Число вращения

Важнейшей характеристикой такого точечного отображения является его число вращения р.. В случае, когда преобразование окружности на себя представляет собою вращение на угол а, число вращения р равно а/2я. В общем случае число вращения определяется как предел [c.295]

Дальнейшим важным фактом является непрерывная зависимость числа вращения р, от параметров, от которых само отображение зависит непрерывно. [c.295]

Пусть число вращения 0. Тогда точечное отображение не имеет простых неподвижных точек и его гра([5ик имеет вид, представленный на рис. 7.40. На следующем рис. 7.41 приведены диаграммы для степенен этого отображения, [c.296]

Вращения у зависит от со, как показано на рис. 7.97. Эта зависимость непрерывная и кусочно-постоянная. Каждому отрезку постоянства числа вращения у соответствует синхронизм порядка piq с некоторой областью захвата (м, 65) по частоте и собственных колебаний автономной системы. Если бы фиксировать частоту ш и менять частоту <щ внешнего воздействия, которая была до этого равна единице, то характер зависимости числа вращения Пуанкаре у от Иц будет такой же, как и от со. [c.352]

Вернемся к вопросу о переходе обычного синхронизма в стохастический при общем непрерывном изменении параметров. Прежде всего заметим, что для обоих синхронизмов существенной характеристикой является число вращения со. [c.364]

При дальнейшем изменении параметров после бифуркации слияния седел с узлами происходит быстрая смена различных качественных картинок разбиения. После этого быстрого мельтешения снова на более или менее длительном интервале изменения параметров может установиться устойчивый синхронизм. Характер этой смены достаточно сложен. Для простого синхронизма он определяется зависимостью числа вращения Пуанкаре от параметров. Каждому рациональному значению числа вращения соответствует. некоторый интервал по параметру существования устойчивого синхронизма. Между любыми такими интервалами существует бесчисленное множество других, причем между каждой парой этих других в свою очередь такое же бесчисленное множество. Сказанное в какой-то мере отображается рис. 7.115, где интервалам на оси параметра отвечают области существования устойчивого синхронизма с числом вращения у = piq, где р q — целые числа. [c.366]

Подведем некоторый итог. Ради определенности пусть для рассматриваемого нами седлового равновесия при Li = О и X = О седловая величина ст < 1. Тогда при возрастании X вдоль оси j, = О появится устойчивый предельный цикл с некоторой областью притяжения. Исходя из точки X > О, J, = О, будем увеличивать ц. При этом предельный цикл превратится сначала в устойчивый обычный синхронизм. Затем он трансформируется в стохастический синхронизм. При этом область притяжения предельного цикла последовательно будет переходить в область притяжения обычного и стохастического синхронизмов и затем по пересечению границы р = О в область притяжения какого-то нового установившегося движения. Структура разбиения плоскости параметров р, в окрестности точки Л = х = О очень сложная. Достаточно заметить, что при монотонном изменении Я в сторону возрастания вдоль оси j, = О число вращения 7 монотонно убывает от значения ) у = оо. Сказанное основывается на предположении об общем характере бифуркаций и полученных ранее сведениях о точечном отображении Гзя, согласно которым между [c.376]

Таким образом, мы приходим к следующей теореме если твердое тело одновременно участвует в двух вращательных движениях вокруг осей, пересекающихся в одной точке О, то составное движение тела будет мгновенным вращением вокруг мгновенной оси, проходящей через точку О, причем мгновенная угловая скорость этого вращения равна геометрической сумме составляющих угловых скоростей. Совершенно ясно, что если твердое тело одновременно участвует в любом конечном числе вращений вокруг мгновенных осей, пересекающихся в данной точке О, с угловыми скоростями ( 1, ша,. .., ш , то составное движение будет в данный момент также вращением вокруг мгновенной оси, проходящей через точку О, с мгновенной угловой скоростью [c.421]

Бифуркации в исходном семействе существенно сложнее. Гомеоморфная окружности инвариантная кривая действительно рождается, но не является гладкой. Ограничение диффеоморфизма на нее не обязательно эквивалентно повороту. Число вращения диффеоморфизма на инвариантной кривой зависит от параметра и стремится к со/2л, когда параметр стремится к критическому значению 0. [c.47]

