Множество вековое

Таким образом, мы видим, что каждый элемент в возмущенном движении будет состоять из бесчисленного множества вековых (когда = 0), периодических (когда 2 = 0) и смешанных неравенств. Следовательно, общее выражение для любого элемента представится формулой вида [c.648]

Определение 1. Вековым множеством системы с гамильтонианом (1.1) называется множество всех пар [Ь, Ь) -О, удовлетворяющих следующим условиям [c.15]

Под вековым множеством мы будем понимать также множество всех резонансных торов в фазовом пространстве невозмущенной задачи, отвечающих переменным действие / [c.15]

Теорема 1 является обобщением известного результата А. Пуанкаре о несуществовании аналитических интегралов канонических систем [1, гл. V 2, гл. XIV] в случае, когда вековое множество задачи не всюду плотно в области В. Распространение этой теоремы на системы с большим числом степеней свободы не представляет затруднений. [c.16]

У канонической системы с функцией Гамильтона (1.1) в общем случае вековое множество всюду плотно в D. По теореме 1 у таких систем, вообще говоря, не существует, кроме интеграла энергии, дополнительного интеграла, аналитического по каноническим переменным и параметру л. [c.25]

Определение 3. Вековым множеством ёМ системы с гамильтонианом (3.1) называется множество всех импульсов [c.26]

Вековое множество системы с полным гамильтонианом 5S тоже описывается достаточно просто [c.29]

Соотношения (3.9) и (3.10) позволяют описать вековое множество М. Оно состоит из точек 1 = 11 таких, что [c.30]

Другими словами, М состоит из проекций на ось /1 точек пересечения линии уровня I Жо 1) = Ь с аналитическими кривыми, составляющими вековое множество системы с гамильтонианом (1.1). [c.30]

Вековое множество рассматриваемой задачи состоит из тех значений I, при которых пш - - г/ = О и Н п,1 = = Н п,-1 Ф О- Нетрудно показать, что бесконечно много коэффициентов Я д(7) = Н-п,-1 1) отличны от нуля. Обозначим через 1с значение переменной действие, соответствующей движению по сепаратрисам. Так как [c.32]

Структура векового множества [c.55]

Согласно определению 1 1 главы 1 вековым множеством системы с гамильтонианом Жо + цЖх называется множество точек I = [II, /2) е Д°, удовлетворяющих условиям [c.56]

Структура векового множества 57 [c.57]

Структура векового множества 59 [c.59]

Задача о существовании дополнительного интеграла уравнений вращения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, аналитического по каноническим переменным и параметру (л, впервые поставлена А. Пуанкаре в п. 86 его Новых методов небесной механики . Анализируя разложение возмущающей функции, А. Пуанкаре показал, что (в нашей терминологии) вековое множество не является всюду плотным, и, следовательно, его общая теорема об отсутствии новых аналитических интегралов не применима ...ничто не препятствует существованию третьего однозначного интеграла, если только якобиан трех интегралов обращается в нуль, как только п [у нас и , В. К.) становится кратным п [у нас и)1, В. К.)] отсюда следует, что этот третий интеграл не может в общем случае быть алгебраическим. [c.72]

Замечание. Можно указать примеры канонических систем дифференциальных уравнений, мало отличающихся от интегрируемых, для которых вековое множество ёё не совпадает с множеством 9 резонансных торов невозмущенной задачи и которые удовлетворяют теореме А. Пуанкаре о рождении изолированных периодических решений. [c.94]

Согласно теореме 3 вековое множество совпадает с множеством 9 резонансных торов задачи Эйлера-Пуансо, которые удовлетворяют условиям теоремы Пуанкаре о рождении изолированных периодических решений. Ниже будет показано, что как раз рождение большого числа невырожденных периодических решений уравнений движения несимметричного тяжелого твердого тела с неподвижной точкой несовместимо с интегрируемостью этой задачи. [c.97]

В дальнейшем анализе важную роль играет вековое множество В С О — множество точек Е О, для которых [c.123]

