Другие методы решения уравнения переноса

Часто используется также метод Монте-Карло. В некоторых случаях оказывается целесообразным комбинировать эти два метода. Развиты также методы решения уравнения переноса, основывающиеся на использовании интегрального уравнения с численно заданным или синтетическим ядром [35] см. гл. 7). Предлагались некоторые другие формулировки проблемы переноса нейтронов (см., например, работу [36]), но они не нашли применения при решении реакторных задач. [c.40]

Уравнение (5.1) с приведенными граничными условиями имеет единственное решение. Оно является отправной точкой при получении численного решения методом конечных разностей. Другой метод решения задач переноса тепла основан на вариационном подходе. В вариационном исчислении ) устанавливается, что для минимизации функционала [c.68]

Л. 12, 16—18 и др.], решение которого является более простой задачей. Существуют и некоторые другие методы решения нелинейного, уравнения переноса, например [Л. 19, 20 и др.]. Покажем методику применения отдельных методов к решению проблемы нелинейного переноса. [c.479]

Быстрое развитие современной техники в последние годы оказало значительное влияние на преподавание теплообмена излучением в высшей школе. Традиционные курсы теплообмена излучением, в которых рассматривались главным образом прозрачные среды, пришлось расширить и включить в них изложение вопросов, касающихся поглощающих, излучающих и рассеивающих сред, а также взаимодействия излучения с другими видами переноса тепла. Перенос излучения в поглощающих, излучающих и рассеивающих средах интенсивно изучался астрофизиками при исследовании звездных атмосфер. Кроме того, задачи, описываемые теми же уравнениями переноса, изучались физиками, работающими в области теории переноса нейтронов. В технике интерес к этой проблеме значительно вырос в последнее десятилетие. Хотя разработаны новые методы и некоторые математические методы, используемые в других отраслях науки для решения уравнения переноса, уже применяются при решении задач теплообмена излучением, представляется полезным дать единое и систематическое описание всех новых достижений, легко доступное для аспирантов, научных работников и инженеров. В области инженерных приложений необходима книга, представляющая собой исчерпывающее, систематическое и единое изложение фундаментальных положений, основной теории и различных методов решения задач переноса излучения не только в прозрачных, но и в поглощающих, излучающих и рассеивающих средах, а также взаимодействия излучения с другими видами теплопередачи. Поэтому эта книга была задумана как учебное пособие по курсу переноса излучения, а также как справочник для научных работников и инженеров, работающих в этой области. [c.7]

Для решения проблемы нелинейного переноса тепла в настоящее время используется ряд методов. Так, в методе линеаризации, основанном на аппроксимации нелинейного коэффициента, специально подбирается новая зависимость коэффициента, при которой уравнение (1) становится линейным [13] в различных методах подстановок вводятся новые переменные, которые позволяют преобразовать нелинейное уравнение в частных производных к обыкновенному нелинейному уравнению в полных производных (см. [47] и др.), решение которого является более простой задачей. Существуют и некоторые другие методы решения нелинейного уравнения переноса, например приведенные в работе [113] и др Покажем методику применения отдельных методов к решению вопроса нелинейного переноса тепла. [c.442]

Следующий шаг в решении уравнения переноса — интегрирование по энергетическим интервалам групп и определение групповых сечений, в результате чего получаются многогрупповые уравнения Рл/-приближения. Когда угловое распределение потока достаточно хорошо описывается двумя первыми полиномами Лежандра Ро ( -1) и Р1(ц), получается многогрупповое Рх-прибли-жение. В гл. 4 показано, что если сделать некоторые предположения о энергетической зависимости потока нейтронов, Р -приближение будет эквивалент но многогрупповому диффузионному приближению или многогрупповому диффузионно-возрастному приближению. Другой (вариационный) метод получения многогрупповых уравнений р1-приближения обсуждается в гл. 6. [c.43]

Применительно к такому классу задач удобно строить алгоритмы, основанные не на общем методе установления, а на итерационно-маршевом принципе. Согласно этому принципу, в течение текущей итерации происходит решение разностных уравнений с переходом от одного сечения, поперечного к преимущественному направлению, к другому таким же образом, как это происходит в случае эволюционных задач. При этом значения сеточных функций перед рассматриваемым сечением считаются -известными из предыдущей итерации. Такой подход эквивалентен хорошо известному методу релаксации в линиях для решения уравнения переноса с диффузией. [c.136]

Уравнение (94.24) — уравнение диффузии — содержит уже только одну неизвестную функцию р(г, I). Таким образом, уравнение (94.14) может быть сделано замкнутым, если постулировать закон Фика и ввести феноменологический коэффициент диффузии. Ниже мы покажем, что и система уравнений (94.15) и (94.16) может быть сделана замкнутой, если постулировать феноменологические законы для вязкости и теплопроводности и ввести соответствующие коэффициенты. Важно, однако, подчеркнуть, что такой метод замыкания системы макроскопических уравнений представляет собой лишь кажущееся решение задачи. По существу, пользуясь этим приемом, мы лишь переносим трудность в другое место, так как возникает проблема доказательства уравнений переноса и нахождения коэффициентов переноса. [c.526]