Эта теорема следует из топологической инвариантности числа вращения для диффеоморфизма окружности. [c.47]

Нелокальные бифуркации в однопараметрических семействах диффеоморфизмов. Число вращения диффеоморфизма семейства (4) на его инвариантной кривой меняется с измене- [c.47]

Представляет большой интерес выяснение сценариев перехода от периодического режима, отвечающего наличию устойчивого цикла на торе, к режиму непериодических колебаний, которому может соответствовать странный аттрактор. Это важно, в первую очередь, потому, что численное и лабораторное или даже натурное исследование большого количества физических и других задач (течение Куэтта, конвекция в плоском слое жидкости, генерация колебаний и радиотехнических и СВЧ генераторах и т. д.) показывает, что возникновение стохастических колебаний при разрушении двумерного тора, на котором число вращения рационально, — широко распространенное явление. Прежде, чем инвариантный тор разрушится, он должен потерять гладкость, оставаясь еще некоторое время топологическим подмногообразием фазового пространства. Способы потери удобно демонстрировать на примере отображения кольца в себя, которое при начальных значениях параметров имеет гладкую инвариантную кривую. Конкретный вид отображения здесь несуществен, например, оно может быть таким, как в [34], или [c.49]

Для векторного поля класса С, г 2, непрерывно зависящего от , интервалы постоянства числа вращения могут соответствовать как рациональным, так и иррациональным значениям (о кроме того, некоторым рациональным значениям могут не-соответствовать интервалы постоянства . [c.104]

Напомним, что рациональному числу вращения соответствует поле с циклом. [c.104]

Рис. 37. График зависимости числа вращения от параметра

Замечание. Знание зависимости числа вращения от параметра позволяет указать все бифуркации, осуществляющиеся при изменении е, за исключением, быть может, бифуркаций, происходящих при постоянном рациональном числе вращения, т. е. бифуркаций слияния и исчезновения (или возникновения) циклов при условии, что некоторые другие циклы при этом сохраняются (см. также п. 7.1). [c.105]

В случае 2) после рождения тора почти для любого однопараметрического семейства векторных полей при изменении параметра число вращения меняется, следовательно, происходит бесконечное множество бифуркаций. Однако есть семейства, для которых при изменении параметра число вращения на торе не меняется — бифуркационная поверхность может быть и достижимой. [c.123]

В случае (Зс) недостижимость связана с изменением числа вращения на возникшем торе, а в случае (ЗЬ) — с возникновением точек простого касания устойчивых и неустойчивых многообразий гиперболических циклов на бутылке Клейна и далеких положений равновесия или циклов. [c.124]

Если для некоторой системы на есть глобальная секущая, — компактная трансверсаль ко всем траекториям системы,— то можно ввести число вращения Пуанкаре, иррациональному значению которого соответствует наличие незамкнутой устойчивой по Пуассону траектории. По теореме Биркгофа (см., например, [91]) в замыкании незамкнутой устойчивой по Пуассону траектории содержится континуальное множество незамкнутых устойчивых по Пуассону траекторий, каждая из которых всюду плотна в нем. Таким образом, если система имеет иррациональное число вращения, то ее неблуждающее множество содержит бесконечное множество траекторий. [c.149]

Для любого однопараметрического семейства -гладких, r l, векторных полей на Т , непрерывно зависящих от параметра и обладающих при каждом его значении глобальной секущей, число вращения непрерывно зависит от параметра. Если оно изменяется, то неминуемо принимает иррациональные значения. Следовательно, системы с бесконечным неблуждающим множеством встречаются неустранимым образом в однопараметрических семействах векторных полей, обладающих разными числами вращения хотя бы для двух значений параметра. [c.149]

Для общего двухпараметрического семейства векторных полей, в котором происходит рождение двумерного тора из цикла с мультипликатором е , ф О, я, 2я/3, л/2, можно показать, что бифуркационная кривая, отвечающая в этом семействе векторным полям с некоторым фиксированным иррациональным числом вращения, будет гомеоморфным и, как вытекает из [18] для почти всех чисел вращения, диффеоморфным образом отрезка. Может ли теряться гладкость этой кривой для некоторых (иррациональных) чисел вращения, неизвестно. [c.150]

