Сепаратриса

I = о, находим уравнение сепаратрисы [c.36]

Оказывается, что для выяснения качественной картины для системы второго порядка нужно знать поведение не всех траекторий, а лишь некоторых из них, называемых особыми траекториями. К последним относятся состояния равновесия, предельные циклы и незамкнутые траектории, у которых хотя бы одна полутраектория (т. е. кривая, описываемая изображающей точкой при t +00 или при — XD из начального положения точки в момент времени t = о) является сепаратрисой какого-нибудь состояния равновесия. Если взаимное расположение этих особых траекторий известно и, кроме того, определена устойчивость состояний равновесия и предельных циклов, то мы получаем полную качественную картину разбиения плоскости ху на траектории. [c.42]

Итак, если известны все состояния равновесия, предельные циклы и их характер, а также расположение сепаратрис, то это позволяет полностью установить топологическую структуру всех ячеек и их взаимное расположение, т. е. полностью выяснить структуру разбиения фазовой плоскости на траектории. [c.43]

Итак, в грубой системе существуют лишь такие состояния равновесия, для которых А О и для которых а Ф О, если А > 0 лишь такие предельные циклы, для которых ft =5 0 лишь такие сепаратрисы, которые не идут из седла в седло. Эти условия накладывают ограничения и на типы ячеек, возможных в грубых системах [I, 2]. [c.45]

О, г/ = 1 типа центра. Для значений С на интервале —V3 < С < О фазовые траектории представляют собой замкнутые кривые, охватывающие центр, и для значений С > О — замкнутые кривые, охватывающие фазовый цилиндр. Интегральная кривая, соответствующая значению С = О, разделяет эти два типа замкнутых траекторий. Она состоит из сепаратрис седловых особых точек 0 = л/2, = О и 0 = —л/2, у = О, определяемых уравнением у = О, —л/2 0 л/2 и / = 3 os 0. Разбиение фазового цилиндра на траектории приведено на рис. 3.14, где изображена развертка цилиндра па плоскость. Траектории движения планера, соответствующие различным типам фазовых траекторий, показаны на рис. 3.15. [c.63]

Рассмотрим теперь поведение сепаратрис. [c.165]

Для О < р- < 2 сепаратрисы порождаются лишь состоянием равновесия, расположенным на оси V. Интересующий нас ус седла, выходя из этого состояния равновесия, [c.165]

Для случая <2 сепаратрисы порождаются [c.165]

На сепаратрисах седел Я = 0. В каждой из областей, на которые сепаратрисы разбивают плоскость, знаки Я указаны на рис. 7.98. [c.353]

Отметим, что это пересечение сепаратрис не может быть обнаружено асимптотическими методами ни в каком приближении, так как, согласно [41], приближение асимптотического метода состоит в замене исследования точечного отображения 2Я рассмотрением отображения сдвига некоторой автономной системы. Отсюда следует и то, что ширина коридоров рис. 7.101, а при ц —О менее любой степени ц. [c.354]

На рис. 7. ПО изображены последовательные стадии перехода через общие бифуркации от обычного синхронизма к стохастическому. При переходе от рис. а к б происходит смена узла на фокус. Затем (рис. 7. ПО, в) фокус меняет устойчивость, и от него рождается устойчивый предельный цикл. Одновременно происходит сближение сепаратрис седла 5Г и 5i и соответственно 52 и So. После этого (рис. 7. ПО, г) сепаратрисы пересекаются, причем вместе с пересечением сепаратрис 5а и 52 происходит исчезновение устойчивого предельного цикла. [c.364]

На рис. 7.117 изображено с сепаратрисой, идущей из седла в седло. [c.369]

Фазовые траектории, близкие к седлу и сепаратрисам, порождают точечные отображения Т и L отрезка М в /V и отрезка Л в М соответственно. На рис. 7,118 изображены диаграммы точечных отображений Т н L при = 0. Поведение графика отображения Т в точке = О зависит от сед ловой величины а, равной о = ехр (а + ji), где а и Р — характеристические корни седлового равновесия О -. [c.369]

Пусть ц Я О и / — отрезок прямой, ортогонально пересекающий сепаратрису Si в некоторой точке М, близкой к седловой точке О . Отображение Т л. преобразует [c.371]