По существу, вековое множество — это множество тех торов невозмущенной интегрируемой задачи, которые распадаются при добавлении возмущения порядка е. В типичной ситуации В всюду плотно в 0 с этим связана хорошо известная трудность — появление малых делителей , препятствующих не только сходимости, но даже формальному построению рядов классической схемы теории возмущений. [c.123]

В дальнейшем анализе важную роль играет множество Пуанкаре Р, С К" = у , которое является аналогом векового множества из 10 гл. П. По определению множество Пуанкаре состоит из тех точек у Е К" , для которых найдутся такие т — з линейно независимых целочисленных векторов а,а, .., 2", что [c.179]

Оказывается [149]. при условиях (2.4) такого интеграла нет. Заметим, что при /] = 13 возмущенная задача вполне интегрируема (это снова задача Лагранжа), а при гз = О имеются интегрируемые задачи Ковалевской (Д = 2/з) и Горячева—Чаплыгина (/1 = 4/з, постоянная интеграла площадей равна нулю). Задача о наличии дополнительного интеграла при гз = О значительно сложнее здесь вековое множество В уже не обладает ключевым свойством. [c.190]

Основная лемма. Пусть а и/3—вершины множества Д, удовлетворяющие условию (5.3). Тогда множество содержит гиперплоскость ка+/3, у) = 0. В частности, вековое множество Р состоит из бесконечного числа различных гиперплоскостей, и его замыкание содержит гиперплоскость (а, у) = 0. [c.203]

Следствие 3.1. Если инвариантное множество относительных равновесий устойчиво в вековом смысле, то соответствуюш ее инвариантное множество стационарных движений также устойчиво в вековом смысле. [c.86]

Следствие 3.2. Условия вековой устойчивости невырожденных ( V ,a (Mo) Ф 0) тривиальных инвариантных множеств стационарных движений и относительных равновесий всегда совпадают. [c.87]

Сделанные предположения относительно функции R и тот факт, что А =т = О, дают нам возможность воспользоваться теоремой В. И. Арнольда [3] об устойчивости канонических систем. Из этой теоремы следует, что для всех начальных условий из рассматриваемой области, за исключением, быть может, некоторого множества малой вместе с меры, элементы L, G, Н можно представить сходяш,имися тригонометрическими рядами. Следовательно, почти для всех начальных условий элементы L, G, Н будут изменяться в ограниченных пределах и тем самым почти все орбиты спутника будут устойчивыми по Лагранжу, ибо область пространства, где происходит движение спутника, полностью определяется элементами L, G, Н. Эта область, ограниченная двумя эллипсоидами и гиперболоидами (см. 2.7), будет лишь пульсировать со временем, а не расширяться или сужаться вековым образом ). [c.125]

Иногда каждый член формулы (12.112") называют возмущением первого порядка, и в таком случае говорят, что полное возмущение первого порядка состоит из векового возмущения и из бесчисленного множества периодических возмущений ). [c.648]

Но в случае, когда средние движения соизмеримы, в выражении для (4г) будет присутствовать бесчисленное множество членов, не зависящих от времени, в результате чего в возмущении первого порядка большой полуоси появится вековой член, и теорема Лапласа не имеет в этом случае места. [c.653]

Таким образом, возмущение первого порядка любого элемента (13.5 ) состоит из векового неравенства и из бесчисленного множества периодических неравенств, разделяющихся на короткопериодические и долгопериодические. [c.673]

Таким образом, па множестве 1рез(Т) асимптотическая теория возмущений представляется формулами с вековыми членами, т. е. формулами вида (54), а на множестве /пер(Т )—формулами вида (55). [c.113]

Теорема 2. Пусть система с гамильтонианом Жо невырождена, т.е. д Жо/дР фО. Пусть вековое множество ёМ задачи с функцией Гамильтона (3.1) является ключевым множеством для класса А 1, I"). Тогда система с гамильтонианом (3.1) не имеет интеграла, 1, (р, I, л), аналитического в области , I") х Т <р, I тоё 2тг х (- , е). [c.26]

