Уиттекера метод

Метод Уиттекера позволяет с помощью обобщенного интеграла энергии понизить порядок системы (4.4) на две единицы. Пусть рассматриваемая голономная система будет консервативной. Это значит, что функция Лагранжа не зависит явно от времени, т. е. [c.103]

Доказательство теоремы 1 основано на методе работы [81] (см. п. 1 2). Оно использует тот факт, что в каждом классе свободно гомотопных путей на М имеется неустойчивая замкнутая геодезическая. Существование замкнутых геодезических (без анализа устойчивости) на многообразиях с выпуклой границей было отмечено в классических работах Уиттекера [163] и Биркгофа [18]. Вместо группы гомологий, примененной для доказательства неинтегрируемости в случае пустого дМ, здесь используются Другие топологические инварианты [25]. [c.142]

Он, в частности, показал, что все эти интегральные кривые асимптотически приближаются к некоторой спирали, входящей в начало координат, которая не является интегральной. Этот метод позволяет рассмотреть и многие другие системы. Можно еще указать на книгу Э. Т. Уиттекера Аналитическая динамика (1927 русский перевод М.— Л., 1937), который проинтегрировал каноническую систему четырех уравнений частного вида. [c.80]

В проблеме бильярдного шара можно прийти к некоторым периодическим движениям прямым применением методов максимума — минимума. Так как это представляет интерес само по себе, я укажу здесь, как это можно сделать. Результаты, полученные Морсом (см. главу V, 8), показывают, что область применения этих методов, уже развитая до известной степени Пуанкаре, Адамаром, Уиттекером и мною, может быть еще расширена. Таким образом, легко может оказаться, что значение метода минимума-максимума в проблеме бильярдного шара типично для общего случая. [c.176]

Основываясь па этом критерии, Н. Д. Моисеев [28], [29] установил существование четырех семейств периодических решений в плоской ограниченной круговой задаче трех тел Солнце — Юпитер — астероид. С помощью критерия Уиттекера И. Д. Моисеев нашел кольцевые области, в которых располагаются периодические решения. И. Ф. Рейн разработала [103] метод нахождения периода периодического решения в ограниченной задаче трех тел, аналитическая структура которого неизвестна. В теории движения ИСЗ критерий Уиттекера был применен В. Г. Деминым [31]. [c.797]

В шредингеровском представлении волновые функции являются матричными элементами основной непрерывной серии унитарных представлений некомпактных вещественных форм комплексных полупростых групп Ли, взятыми между состояниями с определенными квантовыми числами (обобщенными векторами Уиттекера). В тр же время наличие гамильтонова формализма для рассматриваемых систем (V. 3.1) позволяет, как и в классическом случае (см. V. 3), применить обычные методы теории возмущений. При этом первый член в гамильтониане (III. 2.14) играет роль свободной части, тогда как второй, снабженный множителем л, описывает взаимодействие в системе с постоянной X. В полной аналогии с классическим рассмотрением ряды теории возмущений также оказываются конечными полиномами по X и воспроизводят точное решение соответствующей системы. Используемые построения существенным образом основываются на теории представлений алгебр и групп Ли и для одномерного случая окончательные результаты формулируются полностью в их терминах. [c.229]

ЛИ методы конструирования потенциалов, приводящих к интегрируемым гамильтонианам Такой метод действительно существует по крайней мере для ограниченного круга задач. Впервые этот метод был применен Уиттекером ([430], 152) к исследованию движения частицы, которое описывается гамильтонианом [c.55]

Этот интересный результат, однако, не привел пока к новым решениям физических задач. Тем не менее в последнее время происходит возрождение интереса к конструированию интегрируемых гамильтонианов 1). Холл [174 ] применил такой метод к движению частицы в статических электрическом и магнитном полях, явно введя в задачу векторный потенциал. При этом он обнаружил, что решение Уиттекера не является полным, так как в нем не учитываются ограничения, связанные с сохранением энергии ). Им были рассмотрены также и другие классы инвариантов, не квадратичных [c.56]

Самые ранние приложения обсуждаемых в настоящей монографии методов, как и вообще применение самой гамильтоновой механики, связано с попытками предсказать движение планет на достаточно большом интервале времени. Именно к этой области относится знаменитая задача трех тел и ее упрощенный вариант, так называемая ограниченная задача трех тел. Первая касается движения трех произвольных гравитационно взаимодействующих масс. В более простой ограниченной задаче масса одного из тел полагается равной нулю и исследуется его движение в изменяющемся со временем гравитационном поле двух других тел. В 1904 г. Уиттекер, [c.486]

В качестве простого следствия принципа стационарности действия в фазовом пространстве укажем метод Уиттекера понижения порядка автономных гамильтоновых систем. [c.67]