Для решения выдвигаемых перед нею задач механика жидкости и газа, так же как и теоретическая механика, применяет точные и приближенные математические приемы интегрирования основных дифференциальных уравнений движения, уравнений переноса тепла, вещества и других уравнений, выражающих законы физических процессов в жидкости и газе (например, уравнения электромагнитного поля). Для получения суммарных характеристик явлений используются общие теоремы механики и термодинамики теоремы количества и моментов количеств движения, закон сохранения энергии и др. Значительная сложность явлений вынуждает механику жидкости и газа широко пользоваться услугами эксперимента, обобщение результатов которого приводит к эмпирическим закономерностям, а иногда и к полуэмпирическим теориям. Такие отклонения от дедуктивных методов классической рациональной механики вполне естественны для столь быстро развивающейся науки, как современная механика жидкости и-газа. [c.14]

Значения коэффициентов переноса и термодинамических характеристик материала или среды, вообще говоря, могут быть различными для разных точек тела. С изменением потенциалов переноса они претерпевают иногда существенное изменение. Решение большого количества вопросов в области науки и техники может быть значительно уточнено путем введения поправок, возникающих в связи с переменным характером коэффициентов. Необходимость проведения такой работы особенно остро стала сказываться в связи с широким внедрением в различные отрасли техники высокоинтенсивных процессов. Отметим также, что путем соответствующих подстановок многие задачи конвективной диффузии и теплопроводности, гидродинамики вязкой жидкости и другие могут быть сведены к дифференциальным уравнениям типа теплопроводности с переменными коэффициентами. Это указывает на необходимость накопления и обобщения полученных результатов решения неоднородных и нелинейных уравнений теплопроводности, а также дальнейшего развития методов решения этих уравнений. [c.435]

В рамках другого класса многогрупповых методов, известного под названием метода дискретных ординат или 5л/-метода, уравнение переноса решается только для некоторых избранных направлений. Затем интегралы, по углу представляются в виде сумм по дискретным направлениям, а производ-, ные по углам — в виде разностей. Эти методы подробно описаны в гл. 5, где показано, что для плоской геометрии некоторые из 5л -приближений эквивалентны Рл/-методу. Достоинство 5л/-метода — его точность, которую мож но повысить, просто увеличивая число направлений без какого-либо изменения метода решения. Он часто используется там, где Рл/-приближение недостаточно точно. [c.43]

Интересно рассмотреть некоторые другие приближения, которые были развиты для решения зависящего от энергии уравнения переноса, в частности, распространение на этот случай некоторых методов, используемых в односкоростной теории (см. гл. 2). В разд. 2.2 рассмотрен метод разделения переменных для получения точных (или очень близких к ним) решений в простых случаях. Этот метод был распространен на изучение зависящих от энергии задач в плоской геометрии [1], причем энергетическая зависимость учитывалась либо с помощью дискретных энергетических групп, либо разложением по собственным функциям. Такие методы можно было бы использовать для получения точных решений некоторых тестовых задач. Однако, поскольку для проведения таких расчетов обычно требуется электронно-вычислительная машина, то на практике более удобно получать точные решения другими методами, например методом дискретных ординат (гл. 6) или методом Монте-Карло. [c.134]

При развитии этого метода возникают некоторые новые и важные проблемы. К ним относятся 1) выбор конкретных дискретных направлений 2) аппроксимация интегралов по угловой переменной 3) аппроксимация производных от потока нейтронов по компонентам угла Й, появляющихся в уравнении переноса в криволинейных геометриях (см. разд. 5.3.1, 5.3.2). Эти проблемы рассмотрены в настоящей главе, но с самого начала можно констатировать, что не существует их единственных решений. Отсутствие единственности решения, однако, не является неожиданным, В Рд -приближении выбор энергетических групп и пространственной сетки также не однозначен, но должен основываться на физическом понимании задачи и опыте. Те же самые факторы определяют выбор направлений и других параметров в методе дискретных ординат. [c.168]

Ранее отмечалось, что вариационные методы оказываются особенно полезными в односкоростных задачах из-за того, что операторы для потока в этом случае являются самосопряженными. В интегральном уравнении переноса для полного потока с изотропным рассеянием операторы в точности самосопряженные (см. разд. 6.1.8). Вариационные расчеты оказались очень ценными при нахождении наиболее точных критических размеров для простых систем в течение многих лет они служили в качестве стандартов при сравнении с другими расчетными методами [23]. Ниже приводятся два примера на расчет критичности и один — на решение неоднородной задачи с источником. [c.232]

Параболическое уравнение переноса вихря и эллиптическое уравнение Пуассона естественно рассматривать по отдельности, так как методы их решения, очевидно, различны. Однако сразу следует заметить, что при численном решении задачи гидродинамики фактически существует обратная связь между этими уравнениями. Например, в силу того что эти уравнения решаются циклически, увеличение допустимых временных шагов для уравнения переноса вихря должно быть компенсировано увеличением числа итераций при итерационном решении уравнения Пуассона. Неправильное обращение с граничными условиями в одном уравнении может привести к нарушению сходимости в другом. [c.38]