Если невозмущенная система с функцией Гамильтона 5 о 1) невырождена, и вековое множество полной системы имеет предельные точки внутри интервала (/, I"), то согласно теореме 2 пониженная система канонических уравнений с гамильтонианом (3.8) не имеет аналитического и аналитически зависящего от параметра /х первого интеграла, 2тг-пе-риодического по переменным <р, t. Другими словами, в этом случае исходная автономная система с функцией Гамильтона (1.1) не имеет частного аналитического интеграла при фиксированном значении постоянной энергии h. Невырожденность невозмущенной системы d S o/dP 0) означает геометрически, что линия уровня 7 G С Жо 1) = h не есть прямая. [c.29]

Напомним ( 1, гл. I), что вековым множеством мы называем также множество резонансных торов в фазовом пространстве невозмущенной задачи, отвечающих значениям переменных действие / SS. Опишем это множество, используя специальные канонические переменные L, G, I, g (значение интеграла площадей Н = onst зафиксировано). [c.59]

Так как задача Эйлера-Пуансо невырождена (теорема 3 гл. II), функция не зависит от р. Согласно лемме Пуанкаре ( 1 гл. I), функции Жо и. о зависимы на множестве С Д° С Д°. Вековое множество не является всюду плотным в Д° (теорема 1). Это обстоятельство не позволило А. Пуанкаре на основании доказанных им общих теорем заключить, что рассматриваемая задача не имеет аналитических интегралов, отличных от классических [1, п. 86]. [c.62]

Обозначим через (и X) мно-Д С жество точек / Д°, удовлетворяющих условиям = и и / Й (5 — вековое множество). Пусть Р принадлежит некоторому Вп, а на-г+Т / чальные фазы = (<р°, (р ) = О-Рассмотрим на комплексной плоскости i С замкнутый контур Г — границу прямоугольника АВСВ (см. рис. 13). Здесь а = тгК /К, Т = 27г/о 1. Число т выберем так, чтобы мероморфные функции [c.116]

Пусть I = Р е — вековое множество), ip = 0. Рассмотрим на комплексной плоскос- щ ---С [c.121]

Согласно определению векового множества коэффициенты Н-п,1 = Нп,-1 отличны от нуля, поэтому комплексносопряженные интегралы ai и стг тоже не равны нулю. Предположим, что J] = 0. Тогда равенство (5.6) дает [c.124]

Отметим в заключение, что вековое множество задачи о вращении тяжелого несимметричного твердого тела вокруг неподвижной точки играет важную роль при доказательстве отсутствия действительного аналитического интеграла (гл. III), при исследовании рождения изолированных периодических решений ( 2 гл. IV) и, наконец, при решении задачи Пенлеве о ветвлении решений и несуществовании однозначных интегралов ( 3-4 гл. V). Это позволяет с разных сторон рассмотреть классическую задачу об интегрируемости уравнений динамики твердого тела. [c.129]

Для множеств Пуанкаре имеют место включения Ро С Р1 С С Рг С. .. С Рп-1 С В, где В — вековое множество, введенное в 10 гл. П. Ясно, что для ге1Мильтоновых систем в общем случае множество Ро состоит из изолированных точек. [c.183]

Итак, возмущение первого порядка каждого элемента оску- тирующей эллиптической орбиты состоит из постоянного неравенства, векового неравенства и бесчисленного множества периодических неравенств. [c.647]

Разумеется, при практических применениях теории возмуще-1П1Й невозможно вычислять бесчисленное множество членов, образующих возмущения даже только первого порядка. Поэтому на практике из всего бесчисленного множества неравенств рассматривают и учитывают только некоторые и представляют возмущение первого порядка каждого элемента в виде суммы векового неравенства и нескольких периодических, амплитуды которых являются наиболее ощутительными. [c.673]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...