Аналитический интеграл

Лемма 4. Пусть д Жо/дР 0. Предположим, что у системы с функцией Гамильтона (3.1) существует аналитический интеграл [c.26]

Задача о несуществовании нового аналитического интеграла [c.61]

Теорема 2. В области D х X ( 1, г) X T g mod 2тг х (-е, е) нет аналитического интеграла канонических уравнений с гамильтонианом (3.1), независимого от интеграла энергии (3.1) и аналитического по параметру [c.63]

Следствие 1. В фазовом пространстве переменных L, I, G, g нет аналитического интеграла приведенной системы канонических уравнений движения несимметричного тяжелого твердого тела с неподвижной точкой, независимого от интеграла энергии Ж, 2тг-периодического по угловым переменным I, g и аналитического по параметру л в окрестности значения fj, = 0. [c.63]

Замечание 2. Теорема 1 фактически утверждает, что канонические уравнения задачи о вращении тяжелого несимметричного твердого тела с неподвижной точкой не допускают, кроме интегралов энергии и площадей, третьего аналитического интеграла, находящегося в инволюции с интегралом площадей. Последнее условие можно отбросить, но это потребует более громоздкого доказательства (ср. с [1, п. 86]). [c.67]

Следствие 2. Если тело несимметрично и центр тяжести не лежит в точке подвеса, то уравнения Эйлера-Пуассона задачи о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки не имеют четвертого аналитического интеграла, независимого от классических. [c.69]

Следствие 3. Если А > В > С и х +у +г" ф О, то уравнения Эйлера-Пуассона (4.1) с потенциалом (4.2) не имеют нового аналитического интеграла, независимого от классических. [c.70]

Следствие 4. Если А > В > С и хотя бы один из интегралов (4.4) отличен от нуля, то уравнения Эйлера-Пуассона задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки в ньютоновском поле сил не имеют дополнительного аналитического интеграла, независимого от классических. [c.71]

Теория рождения периодических решений в канонических системах дифференциальных уравнений, близких к интегрируемым, была разработана А. Пуанкаре для целей небесной механики. В данной главе устанавливается применимость этих результатов к классической задаче о движении тяжелого твердого тела с закрепленной точкой. Тем самым удается существенно расширить класс известных периодических решений. В этой же главе исследовано воздействие возмущения на сепаратрисы неустойчивых периодических решений задачи Эйлера-Пуансо — постоянных вращений вокруг средней оси эллипсоида инерции. Сложное поведение траекторий уравнений движения несимметричного тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки (в частности, рождение многочисленных изолированных периодических решений и расщепление сепаратрис) несовместимо с существованием нового независимого аналитического интеграла. [c.74]

Принципиальной основой доказательства несуществования нового аналитического интеграла является лемма Пуанкаре ( 1, гл. I) если [c.97]

Исследования Ковалевской, Ляпунова и других авторов в динамике твердого тела показали, что общее решение уравнений движения представляется однозначными функциями времени только в классических случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской, как раз тогда, когда существует дополнительный однозначный интеграл. Долгое время оставалось неясным, является ли это обстоятельство случайным совпадением, или же в его основе лежат какие-либо глубокие причины. В этой главе методом малого параметра Пуанкаре доказано, чго именно существование бесконечного числа неоднозначных решений препятствует появлению нового однозначного аналитического интеграла в общем случае. [c.107]

Теорема 2. Если род поверхности М не равен О и 1, то при всех Н > тах V поток на Eh не имеет непостоянного аналитического интеграла. [c.135]

Как уже отмечалось в п. 4 1 гл. И, для движений по инерции вопрос о существовании аналитического интеграла сводится к вопросу о существовании интеграла в виде однородного полинома по [c.139]

Следствие 1. Предположим, что на двумерном аналитическом торе имеется замкнутая геодезическая, гомотопная нулю. Тогда геодезический поток, порожденный метрикой на Т , не имеет непостоянного аналитического интеграла. [c.142]

Теорема 4 [27]. Существует такой потенциал V ньютоновского тина с особенностями в точках гх,..., г , что гамильтонова система с гамильтонианом Н = Т + У имеет дополнительный аналитический интеграл, квадратичный но импульсам, причем [c.145]

Этот результат усиливает теорему 3 из 1, которая при тех же предположениях гарантирует отсутствие дополнительного аналитического интеграла, независимого от интеграла энергии. Действительно, как было отмечено в 3 гл. П, каждый интеграл уравнений Гамильтона порождает гамильтоново поле симметрий. Более того, полям симметрий могут отвечать многозначные интегралы (напомним, что под многозначной функцией на М мы понимаем замкнутую 1-форму [c.194]

