Эллипсоид инерции

Однородный диск радиуса а и массы т катится без скольжения ио горизонтальной плоскости. Составить уравнения движения диска 1) в координатах хс, ус, 9, ф, ср, где Хс, Ус — координаты центра масс диска, 0, ф, ср — углы Эйлера, 2) в координатах х, у, 6, ф, ср, где X, у — координаты точки контакта диска с плоскостью, Ф> Ф — углы Эйлера (см. задачу 50.11) 3) в квазикоординатах р, у, г, являющихся проекциями вектора мгновенной угловой скорости вращения диска на главные оси центрального эллипсоида инерции А, С — главные центральные моменты инерции диска., [c.386]

ЭЛЛИПСОИД ИНЕРЦИИ. ГЛАВНЫЕ ОСИ И ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ [c.101]

Если за оси координат принять главные оси инерции (рис. 87, а), то в уравнении эллипсоида инерции исчезают члены, содержащие произведение координат, и оно принимает вид [c.102]

Эллипсоид инерции, соответствующий центру тяжести тела, называется центральным эллипсоидом инерции, а его оси симметрии — главными центральными осями инерции. [c.102]

Предположим, что координатная ось Ог — главная ось инерции в точке О, т. е. одна из осей симметрии эллипсоида инерции, а оси л и у—произвольные оси (рис. 88). Тогда кан<дой точке N х, у, г) эллипсоида инерции соответствует симметричная ей относительно оси Ог точка N (—x, —у, г). [c.103]

Что представляет собой эллипсоид инерции и какие оси называют главными осями инерции твердого тела в данной точке [c.116]

Как определить по эллипсоиду инерции, относительно какой оси из всех осей, проходящих через данную точку, момент инерции твердого тела имеет наибольшее значение [c.116]

Таким образом, геометрическим местом концов указанных отрезков, т. е. геометрическим местом точек N, является поверхность второго порядка. По самому построению длина отрезка ON на рис. V.4 отлична от нуля и ограничена, так как для любого конечного тела момент инерции У —величина, отличная от нуля и ограниченная. Среди поверхностей второго порядка ограничены лишь эллипсоиды (в частности, сферы). Следовательно, геометрическим местом точек N является эллипсоид i). Построенный так эллипсоид называется эллипсоидом инерции для точки О. Уравнение (29) является уравнением эллипсоида инерции для этой точки. Непосредственно видно, что задание тензора инерции однозначно задает эллипсоид инерции. [c.178]

Лишь в вырожденном случае стержня нулевого сечения (отрезка материальной прямой) относительно оси стержня Ji = 0 в этом случае эллипсоид инерции вырождается в круговой цилиндр с осью I. [c.178]

Подставляя выражения (31) в (30), получаем уравнение эллипсоида инерции в главных осях [c.179]

Сравнивая теперь уравнение эллипсоида инерции, записанное в главных осях в форме (32), и уравнение эллипсоида инерции (29), записанное в произвольно выбранных осях, заключаем, что в системе координат, оси которой направлены по главным осям эллипсоида инерции, центробежные моменты инерции равны нулю [c.179]

Таким образом, основная характеристика геометрии масс — тензор инерции тела — позволяет ввести две важные характеристики распределения масс тела по отношению к рассматриваемой точке пространства первой характеристикой является эллипсоид инерции, построенный в этой точке, второй— связанная с ним система главных осей инерции. При переходе от одной точки к другой, вообще говоря, меняются как эллипсоид инерции, так и направления глав-, ix осей. Разумеется, существует исключительный случай, когда главными осями инерции являются любые ортогональные оси, про Денные через рассматриваемую точку,— такой случай имеет место, когда эллипсоид инерции в точке является сферой. [c.179]

Если В некоторой точке можно указать три главные оси инерции такие, что через любые две из них нельзя провести плоскость, перпендикулярную третьей, то эллипсоид инерции для этой точки заведомо является сферой ). Иногда это можно обнаружить, используя настоящее замечание. [c.182]

Заметим, между прочим, что хотя моменты инерции куба относительно трех ребер, проходящих через его вершину, одинаковы, эллипсоид инерции для вершины куба заведомо отличен от сферы. Действительно, равные моменты инерции относительно трех указанных выше перпендикуляров, проведенных через центр куба, при переносе осей в вершину получают различные прира-ш,ения, и результируюш,ие моменты инерции будут разными. Читателю предлагается самому найти главные оси инерции для вершины куба. [c.183]

Направления векторов о и /Со совпадают лишь в том случае, когда вектор ы направлен вдоль одной из главных осей, например вдоль оси I (либо т), либо же Р, т. е. когда из трех проекций угловой скорости на эти оси две проекции равны нулю. Этот случай, разумеется, всегда имеет место, если эллипсоид инерции для неподвижной точки является сферой, т. е. если А = В = С, так как в случае, когда эллипсоид инерции — сфера, любая ось, проходящая через неподвижную точку, является главной осью инерции i). [c.187]