Примем, что это расстояние положительно или отрицательно в зависимости от того, по какую сторону от сепаратрисы [c.371]

Величины и р определяют взаимное расположение сепаратрис S и 5 . Именно, при р+ = р" О сепаратрисы S" и 5 совпадают. При р Зг р > О они расположены [c.372]

Перейдем к дальнейшему исследованию точечного отображения Гзя- При fx = О в окрестности петли сепаратрис Sr = Si оно было изучено. При этом изучение свелось к рассмотрению преобразования прямой в прямую. [c.373]

В области между кривыми р = О и = О (рис. 7.124) сепаратрис-ные кривые пересекаются, образуя гомоклиническую структуру. Отображение T jt в этом случае рассматривалось ранее в 4. [c.373]

СЕПАРАТРИСА-кривая на фазовой плоскости, разделяющая области различного характера движения. [c.65]

Определение 3.9.2. Фазовые кривые, соответствующие случаю 3, называются сепаратрисами. [c.230]

Фазовая кривая представляет собой сепаратрису, имеющую характерный вид "восьмерки на рис. 3.13.1. Допустимая область изменения угла р имеет вид [c.279]

Получаются замкнутые фазовые кривые, охватывающие сепаратрису, имеющую вид "восьмерки" (рис. 3.13.1). [c.279]

Видим, что подкоренное выражение существенно положительно. Получается сепаратриса, аналогичная сепаратрисе математического маятника, проходящей через точки ( —тг,0), (тг.О) (см. рис. 3.9 10). [c.280]

Если угловая скорость вращения кольца превосходит циклическую частоту маятника, то положение равновесия в начале координат перестает быть устойчивым. Вместо него возникают два других устойчивых положения равновесия у т и у 2. отделенных друг от друга сепаратрисой, проходящей через начало координат. Сепаратриса, проходящая через точки ж и — 7Г, сохраняется. [c.280]

Полный фазовый портрет получается периодическим продолжением найденных фрагментов фазовых кривых на всю ось Видим, что возможные движения рассматриваемой системы существенно зависят от значения параметра р. Если р > 1 (угловая скорость О вращения кольца невелика сравнительно с циклической частотой и> маятника), то фазовый портрет системы аналогичен фазовому портрету математического маятника. Если р < 1 (угловая скорость вращения кольца больше циклической частоты маятника), то фазовый портрет системы приобретает существенные отличия от фазового портрета математического маятника прежние устойчивые положения равновесия становятся неустойчивыми, появляются новые устойчивые положения равновесия с соответствующей перестройкой фазового портрета и добавлением новых сепаратрис Такое явление можно интерпретировать как катастрофу качественной картины поведения системы при прохождении параметра р через значение 7 = 1. О [c.280]

В областях /о, / , / и т. д. между волнами косинусоид сепаратрисы расположены замкнутые фазовые траектории, соответствующие периодическим колебательным движениям. Эти траектории, определяемые уравнением (29), пересекают ось ф в точках с абсциссами [c.495]

Периодические движения в консервативной системе отличаются той особенностью, что они никогда не бывают изолированными. Это связано с тем, что если при некотором значении произвольной постоянной в интеграле движения мы имеем замкнутую фазовую траекторию, то в силу непрерывной зависимости решения дифференциальных уравнений от начальных условий и при близких значениях этой постоянной фазовые траектории будут оставаться замкнутыми. Таким образом, замкнутые траектории образуют континуум, заполняя целые области двумерного фазового пространства. При этом возможны два случая в первом случае замкнутые траектории, вложенные одна в другую, стягиваются либо к особой точке типа центра, либо к сепаратрисам седловых особых точек. В случае, когда фазовое пространство представляет собою цилиндрическую поверхность, замкнутые траектории могут охватывать фазовый цилиР1др. [c.29]

Наконец, последний тип бифуркации проиллюстрирован на рис. 3.5, где показан случай рождения устойчивого предельного цикла из петли сепаратрисы седла. Пусть сепаратрисы седла при некотором значении X имеют расположение, представленное на рис. 3.5, а. Предположим, что при увеличении параметра X ветви сепаратрисы сближаются и при некотором значении Х == Яц сливаются, образуя петлю (рис. 3.5, б). Если при дальнейшем увеличе-1И1И X сепаратрисы седла вновь разделяются так, как показано на рис. 3.5, б, то из петли рождается предельный цикл. Значение А. = в этом случае является бифуркационным. [c.52]

