Ван-дер-Поля переменные

Новый аттрактор может оказаться и просто лежащим в стороне устойчивым положением равновесия быстрого движения. Именно так обстоит дело для системы Ван дер Поля и, вообще, для систем с одной быстрой переменной (так как типичные движения системы общего положения с одномерным фазовым пространством приближаются к невырожденным устойчивым положениям равновесия). [c.171]

Пример. В системах общего положения с одной быстрой и одной медленной переменной реализуется только складка (х +у=0), как в точках с вертикальной касательной на медленной кривой системы Ван дер Поля. [c.172]

Для приведения его к стандартному виду введем новые переменные айве помощью следующей замены, jk д os -j-0), — й sin + 6) Тогда уравнение Ван-дер-Поля приводим к системе [c.87]

Для получения упрощенно) системы, подобно Ван-дер-Полю, введем вместо 2п неизвестных функций х , х новые переменные [c.105]

Один из первых в хронологическом порядке вариантов асимптотической теории для уравнения типа Ван-дер-Поля основан на замене переменных вида [c.107]

Считая сиу новыми переменными, исключаем х и х аналогично тому, как это делалось в методе Ван дер Поля [c.246]

Весомый вклад в исследование колебаний металлорежущих станков внесли отечественные ученые, в частности А. И. Каширин и А. П. Соколовский. Для объяснения природы автоколебаний А. И. Каширин применил модель Ван-дер-Поля, использовав аналогию между падающей характеристикой трения в модели и падающей характеристикой резания. А. И. Кашириным рассмотрен механизм вторичного возбуждения вибраций, связанный с совпадением переменного из-за вибраций припуска с самими вибрациями по частоте и фазе. Им дана классификация разновидностей вибраций, которой пользуются и в настоящее время. Станок рассматривается как система с несколькими степенями свободы. Рассмотрено влияние на вибрации отдельных частных механизмов переменности сил трения о резец из-за переменности скорости относительных колебаний режущего инструмента и заготовки и переменности силы резания, возникающей вследствие изменения рабочих углов резца при вибрациях. При объяснении природы вибраций показано влияние пластических деформаций и тепловых явлений на силы трения при резании. [c.6]

Эти уравнения называют уравнениями в переменных Ван-дер-Поля. Это точные уравнения, так как никаких приближений пока не делалось. Теперь воспользуемся тем, что /х мало. Если /х < 1, а / в среднем порядка единицы, то А и В в первом приближении будут медленно изменяющимися функциями времени — на периоде Т = 2тг изменения функций, стоящих в правых частях системы уравнений для Аи В, [c.331]

Движение по предельному циклу соответствует периодическому изменению амплитуд а и Ь, что означает наличие бигармонического режима в исходной системе (режим биений). Биения возникают мягко по амплитуде (рис. 16.7а). так как предельный цикл рождается с нулевым радиусом. Частота биений при этом конечна, так как предельный цикл возникает из фокуса и в момент возникновения имеет частоту, отвечающую исчезнувшему состоянию равновесия. Для се определения следует найти корни характеристического уравнения + р + д = О при 1. Значение мнимой части корней и даст искомую частоту. Нетрудно показать, что с увеличением расстройки частота биений растет (рис. 16.76). Для больших значений можно считать, что амплитуды а и Ь изменяются с некоторой частотой, а кроме того, претерпевают еще очень медленные (малые на периоде 1/ш ) изменения. Тогда, применив повторно метод усреднения, удается найти амплитуду цикла на плоскости переменных Ван-дер-Поля и частоту вращения по нему. [c.337]

Заметим также, что при 1 = 0 изображающая точка, двигаясь по фазовой плоскости л , у по круговым фазовым траекториям, остается неподвижной относительно вращающейся плоскости, т. е. при (л = О каждая точка плоскости переменных Ван-дер-Поля является состоянием равновесия. [c.654]

Для вывода укороченных уравнений в полярных координатах сделаем в исходных уравнениях (9.2) замену переменных лг, у на полярные переменные Ван-дер-Поля К, согласно (9.5) ) [c.656]

Проведем исследование системы укороченных уравнений и построение их фазовых траекторий на плоскости переменных Ван-дер-Поля. [c.657]