Тот факт, что произвольное число вращений и поступательных движений, приложенных к твердому телу, сообщают его различным точкам такие же скорости, как и винтовое движение, находит свое настоящее объяснение в теореме, согласно которой в наиболее общем движении твердого тела скорости в каждое мгновение будут такими же, как в винтовом дви.жении. Это нам и предстоит доказать. [c.70]

Итак, если поперечное сечение имеет такую форму, что полное обкатывание его нейтральной линией можно представить как конечное число положений касательной, в каждом из которых она имеет не менее двух общих точек с контуром и равное ему число вращений относительно точек пересечения, соответствующих соседних по ходу обкатки касательных, то ядро сечения строится так. Находятся точки границы ядра, соответствующие [c.308]

В случае произвольного числа вращений вокруг параллельных осей их угловые скорости складывают последовательно. [c.391]

Более подробную информацию о перестройках в системе при изменении параметра связи даёт т. н. дьявольская лестница — график зависимости числа вращения системы на торе я. От параметра связи. [Число вращения — это предел отношения фаз бывших независимыми при 7 = 0 колебаний парциальных генераторов 1 = итф(()(ф( )1. [c.527]

Итак, если тело совершает вращения вокруг двух пересекающихся осей, то результирующее движение есть вращение около мгновенной оси с угловой скоростью, равной геометрической сумме угловых скоростей двух вращений. Этот результат легко обобщается на случай большего числа вращений если твердое тело одновременно участвует в п вращениях [c.222]

Глобальные бифуркации систем с глобальной секущей на торе. Исследование потоков на торе с глобальной секущей сводится к исследованию диффеоморфизмов окружности (являющихся отображениями последования). Здесь основной характеристикой, определяющей топологическую структуру, является число вращения Пуанкаре. Оно же характеризует глобальные - бифуркации, осуществляющиеся при изменении параметра. [c.104]

В [82] было отмечено, что зависимость числа вращения от параметра может описываться канторовской функцией. [c.104]

Тогда 1) число вращения со(е) диффеоморфизма /е—канторов-ская функция, не убывающая при dhldeyO и не возрастающая при дЬ1де<0 2) каждое свое рациональное значение функция со принимает на некотором интервале 3) функция ш строго возрастает при dhldsyO (строго убьшает при й/< е<0) на множестве тех значений г, которым соответствуют иррациональные значения (о. [c.105]

Естественно предположить, что невоспроизводимость вольт-амперной характеристики объясняется наличием бесконечного предельного множества (и, в частности, счетного множества устойчивых предельных циклов с различными областями существования по параметру р), содержащего траектории с разными числами вращения фазы . [c.148]

Предположим теперь, что для некоторого векторного поля на число вращения рационально. Если векторное поле — общего положения, на то имеется четное число предельных циклов, половина устойчивых, половина неустойчивых. Число вращения может измениться только после того, как эти циклы перестанут существовать. Их исчезновение связано с прохождением мультипликаторов через +1. Таким образом, векторное поле с бесконечным неблуждающим множеством (и с глобаль- [c.149]

Бифуркации двумерного тора. Предположим, что поток /с , скажем, при 0 8<е, является системой Морса—Смейла и имеет притягивающий инвариантный двумерный тор Те. Предположим, что при 0 8<е на торе существует глобальная секущая. В этом случае число вращения рационально, на Те имеется четное число предельных циклов, половина из которых устойчивы, половина — неустойчивы (седловые по отношению ко всему фазовому пространству), и Т образован замыканием неустойчивых многообразий этих седловых циклов. Предположим также, что е -бифуркационное значение параметра, и при 8 = 8 осуществляется бифуркация коразмерности 1—одна из рассмотренных выше. Следовательно, это либо бифуркация одного из предельных циклов, лежащих при е<е на Т , либо бифуркация, связанная с образованием гомо- и гетероклиниче-ской траектории на неустойчивом многообразии одного из седловых циклов. [c.161]