Теорема 13 установлена Якоби в 1837 г. Следует заметить, что обратная теорема о том, что решение уравнения с частными производными типа Гамильтона приводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений (дифференциальных уравнений характеристик), имеющей в рассматриваемом случае форму Гамильтона, высказана Пфаффом и Коши в развитие еще более ранних исследований Лагранжа и Монжа, еще до того как Гамильтон и Якоби начали заниматься вопросами динамики (Э. Уиттекер [57]). Наиболее эффективный прямой метод решения уравнения Гамильтона— Якоби — это метод разделения переменных полный интеграл есть сумма слагаемых, каждое из которых зависит только от одной из переменных Ж1,. .., ж , I. [c.77]

Идея. -метода Уиттекера заключает в использовании интеграла 31иергии для замены аргумента / в -ураанениях Лагранжа (4.4) новым аргументом — какой-либо обобщённой коордивамй, например [c.104]

Таким образом, метод 5 иттекера дает возможность использовать обобш,енный интеграл анергии для исключения времени t из системы уравнений Лагранжа и приведения ее к новой системе s — I уравнений Уиттекера (4.43), имеющих вид уравнений Лагранжа, в которцх роль аргумента играет переменная q (вместо времени t) и в которые вместо производных qp по аргументу t входят производные q p по аргументу q[. Для построения уравнений Уиттекера (4,43) следует Ьредварительно построить функцию Уиттекера L. Для этого составляется выражение (4.44), в которое вместо q подставляется его выражение, полученное из обобщенного интеграла энергии (4.35). - [c.106]

Заметим, что описанная операция выполнима только при условии, что число степенен свободы материальной системы больше одной, так как иначе задача решается самим обобщенным интегралом энергии. Следует также иметь в виду, что если координата ( 1 не будет входить явно н выражение функции L, то метод Уиттекера можно было бы применить BTopH4fto, взяв а качестве но- [c.106]

По динамике твердых тел имеется весьма обширная литература, представленная не только книгами, специально посвященными этому вопросу, но и общими курсами механики. Большинство таких книг относится к концу прошлого столетия или близко к этому времени, и авторы их следуют традиционному изложению динамики твердого тела, развитой к тому времени. Одной из лучших книг этих лет является рекомендуемый общий курс Вебстера (первое издание вышло в 1904 г.). По сравнению с учебником Уиттекера книга Вебстера охватывает больший круг вопросов (она содержит теорию потенциала, теорию упругости и гидродинамику), но общий уровень ее является более элементарным. Тем не менее, в ней затрагиваются многие современные вопросы. Изложение ее является логически последовательным и в меньшей степени формальным, чем у Уиттекера, а также более физическим и более изящным. Векторным аппаратом автор не пользуется, так как в то время, когда писалась эта книга, векторное исчисление практически только зарождалось. Вторая часть этой книги посвящена динамике твердого тела и содержит подробное исследование движения симметричного волчка при отсутствии сил. Движение тяжелого волчка исследуется здесь методом, подобным изложенному в настоящей главе, но более длинно. [c.205]

Глава XIII этого курса посвящена диагонализации квадратичных форм с помощью метода, подобного изложенному у Вебстера и Уиттекера. Представляют также интерес первые главы этой книги, где излагается вопрос [c.376]

Настоящее доказательство при.чожимо только к этому невырожденному случаю. Случай вырожденных корней заключен в рассмотрении устойчивости движения согласно исследованию Вейерштрасса методом контурного интегрирования Вейерштрасса, как это изложено у Уиттекера [28], стр. 220—228. [c.382]

Если у области возможных движений есть края, то периодические движения натуральной системы могут быть уже двух типов вращения и либрации. В этой ситуации результаты Уиттекера и Биркгофа не применимы из-за вырожденнос-ти метрики Якоби на границе. Легко указать примеры, когда вращения отсутствуют. Первый общий результат о либрационных периодических движениях натуральных механических систем принадлежит Г. Зейферту [90], доказавшему существование либраций в случае, когда область возможных движений диффеоморфна п-мерному диску. В работе автора [58] доказано существование либрационных решений для случая, когда область возможных движений диффеоморфна N х [О, 1], где N — гладкое компактное многообразие. Методы доказательства существования либраций в работах [58, 90] имеют некоторые общие моменты. Доказательство теоремы о либрациях, проведенное в этой главе, отличается от первоначального [58]. [c.147]