Обычно бывает целесообразно вместо этих параметров ввести новые, так называемые безразмерные параметры (точно так же часто бывает целесообразно вводить безразмерные переменные), представляющие собой некоторые определенные комбинации размерных физических параметров. Желательно для упрощения математического исследования свести число этих безразмерных параметров к наименьшему числу независимых. Если один из этих параметров может быть выбран таким образом, чтобы при значении параметра, равном нулю, система превращалась в линейный гармонический осциллятор, то этот параметр может служить с математической точки зрения тем малым параметром х, по которому производятся разложения в ряды в теории Пуанкаре и малостью которого приходится распоряжаться при обосновании метода Ван-дер-Поля. [c.706]

При соответствующих предположениях о малости коэффициентов это уравнение легко может быть приведено к виду х- -х= -/ х, дг) (х — безразмерная переменная и i. — малый параметр), для которого нами были развиты теории Ван-дер-Поля и Пуанкаре и получены общие формулы для амплитуд периодических решений, для поправки к частоте в первом приближении и т. д. [c.716]

В ПЕРЕМЕННЫХ ДЕЙСТВИЕ-УГОЛ И МЕТОД. . . УСРЕДНЕНИЯ. ЭВОЛЮЦИЯ ПЕРЕМЕННОЙ ДЕЙСТВИЕ В ЗАДАЧЕ ВАН ДЕР ПОЛЯ [c.189]

VI Ь)- некоторые пока неизвестные функции времени. Другими словами, величины АГ и 0 (или а и Ь) суть новые зависимые переменные, которые называют переменными Ван-дер-Поля. Формулы (8.3) [c.175]

Среди таких систем с быстрыми и медленными движениями выделяются системы, в которых быстрое движение приводит к устойчивому состоянию равновесия. Примером могут служить системы с одной быстрой переменной, т. е. с одномерным фазот вым пространством быстрого движения. Такая система общего положения при фиксированном значении медленных переменных быстро приходит к установившемуся состоянию покоя. Этот процесс быстрого установления равновесия называется релаксацией. В процессе изменения медленных переменных устойчивое равновесие может (через большое в масштабе быстрых движений время) исчезнуть или потерять устойчивость. Тогда снова произойдет релаксация (скачок к другому состоянию равновесия) и т. д. Возникающий процесс, состоящий из периодов, в течение которых быстрая система находится в ква-зиравновесном состоянии (отрелаксировала) и почти мгновенных (по сравнению с этими периодами) скачков из одного состояния равновесия быстрой системы в другое называется процессом релаксационных колебаний (термин, принадлежащий Ван дер Полю [206]). [c.165]

Для системы Ван дер Поля — это кубическая парабола Г. Для вертикального поля общего положения медленная поверхность— гладкое многообразие. Размерность этого многообразия равна размерности базы расслоения (числу медленных переменных). В точках общего положения медленная поверхность локально является сечением расслоения, т. е. диффео-морфно проектируется на базу. [c.168]

Широкое применение метод усреднения получил после популяризации Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси метода Ван-дер-Поля. Создание строгой теории метода усреднения принадлежит Н. Н. Боголюбову [11, 12], который показал, что Этот метод органически связан с суш,ествованием некоторой замены переменных, позволяющей исключить время t из правых частей уравнений с произвольной степенью точности относительно малого параметра 8. При эгом Н. Н. Боголюбов, исходя из физических соображений, указал, как строить не только систему первого приближения, но н усредненные системы высших приближений, решения которых аппроксимируют решения исходной (точной) системы с произвольной наперед заданной точностью. [c.85]

Рис. 16.9. Фазовый портрет неавтономного генератора в переменных Ван-дер-Поля при слабом внешнем сигнале, иллстрирующий эволюцию сосотояния равновесия при изменении расстройки а — < 1, б — = 1 , в —

Бендриков Г. А., Горелик Г. С. Применение Брауновакой трубки к исследованию движения изображающей точки на плоскости переменных Ван-дер-Поля. ЖТФ 5, 620 (1935). [c.906]

Из формул (8.4) хорошо видно, что плоскость а, Ь переменных Ван-дер-Поля вращается с постоянной угловой скоростью, равной единице, по отношению к фазовой пдоскости Х,у вокруг общего начала координат (рис. 8.1). Неподвижная на плоскости [c.175]

Случай 1 F(A) = 0. Следовательно, 0 = 0 = onst. Теперь нетрудн представить картину фазовых траекторий на плоскости переменных Ван дер-Поля. Решение укороченной системы таково [c.178]