Произвольное число вращений. Пусть тело 5х совершает вращение Ах х и с ним связаны ось А5М2 и тело 52, которое совершает относительно 5х вращение С телом 5г связаны ось и тело 5з, совершающее относительно 52 вращение ыд, и т. д. до тела 5 , совершающего относительно 5и-х вращение [c.68]

Вне полосы захвата в. зависнмости от свойств автогенератора и характера воздействия могут наблюдаться след, типы колебаний а) иериодич. колебания, напр. при близости частот и (p/q)(-0 , где р, q — целые числа их образы в фазовом пространстве — предельные циклы, расположенные ири слабом воздействии на торе с числом вращения, равным д/р б) кваянпернО дич. колебания, их образ в фазовом пространство — незамкнутая обмотка тора, нанр. при несоизмеримых а )б при слабом воздействии в) стохастические колебания, их образ в фазовом пространстве — либо ст.рапный аттрактор, либо сложные устойчивые траектории. [c.59]

Явление, при к-ром для нек-рого интервала значений I Шц—ршц I (при р> 1) происходят периодич. колебания с частотой ш , наз. ультрагармоническим 3. ч. Образ этого явления в фазовом пространстве есть предельный цикл периода 2л/о)д с р оборотами в плоскости (а , х). Число вращения иа торе при слабом воздействии в том случае равно i/p. Если автоколебат, система описывается ур-нием (1), где нелинейность / и внеш. сила h малы, то это ур-нис с помощью ас шп- [c.59]

Зависвыость числа вращения от величины параметра вязи имеет вид непрерывно [c.527]

Тот факт, что модули упругости не обязательно уменьшаются с ростом температуры, как было указано Вертгеймом, можно видеть из исследований Фрэнка Хортона 1905 г. (Horton [1905, 1]), посвященных изменению модуля крутильной жесткости кварцевых волокон в области температур от 20 до 1000°С. Повторяя эксперименты с крутильным маятником Кулона 120-летней давности (1784 г.) с кварцевыми волокнами диаметром 0,001 см, которые использовались с той же целью, что и в опытах Кулона, поскольку они являются почти универсальными в качестве подвесок в крутильных установках, когда требуется высокая точность (там же, стр. 401), Хортон добавил только две новые детали к исходным экспериментам. Во-первых, частоты колебаний, используемые для вычисления значений модуля упругости, он определял, применяя новый метод измерения времени путем синхронизации, предложенный профессором Пойнтингом , и, во-вторых, добился важной для эксперимента точности в 0,01% при определении радиуса волокна, прокатывая малый отрезок его между двумя тонкими стеклянными капиллярными трубками и подсчитывая число вращений, необходимых для прохождения дистанции в 5 мм. [c.470]

Аналогичные рассуждения применимы и к трехмерному интегральному тору и приводят к его бифуркациям как целого типов Л +1 и ]У 1. Однако теперь уже с ростом размерности все большую роль могут приобрести изменения на самом торе. Эти изменения уже сами по себе могут вызывать хаотизацию и стохастизацию движений при сохранении тора как устойчивого многообразия. В случае двумерного тора они не могут хаотизи-ровать движения на торе, но могут привести к его разрушению. К таким бифуркациям следует отнести слияние и последующее исчезновение устойчивого и неустойчивого периодических движений на торе (Л +1). Эта бифуркация будет рассмотрена в следующей гл. 6. Следует иметь в виду, что она не всегда ведет к разрушению тора все может ограничиться изменением числа вращения Пуанкаре фазовых траекторий на торе. Разрушение тора могут быть следствием бифуркации отдельных периодических движений на нем типов N-1 и Это Относится прежде всего к случаям, когда испытывающее бифуркацию периодическое движение не покрывает тор достаточно густо. Бифуркация типа может привести к последующему образованию гомоклинической структуры через касание интегральных многообразий 5 и 8 седловых движений, ранее лежавших на торе. [c.123]

Введение в современную теорию динамических систем Ч.1 (1999) -- [ c.391 , c.427 , c.429 ]

Регулярная и стохастическая динамика (0) -- [ c.179 , c.180 , c.241 , c.256 , c.281 ]

Динамические системы-1 (1985) -- [ c.232 ]

Динамические системы-3 (1985) -- [ c.164 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...