Уравнения Эйлера—Пуассона

Для интегрирования системы дифференциальных уравнений Эйлера — Пуассона необходимо найти шесть первых интегралов данной системы, т. е. шесть соотношений вида [c.456]

Уравнения Эйлера — Пуассона имеют три первых интеграла при любых (допустимых для твердого тела) параметрах J , Jу, Jг, с, Ус, Zq, при любых начальных данных движения 7ю> Тао. Vao. [c.456]

На основании теории интегрирования дифференциальных уравнений доказано, что для интегрирования системы уравнений Эйлера — Пуассона в квадратурах необходимо иметь четыре первых интеграла [3]. [c.457]

Система уравнений Эйлера — Пуассона настолько трудна для ее решения, что для самого общего случая, когда величины J , ]у, Jг, Хс Ус, 2с произвольные, найдено мало даже частных решений по отношению к начальным данным движения. Только при дополнительных условиях для моментов инерции и положения центра тяжести найдены три общих решения, т. е. справедливых при любых начальных данных. Остальные найденные решения являются частными, так как они удовлетворяют уравнениям движения только при определенных начальных условиях движения. [c.457]

На практике проще всего выбирать функцию /(У ) в виде /.(У )=У . В этом случае уравнение Эйлера—Пуассона имеет вид [c.71]

Дифференциальное уравнение Эйлера—Пуассона для функционала (11.118) имеет следующий вид [c.72]

При заданной внешней нагрузке эта работа должна иметь минимальное значение. Условие минимума функционала (2) можно записать в виде уравнений Эйлера-Пуассона [c.38]

Эти уравнения называются уравнениями Эйлера-Пуассона. Они имеют три первых интеграла интеграл энергии [c.68]

Уравнения Эйлера-Пуассона определены в К = = д, г X К 71, 72, 7з . Пусть Е — некоторая окрест- [c.69]

Следствие 2. Если тело несимметрично и центр тяжести не лежит в точке подвеса, то уравнения Эйлера-Пуассона задачи о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки не имеют четвертого аналитического интеграла, независимого от классических. [c.69]

Следствие 3. Если А > В > С и х +у +г" ф О, то уравнения Эйлера-Пуассона (4.1) с потенциалом (4.2) не имеют нового аналитического интеграла, независимого от классических. [c.70]

Следствие 4. Если А > В > С и хотя бы один из интегралов (4.4) отличен от нуля, то уравнения Эйлера-Пуассона задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки в ньютоновском поле сил не имеют дополнительного аналитического интеграла, независимого от классических. [c.71]

Отысканию периодических решений уравнений движения быстро вращающегося тела с помощью метода малого параметра посвящены работы Ю. А. Архангельского и его учеников см. обзорную статью [37]). В этих работах в уравнения Эйлера - Пуассона вводится малый параметр е = где с — постоянная, зависящая от начального положения тела, а шо — начальная угловая скорость вращения вокруг большей или меньшей осей инерции. Уравнения движения при этом приобретают вид системы двух квазилинейных уравнений второго порядка, аналитически зависящих от параметра е. Если = О то есть о о = оо), то решения этой системы не имеют механического смысла, а при малых е ф О они представляют быстрое вращение твердого тела. [c.106]

Переменные Эйлера-Пуассона р, , г, 71, 72, 73 для симметрии формул будем всюду обозначать соответственно через Ж1, Ж2,. .., Жб. Уравнения Эйлера-Пуассона в случае Горячева-Чаплыгина можно привести к виду [30] [c.152]

Обозначим через E Ii, I2) совместные уровни четырех интегралов (2.1) в шестимерном фазовом пространстве уравнений Эйлера-Пуассона. Всюду ниже рассматриваются только такие постоянные интегралов Ii и I2, при которых функции (2.1) независимы на E Ii, I2). В частности, исключаются случаи, когда = I2 = 0. Остальные постоянные образуют множество нулевой меры. Если интегралы (2.1) независимы, то — гладкое двумерное многообразие. На Е естественным образом возникает классическая динамическая система [6] Е, gE, сг), где — сужение на многообразие Е однопараметрической группы сдвигов по траекториям уравнений Эйлера-Пуассона, [c.152]

Сначала исследуем топологические свойства многообразия Е. На Е нет особых точек системы дифференциальных уравнений Эйлера-Пуассона. Действительно, особые точки отвечают стационарным вращениям (или относительным равновесиям) тела. Нетрудно проверить, однако, что на этих решениях интегралы энергии и момента зависимы. А такие случаи здесь условились не рассматривать. [c.153]

Перейдем к вычислению инвариантов динамических систем, возникающих на (з — чисел вращения касательных векторных полей, которые индуцируются уравнениями Эйлера-Пуассона. [c.203]

Если поле осесимметрично V зависит, скажем, лишь от 7), то из (3.1), (3.2) получаем замкнутую систему уравнений Эйлера — Пуассона [c.34]

Предположим, что тело вращается в однородном поле силы тяжести. Пусть е — масса тела, г — радиус-вектор его центра масс в подвижном пространстве. В этой задаче V = е(г,7), и уравнения Эйлера — Пуассона (З. З) имеют вид [c.34]

По форме уравнения (4.15) имеют вид уравнений Эйлера — Пуассона задачи о движении твердого тела в силовом поле с потенциа- [c.46]