Ha плоскости x, у такое движение отображается замкнутой изолированной фазовой траекторией - пределыным циклом. Он имеет вид окружности с центром в начале координат и тем же радиусом К.. Таким образом, состояниям равновесия на плоскости переменных Ван-дер-Поля соответствуют предельные циклы на плоскости Х,у. Очевидно, что устойчивым состояниям равновесия соответствуют орбитно-устойчивые предельные циклы, а неустойчивым - неустойчивые предельные циклы (см. рис. 8.3, соответствующий фазовому портрету на рис. 8.2). Это ясно уже из того, что плоскость С, вращается с постоянной угловой скоростью относительно плоскости Х,у при этом движения изображающих точек по отрезкам прямых на плоскости С, Ь преобразуются в движения по отрезкам спиралей на плоскости Хуу. [c.179]

Согласно сказанному вьш1е метод Ван-дер-Поля состоит в переходе исходных уравнений (8.9) [или (8.5)], записанных в стандартной форм к укороченным (усредненным) уравнениям (8.10) [или (8.7)]. Укороченнь уравнения (8.7) весьма просты - с разделяющимися переменными. Состо ниям равновесия укороченных уравнений отвечают предельные Щ1клы и ходной системы (8.1). Правомерность перехода к укороченным уравнени математически обоснована. Именно [c.180]

Рассмотрим различные случаи, сразу отметив, что в них интегральнь кривыми иа плоскости переменных Ван-дер-Поля будут прямые 0 = со проходящие через начало координат. [c.184]

В чисто абсорбционном резонансном случае Д = 0 = о стационарный режим описывается формулой (9.49). Нелинейный член 2Сх/(1 + х ) возникает из-за наличия поля реакции, т. е. из-за атомных кооперативных эффектов, мерой которых является параметр С При очень больших х уравнение (9.49) переходит в решение для пустого резонатора х = у т. е. Ет Е,). Атомная система насыщается настолько, что среда просветляется . В этой ситуации каждый атом взаимодействует с падающим полем так, как если бы других атомов не было это — некооперативное поведение, и квантовостатистическое рассмотрение показывает, что атом-атомные корреляции здесь пренебрежимо малы. При малых же х уравнение (9 49) сводится к соотношению г/ = (2С + 1) х. Линейность в этом соотношении связана с тем простым обстоятельством, что при малых внешних полях отклик системы линеен. В этой ситуации атомная система не насыщается при больших С кооперативное поведение атомов доминирует, и мы имеем сильную атом-атомную корреляцию. Кривые у (л ), которые получаются при различных С, аналогичны кривым Ван-дер-Ваальса для фазового перехода жидкость — пар. причем величины х, у н С играют роль давления, объема и температуры соответственно. При С <4 величина у является монотонной функцией переменной л , так что бистабильность не возникает (рис. 9.8). Однако для части кривой дифференциальное усиление йхЫу оказывается большим единицы, так что в этой ситуации возможен транзисторный режим. Действительно, если интенсивность падающего света адиабатически модулируется и среднее величины / таково, что dIт/dI = х1у)йх/ау>1, то в прошедшем излучении модуляция будет усилена. [c.243]

Для того чтобы объяснить этот результат в рамках структурно-гео-метрических представлений, было сформулировано положение о поверхностном псевдоморфизме. В кристаллическом поле подложки структура нарастающей фазы упруго деформируется, между подложкой и нарастающей фазой образуется псевдоморфный слой, который и обеспечивает эпитаксиальное наращивание. Межатомные расстояния в псевдоморфном слое переменны от характерных для поверхности срастания до межатомных расстояний наращиваемой фазы. Толщина псевдоморфного слоя определяется природой срастающихся фаз. Основоположником теории о псевдоморфном слое был Ван дер Мерве. Его теория основана на представлении о существовании сильного физического взаимодействия атомов в сопряженных решетках. В ее рамках вычисляется энергия поверхности раздела двух различных кристаллов и выясняются условия, при которых эта энергия принимает минимальное значение. Знание минимальной энергии поверхности раздела позволяет определить предельные толщины псевдоморфных слоев, что весьма важно с практической точки зрения. [c.333]

Из-за гиперсжимаемости околокритическая жидкость в поле силы тяжести заметно стратифицирована [21]. Изменения плотности р и полного давления Р вдоль вектора массовой силы в газе Ван-дер-Ваальса определяются трансцендентными уравнениями [17], которые не разрешаются явно относительно этих переменных. Поэтому при моделировании стратификация описывается в линейном приближении [c.84]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...