Теорема 1 . Пусть выполнены условия теоремы 11. Если гамильтонова система (4.1) имеет п—1 аналитический интеграл [c.198]

Теорема 3. Пусть а и (3 — векторы из Д, удовлетворяющие условиям теоремы 2. Если гамильтонова система с гамильтонианом Но -Ь еНу имеет гг — 1 однозначный аналитический интеграл [c.203]

Здесь e — эксцентриситет орбиты смысл остальных параметров разъяснен в п. 3 4 гл. I. При е = О будем снова иметь интегрируемую задачу о колебаниях обычного маятника. Пусть 1хф Q. Тогда, как показано в [36], одна из пар сепаратрис невозмущенной задачи расщепляется, и поэтому при достаточно малых значениях е > О уравнение (3.3) не имеет аналитического интеграла, 2тг-периоди-ческого по и г . [c.268]

Пусть Fo — аналитический интеграл задачи Эйлера. Если несобственный интеграл [c.280]

Теорема 2. При а = агф аз дополнительный аналитический интеграл уравнений (4.1) существует лишь в случае Кирхгофа (Ьх = Ь2, С1 = Сг). [c.285]

Теорема 4 [91]. Уравнения (4.11) имеют дополнительный аналитический интеграл в том и только том случае, когда твердое тело динамически симметрично. [c.287]

Следствие, В предположениях теоремы 1 гамильтонова система не допускает аналитического интеграла, независимого от функции Я, [c.297]

До сих пор неизвестно, имеются ли в топологическом пространстве (Н, Т) такие точки, что некоторые их окрестности состоят только из гамильтонианов с расходящимися преобразованиями Биркгофа. Отметим еще одну нерешенную задачу верно ли, что гамильтоновы системы, допускающие дополнительный аналитический интеграл, образуют в Н подмножество первой категории Бэра в топологии Т По-видимому, это утверждение истинно. [c.317]

Почему в последней формуле мы не ограничились одним лоренцианом Дело в том, что точное выражение для функции Гз(о ) должно стремиться к нулю при малых частотах (см. рис. 2.1), а лоренциан стремится к константе. Кроме того, с помощью функции (11.102) можно вычислить аналитически интеграл в формуле (11.73), описывающей Дэ. Вычисление дает результат [c.158]

Если невозмущенная система с функцией Гамильтона 5 о 1) невырождена, и вековое множество полной системы имеет предельные точки внутри интервала (/, I"), то согласно теореме 2 пониженная система канонических уравнений с гамильтонианом (3.8) не имеет аналитического и аналитически зависящего от параметра /х первого интеграла, 2тг-пе-риодического по переменным <р, t. Другими словами, в этом случае исходная автономная система с функцией Гамильтона (1.1) не имеет частного аналитического интеграла при фиксированном значении постоянной энергии h. Невырожденность невозмущенной системы d S o/dP 0) означает геометрически, что линия уровня 7 G С Жо 1) = h не есть прямая. [c.29]

Теорема 3. Если А > В > С и форма Ух невырождена т.е. 1 0), то уравнения (4.1) не имеют в области /5 С К четвертого аналитического интеграла, не зависящего от классических интегралов энергии, площадей и геометрического. [c.69]

Отметим в заключение, что вековое множество задачи о вращении тяжелого несимметричного твердого тела вокруг неподвижной точки играет важную роль при доказательстве отсутствия действительного аналитического интеграла (гл. III), при исследовании рождения изолированных периодических решений ( 2 гл. IV) и, наконец, при решении задачи Пенлеве о ветвлении решений и несуществовании однозначных интегралов ( 3-4 гл. V). Это позволяет с разных сторон рассмотреть классическую задачу об интегрируемости уравнений динамики твердого тела. [c.129]

Теорема 1. Пусть М —геодезически выпуклое подмногообразие с отрицательной эйлеровой характеристикой. Тогда геодезический поток на Е не имеет непостоянного аналитического интеграла. Более того, аналитический интеграл заведомо отсутствует в каждой окрестности множества Е в Е. [c.142]

Следствие 2. Предположим, что геолезические 71,72,73 не пересекаются и каждую из них можно продеформировать в точку, не пересекая при этом двух других геодезических. Тогда уравнения геодезических на 8 не имеют дополнительного аналитического интеграла. [c.143]