Например, если /, —однородные многочлены степени m > 1, то в (9.23) можно положить =. .. = = . Но тогда, ввиду (9.24), д = 1/(т - 1), что является целым лишь при m = 2. Итак, уравнения с квадратичными правыми частями допускают группу подобий вида (9.23). Важным примером служат уравнения Эйлера— Пуанкаре на алгебрах Ли. Более сложный пример доставляют уравнения (9.15) они допускают группу t —> t/a, щ —> ащ, Vk —> a Vk. Сходный пример — уравнения Эйлера—Пуассона, описывающие вращение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. [c.120]

Поскольку поведение расщепленных сепаратрис устойчиво относительно малых изменений параметров, то при малых значениях ц > О уравнения Эйлера — Пуассона будут также иметь гиперболическую периодическую траекторию с пересекающимися асимптотическими поверхностями. Согласно теореме 1 из 2, это не совместимо с наличием дополнительного интеграла и нетривиальной группы симметрий. Отметим, что при fi = 1 и fi = 2 уравнения Эйлера — Пуассона интегрируемы (случай полной динамической симметрии и случай Ковалевской). [c.272]

Пусть В = 0. Тогда уравнения (4.1) можно представить в виде уравнений Эйлера—Пуассона [c.285]

Оно отвечает положению равновесия уравнений Эйлера — Пуассона. Равновесие (7.1) будет неустойчивым, если выполнено известное условие Маиевского с < 2. Уравнения в вариациях для [c.298]

V = (72, ) - Уравнения Эйлера-Пуассона имеют положение равновесия, принадлежащее неподвижному множеству М1 [c.138]

Пуассон показал, что уравнения движения тяжелого твердого тела записываются через вектор у в замечательно простом виде уравнений Эйлера — Пуассона [c.345]

Функция, сообщающая минимум функционалу (11.113), может быть найдена из дифференциального уравнения Эйлера— Пуассона, которое для дкнной задачи имеет вид [c.71]

Она покинула жизнь в расцвете творческих сил и таланта, незадолго до этого получив две крупные премии за открытие и исследование нового случая интегрируемости уравнений движения твердого тела вокруг неподвижной точки (уравнений Эйлера-Пуассона). Это — премия Бордена Французской Академии Наук (1888 г.) и премия Шведской Королевской Академии Наук (1889г.). Тем не менее, она так и не смогла добиться места в России, потому вынуждена была преподавать в одном из университетов Стокгольма, и только неожиданная смерть помешала ей окончательно получить шведское гражданство. [c.4]

В динамике твердого тела много результатов получил Д. Гриоли [18, 27]. Наиболее суш ественный из них относится к построению в 1947 г. нового решения уравнений Эйлера-Пуассона, характеризуюш,его регулярную прецессию тяжелого твердого тела относительно наклонной оси. [c.239]

Предположим, что существует новый интеграл a (p, д, г, 71,72,7з), аналитический в Е С R . Введем в уравнения Эйлера-Пуассона малый параметр заменяя 7 на jti7 . [c.71]

Докшевич A. И. Элементарное доказательство теоремы Лиувилля об алгебраических интегралах системы уравнений Эйлера-Пуассона. Механика твердого тела (респ. межведомств. сборник). Киев Наукова думка, 1974, вып. 6, с. 48-50. [c.233]

Докшевич А. И. Об условиях существования четвертого алгебраического интеграла уравнений Эйлера-Пуассона. Механика твердого тела (респ. межведомств. сборник). Киев Наукова думка, 1976, вып. 8, с. 57-64. [c.233]

Отметим, что уравнения Эйлера — Пуассона (3.3) можно записать в виде (3.15), если положить Н = (/ m,m)/2 + У р). Это замечание принадлежит В. А. Стеклову (1901 г.), указавшему, что задача Тиссерана является частным случаем задачи Кирхгофа. [c.40]

Уравнения движения в первых двух случаях подробно изучены с разных точек зрения в классических работах Эйлера, Пуансо, Лагранжа, Пуассона, Якоби. Случай Ковалевской нетривиален во многих отношениях. Он был найден Ковалевской из условия мероморфности решений уравнений Эйлера — Пуассона в комплексной плоскости времени. Случай Горячева — Чаплыгина намного проще его можно проинтегрировать с помощью разделения переменных. Покажем это. [c.89]

Матрица К и условие целочисленности ее собственных значений впервые появились в работах Ковалевской по динамике тяжелого твердого тела [73]. Иошида предложил назвать числа р ,..., р показателями Ковалевской. Если решения (9.28) мероморфны и ряды (9.28) бесконечны, то р 0. Исследования Ковалевской были дополнены и усилены Ляпуновым [118], показавшим, что решения уравнений Эйлера—Пуассона ветвятся во всех случая, исключая интегрируемые задачи Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. [c.122]

В заключение отметим еще одно важное применение теоремы 1, С. Л, Зиглин доказал, что дополнительный мероморфный интеграл уравнений Эйлера — Пуассона задачи о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой существует только в трех классических случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. Если зафиксировать нулевое значение постоянной площадей, то к этим случаям надо добавить еще случай Горячева—Чаплыгина. Этот результат также основан на анализе уравнений в вариациях для некоторых частных решений уравнений Эйлера — Пуассона [64]. [c.371]

Отметим, что вопрос об устойчивости прецессии Гриоли до сих пор остается открытым. Эта проблема решается приведением уравнений Эйлера-Пуассона к периодической обратимой системе второго поряд- [c.140]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...