Эти общие соображения С. А. Довбыш применил к известной задаче о вращении несимметричного твердого тела с неподвижной точкой в слабом однородном поле силы тяжести. Малым параметром здесь служит произведение массы тела на расстояние от центра масс до точки подвеса. Факторизацией по группе вращений вокруг вертикали задача сводится к гамильтоновой системе с двумя степенями свободы. Фиксируя еще положительное значение постоянной интеграла энергии и применяя метод Уиттекера изоэнергетической редукции, уравнения движения можно привести к гамильтоновым уравнениям с 3/2 степенями свободы и периодическим по новой переменной времени гамильтонианом рассмотренного выше типа (все детали можно найти в книге [83]). В этой задаче диаграмма сепаратрис невозмущенной задачи Эйлера (в несимметричном случае) имеет вид, изображенный на рис. 29 (точки и 2з совпадают, так как фазовым пространством системы является цилиндр, а не плоскость). Особенностью этой задачи является совпадение характеристических чисел для гиперболических положений равновесия и 2. Выделим сепатрисы Г1, Гг и Гз, как показано на рис. 29. [c.290]

Нагорнов В. А., Приведение уравнений движения неголономных систем в неголономных координатах к меньшему числу методами Уиттекера и Якоби, Научн. тр. Ташкентск. ун-та, вып. 222, 1963. [c.504]

Вопрос об устойчивости равновесия неголономных систем после работ Э. Т. Уиттекера и О. Боттема (Indagationes math., 1949, 11 4) рассматривался в ряде статей главным образом путем исследования корней характеристического уравнения. Применением метода функций Ляпунова Ю. И. Неймарк и Н. А. Фуфаев (1965) установили теорему об устойчивости равновесия неголономной системы при действии возмущающих сил. [c.40]

Упомянутый выше особый случай возникает, когда разность pi —Р2 является целым числом. Тогда обычный метод построения фундаментальных решений становится непригодным специальное исследование показывает, что может быть построено независимое решение, содержащее 1п(л —с). Детальное обсуждение данного вопроса содержится в книге Уиттекера и Ватсона [103]. Перейдем далее к новой переменной =1/л , так что х=оо будет соответствовать теперь и = 0. Точка ы = 0 будет регулярной точкой получающегося дифференциального уравнения, если существуют оба предела Итхр(дс) и imx q x). Такое требо- [c.23]

Кроме того, по ходу развития самого метода интегрирования зачастую возникала потребность в специальном исследовании ряда разделов теории Ли, что привело, в частности, к новому способу упорядочения корней простых алгебр Ли и асимптотическому методу в теории представлений некомпактных групп Ли [50]. Благодаря этому удалось получить явные выражения для многих алгебраических и групповых величин теории, таких, как, например, мера Хаара на компактных группах и старшие векторы их неприводимых представлений, инфинитезимальные и инвариантные операторы, векторы Уиттекера и мера Планше-реля полуиростых групп Ли, сплетающие операторы и другие. Многие из этих результатов, полученных сравнительно недавно и не нашедших пока отражения в литературе (помимо оригинальных статей), существенным образом используются при изучении нелинейных динамических систем. [c.10]

По-видимому, бросается в г.таза отсутствие дифференциального уравнения Гамильтона —Якоби с частными производными в его обычной форме, имеющей особое значение для решения проблем, которые допускают разделение переменных. Мы предпочитаем подчеркнуть преимущества более общей формы этого уравнения, предложенной Цейпелем, которая была специально задумана, чтобы служить фундаментом мощного метода теории возмущений. Этот метод содержит метод Делонэ как частный случай. Лица, интересующиеся другими аспектами этого вопроса, найдут многочисленные дополнительные сведения в Аналитической динамике Уиттекера и других руководствах. [c.8]

Метод Уиттекера вычисления скобок Лагранжа. В качестве эллиптических элементов мы используем кеплеровы элементы а, е, I, Е, О), 2, из которых первые три имеют свой обычный смысл е —средняя долгота в эпоху, так что средняя долгота к выражается суммой nt + E, tu —долгота перигелия и Q —долгота восходящего узла, причем ш==о) + 0. Угол О) равен угловому расстоянию от восходящего узла до перигелия и иногда называется аргументом перигелия. [c.243]

Метод Уиттекера вычйсления скобок Лагранжа по существу зависит от решения вопроса, каким образом изменится значение одной из скобок Лагранжа р, q при повороте системы координат xyz вокруг оси Z. Запишем с этой целью [c.243]

Метод, использованный в этой главе для вывода дифференциальных уравнений для элементов вллиптической орбиты, был предложен Уиттекером в журнале The Messenger of Mathemati s (январь 1897 г.). Здесь он упрощен путем замены [c.267]

Смотреть страницы где упоминается термин Уиттекера метод : [c.238] [c.103] [c.105] [c.107] [c.109] [c.176] [c.265] [c.508] [c.341] [c.87] [c.57] [c.58] [c.58] [c.154] [c.487] [c.31] [c.204] [c.243] [c.245] [c.324] [c.504] [c.69]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...