В случае Ковалевской на свойства симметрии накладываются еще более сильные ограничения, именно, требуется, чтобы А = = В = 2С. В этом случае внешней силой также является вес, однако центр тяжести может быть расположен где угодно в экваториальной плоскости эллипсоида инерции для неподвижной точки. [c.195]

Приступая к изучению движения твердого тела с неподвижной точкой по инерции (случай Эйлера), рассмотрим отдельно движение тела, у которого Аф В, и движение тела в случае, когда А В, т. е, когда эллипсоид инерции для неподвижной точки является эллипсоидом вращения. В случае А = В мы будем говорить, что тело обладает динамической симметрией. Динамическая симметрия всегда имеет место у однородных тел вращения, но может случиться, что тело не является телом вращения, однако А = В, т. е. имеет место динамическая симметрия. [c.195]

Рассмотрим эллипсоид инерции, построенный для неподвижной точки О (рис. V.10). Назовем мгновенным полюсом Р точку, в которой мгновенная ось пересекает этот эллипсоид инерции, обозначим через Гр радиус-вектор точки Р и положим [c.198]

Теперь покажем, что нормаль N к эллипсоиду инерции в точке Р параллельна вектору /Го- Для этого вычислим проекции вектора-градиента [c.199]

Из того, что нормаль к эллипсоиду инерции в точке Я параллельна вектору /Со, следует, что плоскость, касательная к эллипсоиду инерции в точке Р, перпендикулярна вектору Ко- Но выше было показано, что проекция вектора Гр на направление Ко не меняется. Это значит, что касательная к эллипсоиду инерции плоскость все время пересекает постоянный вектор Ко в одной и той же точке. [c.199]

Случай В (динамическая симметрия). Рассмотрим теперь частный случай, когда тело имеет ось динамической симметрии. Так как ось симметрии всегда является главной осью инерции, ясно, что одна из осей греческой системы должна быть направлена по оси симметрии. Направим по ней ось Z- Учитывая, что А = В, т. е. что эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения, из последнего уравнения системы (60) сразу получаем, что [c.200]

Для того чтобы вычислить это векторное произведение, введем систему координат с осями R и N (Л —прямая, перпендикулярная плоскости П, см. рис, V.14). Это —главные оси инерции, поскольку эллипсоид инерции представляет собой эллипсоид вращения. Пусть i, J п й —орты осей N, R п t соответственно тогда [c.204]

Моменты инерции и эллипсоид инерции. Момент инерции твердого тела относительно оси L, проходящей через данную точку, определяется формулой [c.243]

Эллипсоидом инерции в данной точке твердого тела называется геометрическое место точек, отстоящих от данной точки на [c.244]

Уравнение эллипсоида инерции в данной точке твердого тела имеет вид [c.244]

Через любую точку твердого тела можно провести пучок осей L и построить соответствующий эллипсоид инерции. [c.244]

Если координатные оси х, у и Z направить по осям эллипсоида инерции, то уравнение эллипсоида принимает каноническую форму [c.244]

Оси эллипсоида инерции в данной точке твердого тела называются главными осями инерции. Следовательно, в каждой точке твердого тела имеются три главные оси инерции, являющиеся осями соответствующего эллипсоида инерции. [c.244]

Если оси декартовых координат направить по главным осям инерции, т. е. по осям эллипсоида инерции в данной точке твердого тела, то, учитывая, что 1у = — — получим в данном случае [c.244]

Любая ОСЬ, не проходящая через центр тяжести твердого тела, является главной только в одной точке, т. е. ось является осью только того эллипсоида инерции, центр которого совпадает с данной точкой [c.245]

У,,,, J,. главные моменты инерции. Уравнение эллипсоида инерции (27 ) не содержи сла1аемых с произведениями коорди-паг ючек. Поэтому центробежные моменты инерции относительно главных осей инерции равны нулю, г. е. [c.226]

Если выбрать ось Ох в экваториальной плоскости эллипсоида инерции так, чтобы она лежала в плоскости осей Oz екции ю на подвижные координатные оси Oxyz, жестко скрепленные с гироскопом, имеем [c.518]

Гироскопический момент L совпадает с гироскопическим моментом, полученным по приближенной теории. Гироскопический MOMejn L" является поправкой к гироскопическому моменту L в случае точного вычисления кинетического момента при регулярной прецессии. Момент L" равен пулю, если Л = Л ( эллипсоид инерции является шаром), и при 0 = 90, т. е. когда ось гироскопа перпендикулярна оси прецессии. [c.520]

Каждой точке тела соответствует определенный эллипсоид инерции, который характеризует моменты инерции тела относительно всех осей, проходящих через данную точку. Действительно, имея эллипсоид инерции для некоторой точки О (рис. 87, б) по расстоянию OjVi от начала координат О до точки N, в которой какая-либо ось Vj пересекает эллипсоид инерции, можно определить момент инерции тела относительно этой оси по формуле (38.1) [c.102]

