скоростей, но не конечных вращений. Сложение вращений происходит не по правилам векторного исчисления, а по правилам введенного Гамильтоном исчисления кватернионов. Результат сложения двух конечных поворотов зависит от их последовательности и их нельзя менять местами. [c.210]

Множество кватернионов — это пространство П линейных комбинаций вида [c.110]

Принимается, что кватернионы, у которых Ь = с = d — О, коммутируют при умножении со всеми остальными кватернионами. [c.110]

Сопоставим каждому кватерниону Ь унитарную матрицу <3(Ь), полагая [c.110]

Тем самым установлен изоморфизм пространств унитарных матриц и кватернионов. [c.110]

Лемма 2.8.1. Пусть Ьх и Ьз — два кватерниона. Тогда справедливо равенство [c.111]

Таким образом, матрицы Р(1), <ЭУ), <Э(к) при умножении подчиняются тем же правилам, что и соответствующие им кватернионы. Зависимость же между матрицами д и кватернионами взаимно однозначна и линейна. [c.111]

Доказательство. Первое равенство с очевидностью следует из определения кватерниона. Для доказательства второго равенства заметим, что (5(Ь) = <Р (Ь), и воспользуемся взаимно однозначным соответствием элементов пространства 11 (2) и кватернионов [c.111]

Нормой кватерниона h = а Ч- 61 Ч- j -Ь dk называется величина h > О, определенная равенством [c.111]

Для каждого отличного от нуля кватерниона h имеем h О и существует обратный кватернион [c.111]

Множество кватернионов с нормой, равной единице, обозначим Til- Если h G то h = h. Очевидно, что множество ii есть группа по умножению. Эта группа изоморфна группе SU 2). Изоморфизм устанавливается с помощью равенств [c.112]

Пусть Tio — трехмерное пространство кватернионов х, удовлетворяющих условию [c.112]

Поскольку параметры Эйлера служат коэффициентами кватернионов из Hi, теорема 2.6.2 и теорема 2.6.3 дают возможность найти оператор А 50(3) по заданному кватерниону и обратно найти кватернион, описывающий то же движение, что и заданный оператор А е 50(3). [c.112]

Заметим, что коэффициенты кватерниона из Н, задающего преобразование X —> Z в соответствии с теоремой 2.8.2, называются параметрами Родрига-Гамильтона. Видим, что по смыслу параметры Эйлера и параметры Родрига-Гамильтона совпадают. [c.112]

Пример 2.8.1. Воспользовавшись последним замечанием, легко устанавливаем связь между углами Эйлера и соответствующим кватернионом. Точно так же, как в теореме 2.7.5, этот кватернион можно представить в виде h = h,/, о h,) о h, , где [c.113]

Найти кватернион к Н по кардановым углам. [c.151]

Другая группа свободных от вырождения кинематических уравнений получается с помощью кватернионов (см. 2.15) [c.450]

Пусть Ь = a+Ьi+ j -[c.476]

Чтобы получить кинематические уравнения для а(1) и d t), введем кватернион (см. 2.15) [c.476]

Воспользуемся правилом умножения для кватернионов [c.476]

Скалярные величины первого и второго рода. Скаляром называют, обобщая уже встречавшееся заимствованное из теории кватернионов выражение, всякую величину, определяемую одним- [c.50]

Карданов подвес 198 Карно закон потери энергии при неупругом ударе 44, 48 Квант действия Планка 243, 312 Квантовые числа 312 Кватернионов исчисление 161 [c.364]

Автор благодарен дирекции Университетского издательства в Торонто, которая предоставила ему возможность дополнить свою книгу этим материалом, относящимся к одному из наиболее поразительных открытий человеческого гения. В этой главе в очень сжатой форме, но последовательно изложены все основные идеи, принципы и результаты Эйнштейна, относящиеся к кинематике и динамике одной частицы. Общая теория преобразований Лоренца изложена при помощи гамильтоновых кватернионов. Они так удачно подходят для этой цели, что вряд ли найдется другой математический аппарат, столь же простой и компактный. Уравнения поля общей теории относительности, естественно, не вошли в эту книгу, однако здесь подробно рассматриваются динамические аспекты гравитационной теории Эйнштейна, в том числе три решающих эксперимента по проверке теории, поскольку они не выходят за рамки лагранжевой и гамильтоновой форм динамики. [c.14]

Хотя в то время, когда Гамильтон создавал свою теорию кватернионов, идея о четырехмерной вселенной была еще не известна, его кватернионы исключительно удобны [c.344]

ДЛЯ изучения общих свойств произвольного преобразования Лоренца. Кватернион Гамильтона определяется как гипер-комплексное число вида [c.345]

Кватернион может быть интерпретирован как вектор в пространстве четырех измерений (4-вектор). На языке кватернионов может быть записан ряд свойств электромагнитного поля (например, уравнения Максвелла) . Однако [c.345]

Ввиду наличия у поворотов групповых свойств произведение кватернионов [c.346]

Предположим теперь, что кватернионы А и В имеют комплексные коэффициенты. Комплексно сопряженную [c.346]

Использование углов Эйлера или кардановых углов не встречает принципиальных затруднений, когда углы элементарных поворотов задаются в зависимости от времени и требуется указать, в какое положение переходит твердое тело. Однако необходимость вычисления тригонометрических функций этих углов делает расчеты по определению матрицы оператора поворота не всегда эффективными. В ряде задач предпочтительным оказывается описание углового движения твердого тела с помощью параметров Эйлера, параметров Кэли-Клейна или кватернионов. [c.96]

Пусть задан кватернион Ь = а -Ь 61 - - j - - к. Сопрямсенньш к нему называется кватернион [c.111]

Теорема 2.15.2. Параметры Кэли-Клейна и кватернионы подчиняются кинематическим уравнениям [c.138]

Доказательство. По определению Р = 2QQ. Чтобы получить кинематическое уравнение для параметров Кэли-Клейна, достаточно справа умножить это равенство на матрицу Q/2. Далее, матрице Q соответствует кватернион Ь, а матрице Рп — кватернион Ьц. Матричное и кватернионное кинематические уравнения изоморфны. Кинематические уравнения для параметров Эйлера получаются путем сравнения коэффициентов при одинаковых базисных матрицах Е, <71, (72, <7з В соотношении [c.138]

Касательная к траектории, 77 Квазикоординаты, 422 Квазискорости, 422 Квазиускорения, 422 Кватернион сопряженный, 111 Класс эквивалентности, 25 Колебания гармонические, 214 Количество движения, 160, 190, 380 [c.707]

Умножение в общем случае не коммутативно (АВфВА), но обладает свойством ассоциативности. За исключением коммутативного свойства умножения, все остальные правила обычной алгебры сохраняются, в том числе и невозможность деления на нуль. Введем сопряженный кватернион [c.345]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...