В ограниченной задаче трех тел известны более слабые результаты о неинтегрируемости. Пуанкаре доказал отсутствие дополнительных интегралов, аналитических по массам / 1 и / г тяжелых точек [225]. Либре и Симо [216], используя метод квазислучайных движений по В. М. Алексееву, доказали несуществование нового аналитического интеграла при условии, что масса одного из тел мала. Кроме этого, известен результат К. Зигеля [229] об отсутствии новых алгебраических первых интегралов это утверждение доказывается методом Брунса. По-видимому, ограниченная задача трех тел не допускает полиномиальных по импульсам первых интегралов, независимых от интеграла энергии. [c.147]

В этом случае х(Л/) = О, особых точек нет. Форма гироскопических сил / равна —adx Л dy. Следовательно, при а О выполнено условие (4.2). Поэтому уравнения (4.3) не допускают полиномиальных интегралов с однозначными коэффициентами, незгшиси-мых от интеграла энергии. Очевидные линейные интегралы х- -+ ау, у— ах многозначны в фазовом пространстве ТМ = х Т . Функция sin(y-Ь /а)—однозначный аналитический интеграл, не являющийся полиномом по X. [c.148]

Предположим, что система (2.1) допускает аналитический интеграл Г. Пусть / — ограничение функции F на тт. Ввиду регулярности тг, функция / аналитична на тт. Хорошо известно, что функция Г постоянна на траекториях 71 и 72, а также на асимптотических поверхностях и Aj, следовательно, постоянна на множестве (2.2). Поскольку это множество ключевое, то / = onst на поверхности тт. Варьируя поверхность тг, получим, что Г = onst на всем многообразии М. [c.262]

Доказательство теоремы 3 в идейном отношении сходно с доказательством теоремы 4, однако сложнее технически из-за возможной расходимости преобразования Биркгофа. Здесь существенно используется тот факт, что преобразование Биркгофа сходится на асимптотических многообразиях (см. И гл. II). Подробное доказательство теоремы 3 содержится в работе [28]. Там же указан ее автономный вариант. Пусть невозмущенная система с гамильтонианом Но имеет аналитический интеграл Fq, причем все интегральные кривые гамильтонова поля замкнуты (примером может служить квадрат модуля кинетического момента твердого тела в задаче Эйлера). Предположим, что при малых е возмущенная гамильтонова система с гамильтонианом Н = Но + Н + + о е) имеет две гиперболические траектории, и 7I, соединенные двоякоасимптотической траекторией 7e(i), гладко зависящей от е. В [28] доказано, что если несобственный интеграл Jqo (в (1-3) надо положить г = j = 0) отличен от нуля, то при достаточно малых е ф О система с гамильтонианом Н не имеет полного набора инволютивных аналитических интегралов на поверхности уровня = h, где h = Н )е)- Доказательство основано на сведении (при помощи интеграла Fo) гамильтоновой системы к неавтономной с периодическим гамильтонианом. Было бы интересно выяснить, следует ли из условий теоремы 3 несуществование п аналитических коммутирующих векторных полей у возмущенной гамильтоновой системы. [c.267]

Ввиду квазиоднородности гамильтониана (3.10) точно такая же картина трансверсальных сепаратрис имеется на всех энергетических поверхностях с положительным значением полной энергии. В качестве следствия получаем, что уравнения (3.11) не имеют дополнительного аналитического интеграла. Этот результат был получен ранее в работе С. Л. Зиглина [64] с использованием анализа ветвления решений системы (3.11) в плоскости комплексного времени. На самом деле из трансверсальности пересечения сепаратрис вытекает существенно более сильное утверждение об отсутствии нетривиального аналитического поля симметрий гамильтоновой системы (3.11). [c.275]

При В = О независимый аналитический интеграл существует лишь в случае, когда С = diag( l,сг, сз) и [c.280]

Задача об интегрируемости уравнений (4.1) при ах = 2 существенно сложнее. Выше уже отмечалось, что из наличия аналитического интеграла уравнений (4.1) вытекает наличие интеграла в виде однородного многочлена по переменным т, р. Это простое наблюдение позволяет применить к рассматриваемой задаче метод Гюссона, с помощью которого была решена задача о дополнительном алгебраическом интеграле уравнений вращения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой (историю вопроса и изложение метода Гюссона можно найти в [113] см. также [14]). Такая задача рассмотрена С. Т. Садэтовым [148] в предположении [c.285]

Итак, рассмотрим симмет1)ичный случай А= В. Положим а = = А/С. Зафиксируем положительную постоянную интеграла (е, е) и будем менять значение интеграла площадей 1и,е) = с. Если уравнения (3.3) имеют дополнительный аналитический интеграл, независимый от классических, то гамильтоновы уравнения редуцированной системы допускают интеграл, независимый от интег1 ала энергии и аналитический но параметру с. [c.323]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...