На рис. 7.61 — 7.63 изображены преобразования, также допускающие применение теоремы 7..3 и естественно порождаемые фазовыми траекториями диф( зеренциальных уравнений третьего порядка. На рис. 7.61 области Gj, G. и Gg представляют последовательные преобразования области G,,. Такого рода отображение возникает при пересечении сепаратрис седловой неподвижной точки и будет рассмотрено в следующем параграфе. Иа рис. 7,62 изображено отображение кольца в кольцо. Jlpn этом области G и а преобразуются соответственно в G н а. Наличие изображенного на рис. 7.62 пересечения областей а и а говорит о многозначности вспомогательного отображения, наличии бесконечного числа различных седловых кратных неподвижных [c.312]

Допустим, что значению h = О соответствуют сепаратрисы седла, имеющие вид восьмерки, изображенной на рис. 7.72 тогда близкие к этой восьмерке фазовые траек- грии ведут себя, как показано на том же рис. 7.72. При [c.332]

Пусть со не меняется и не происходит бифуркаций слияния неподвижных точек. Тогда возможные изменения будут состоять только в изменениях неподвижных точек и расположениях сепаратрисных кривых. При этом седло-вые точки должны оставаться седловыми. А узлы могут переходить в фокусы и обратно. Фокус может сменить устойчивость, и при этом от него отделится либо обычный, либо стохастический синхронизм. При смене взаимного расположения сепаратрис может произойти возникновение стохастического синхронизма. Эта бифуркация в суженном виде будет в дальнеЙ1ием рассмотрена отдельно. Сейчас же ограничимся ее изображением на рис. 7. ПО. [c.364]

Бифуркация от сепаратрисы седла. Перейдем к рассмотрению малого неавтономного возмущения автономной системы с сепаратрисой, идущей из седла в него же. Предварительно опишем бифуркацию, возникающую при малом автономном возмущении, изученную в работах А. А. Андронова и Е. А. Леонтович [5]. [c.369]

Теперь рассмотрим, что произойдет при неавтономном возмущении сепаратрисы, идущей из седла в седло. В этом случае следует заменить рассмотрение фазовых траекторий д-ифференциальных уравнений рассмотрением инвариантных кривых точечного отображения плоскости т = О в себя [c.370]

Сепаратрисы отделяют два принципиально различных типа движения системы в случаях 2 и 4. В окрестности по.пожений равновесия при [c.230]

Таким образом, из начала координат выходит бесконечное множество интегральных кривых (отличающихся значением onst в (107,12)). Все эти кривые входят затем в узел h или узел с — за исключением лишь одной, входящей в седловую точку а (одна из двух сепаратрис — единственных интегральных кривых, проходящих через седло) ). [c.567]

Основы теоретической механики (2000) -- [ c.230 ]

Теоретическая механика (1990) -- [ c.152 ]

Теоретическая механика (1999) -- [ c.183 ]

Прикладная механика твердого деформируемого тела Том 3 (1981) -- [ c.76 ]

Курс теоретической механики Том2 Изд2 (1979) -- [ c.521 ]

Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике (1995) -- [ c.254 ]

Курс лекций по теоретической механике (2001) -- [ c.252 ]

Динамика твёрдого тела (2001) -- [ c.57 , c.90 , c.95 , c.128 ]

Регулярная и стохастическая динамика (0) -- [ c.39 , c.41 , c.42 , c.49 , c.61 , c.64 , c.67 , c.73 , c.128 , c.191 , c.197 , c.200 , c.206 , c.234 , c.237 , c.267 ]

Введение в теорию колебаний и волн (1999) -- [ c.24 , c.276 , c.319 , c.519 ]

Динамические системы-1 (1985) -- [ c.229 ]

Динамические системы-3 (1985) -- [ c.172 , c.231 ]

Теория колебаний (0) -- [ c.118 , c.419 ]

Колебания Введение в исследование колебательных систем (1982) -- [ c.23 , c.54 , c.56 ]

Теория колебаний (2004) -- [ c.485 , c.488 , c.489 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...