Эквипотенциальная поверхность 195 Эллипсоид инерции 101 Эн1ельс 158 Энергия [c.423]

Если эллипсоид инерции отличен от сферы и не является эллип-соидом вращения, то существует единственная система главных осей. При этих условиях в каждой точке пространства может быть указана единственная система осей, замечательная тем, что по отношению к этой системе центробежные моменты инерции равны нулю. Оси, удовлетворяющие этому условию, называются главными осями инерции тела для рассматриваемой точки, а моменты инерции относительно этих осей — главными моментами инерции. Главные оси инерции, проходящие через центр инерции тела, называются главными центральными осями инерции. [c.179]

Если эллипсоид инерции не является эллипсоидом вращения, то его главные оси взаимно перпендикулярны. У эллипсоида вращения ось вращения — одна из главных осей инерции, а остальные главные оси лежат в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Лищь в том случае, когда эллипсоид вращения— сфера и любая ось —главная, существуют такие три главные оси инерции, что плоскость, проходящая через любые две из них, не перпендикулярна третьей. [c.182]

Таким образом, начальные условия задают направление вектора Ко и плоскость, которая пересекает вектор Ко и касается эллипсоида инерции. При движении тела эллипсоид инерции также движется вместе с телом, однако он всегда касается указанной плоскости, положение которой в пространстве не меняется. В силу того, что точка Р расположена на направлении вектора ш, т. е. на направлении мгновенной оси, скорость этой точки тела в любое мгновение равна нулю. Отсюда следует, что движение по инерции тела с неподвижной точкой всегда происходит так, что эллипсоид инерции, построенный для неподвижной точки, вертится и катится без скольжения по неподвил<ной плоскости, положение которой в пространстве полностью определяется начальными данными. [c.199]

То, что движение симметричного тела по инерции является регулярной прецессией, может быть установлено и из геометрической интерпретации Пу-ансо (см. стр. 198 — 199). Действительно, в случае Л = В эллипсоид инерции для неподвижной точки является эллипсоидом вращения. Поэтому при качении этого эллипсоида без скольжения по неподвижной плоскости, перпендикулярной постоянному вектору Ко, точка касания описывает на плоскости окружность. Ось —одна из главных осей эллипсоида следовательно, при движении тела по инерции эллипсоид инерции (а значит, и тело ) вращается вокруг оси сама же ось прочерчивая окружность на плоскости, перпендику-л."рной Ка, вращается вокруг Ко- [c.202]

Курс теоретической механики Ч.2 (1977) -- [ c.101 ]

Курс теоретической механики 1973 (1973) -- [ c.340 ]

Основы теоретической механики (2000) -- [ c.47 ]

Теоретическая механика (1976) -- [ c.173 ]

Курс теоретической механики. Т.2 (1977) -- [ c.80 ]

Курс теоретической механики. Т.2 (1983) -- [ c.286 ]

Теоретическая механика (1990) -- [ c.121 ]

Теоретическая механика (1980) -- [ c.395 ]

Теоретическая механика (1987) -- [ c.135 ]

Теоретическая механика Том 2 (1960) -- [ c.20 , c.135 , c.156 , c.200 ]

Классическая механика (1975) -- [ c.177 ]

Механика (2001) -- [ c.165 , c.176 ]

Теоретическая механика (1999) -- [ c.146 ]

Теоретическая механика (1970) -- [ c.257 , c.510 , c.525 ]

Аналитическая динамика (1999) -- [ c.164 ]

Теоретическая механика в примерах и задачах Том 2 Динамика издание восьмое (1991) -- [ c.168 ]

Курс теоретической механики (1965) -- [ c.512 ]

Курс теоретической механики Том2 Изд2 (1979) -- [ c.282 ]

Теоретическая механика Изд2 (1952) -- [ c.557 ]

Беседы о механике Изд4 (1950) -- [ c.125 , c.331 ]

Курс теоретической механики Часть1 Изд3 (1965) -- [ c.359 ]

Курс лекций по теоретической механике (2001) -- [ c.377 ]

Аналитическая механика (1961) -- [ c.153 ]

Механика жидкости и газа Издание3 (1970) -- [ c.53 ]

Технический справочник железнодорожника Том 1 (1951) -- [ c.394 ]

Математические методы классической механики (0) -- [ c.124 , c.394 ]

Теоретическая механика Часть 2 (1958) -- [ c.285 , c.286 ]

Динамика системы твёрдых тел Т.1 (1983) -- [ c.28 , c.37 ]

Теоретическая механика (1981) -- [ c.367 , c.393 , c.394 , c.399 ]

Курс теоретической механики (2006) -- [ c.482 , c.483 ]

Техническая энциклопедия Том 1 (0) -- [ c.500 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...