В заключение хотелось бы сделать следующие замечания. В настоящее время методы томографии, т, е, восстановления внутренней структуры объекта по результатам его зондирования проникающим излучением, базируются на различных уравнениях, описывающих уравнение распространения в среде. Известны формулы обращения для уравнения Гельмгольца (дифракционная томография, уравнения эйконала и т. д.). В 3.4 предложена схема измерений, получены формулы обращения для случая распространения излучения в среде, подчиняющегося уравнению переноса излучения в различных приближениях. Проведенный анализ этих схем и модельные эксперименты показали принципиальную возможность решения задач определения коэффициента экстинкции и распределения интенсивности в сечении светового поля предложенным методом. При других условиях распространения излучения в среде можно найти, по-видимому, схемы измерения и алгоритмы обращения, которые позволят применить принципы томографии для спектроскопии трехмерных объектов. [c.99]

Во-первых,—единообразный подход к решению задач кинетики. Автор основывается на вариационном методе решения кинетического уравнения, справедливо отмечая, что другие аналитические методы эффективны лишь в применении к более или менее упрощенным моделям. К сожалению, вариационный метод не всегда пользуется тем вниманием, которого он заслуживает. В связи с этим особый интерес для теоретиков может представить гл. VII, посвященная общей теории явлений переноса. В ней, в частности, выявляется связь вариационного метода с основными принципами термодинамики необратимых процессов. [c.5]

Кроме ошибок аппроксимации, существует другой источник ошибок численного решения, связанный с погрешностью вычислений. В зависимости от вычислительного алгоритма могут уменьшаться и возрастать ошибки округления. В случае возрастания говорят, что вычислительный метод неустойчив, в случае убывания — устойчив. Для решения задач используют устойчивые методы. Один и тот же алгоритм может быть устойчив при выполнении некоторых условий и неустойчив при их нарушении. Условие неустойчивости является внутренним свойством разностной схемы и не связано с исходной дифференциальной задачей. Исследование устойчивости обычно проводится для линейных задач с постоянными коэффициентами, и результаты исследования, полученные для линейных систем, переносят на нелинейные уравнения газовой динамики, но при этом надо иметь в виду, что [c.271]

Если поток нейтронов зависит от двух угловых переменных, то можно развить другие методы решения уравнения переноса, предполагая, что зависимость от одной угловой переменной является непрерывной, а от другой — представляется в дискретном виде. Например, для угловых переменных лих першен-ную х можно рассматривать как дискретную, а зависимость потока нейтронов от X можно представить в виде суммы тригонометрических функций [25]. [c.186]

Среди разработанных методов решения уравнения переноса излучения с граничными условиями широкое распространение получили квадратурные методы [Л. 31, 32, 329, 330], основанные на аппроксимации интепро-дифференциального уравнения переноса системой дифференциальных уравнений. Анализ сходимости этих методов приводится в [Л. 31, 32] и ряд других исследований. [c.111]

Представление о нормальных функциях распределения лежит в основе традиционных методов решения уравнения Больцмана (или других кинетических уравнений). Оно было введено Гильбертом в 1912 г. Для этого великого математика уравнение Больцмана явилось прекрасным примером нелинейного интегродиффе-ренциального уравнения, и Гильберт рассмотрел его с математической точки зрения. Предложенный им метод решения не очень удобен для физических приложений. Проблема была рассмотрена вновь с аналогичной точки зрения Чепменом и независимо Энско-гом. Их методы (незначительно различающееся в деталях) дали идентичные результаты и с тех пор были объединены в известный метод Чепмена — Энскога. Сущность этого метода заключается в систематическом построении нормального решения в виде разложения в ряд вблизи состояния локального равновесия. Параметром разложения фактически служит величина градиентов однако разложение не является тривиальным рядом Тейлора (что приводило бы к некоторым трудностям), а представляет собой более тонкую процедуру. В качестве окончательного результата в приближении первого порядка непосредственно получаются выражения для коэффшщентов переноса, которые можно вычислить в явном виде для различных межмолекулярных потенциалов. Численные значения этих коэффициентов во многих важных случаях прекрасно согласуются с экспериментом. [c.94]

Метод Соболева часто оказывается достаточным для различных оценок и может служить первым приближением при решении сложных задач о рассеянии на многоуровенных атомах. Точность этого метода, других приближений и численных методов решения уравнения (63) была исследована в работах [63,64,65]. Приближение Соболева тем лучше, чем больше градиент скорости, так как с его увеличением все большая часть фотонов выходит из среды без рассеяния, непосредственно от источников. Это приближение до сих пор используется при расчетах совместного переноса излучения во многих линиях сложных многоуровенных атомов в движущихся средах. [c.249]

В настоящей главе рассмотрены временнйе задачи переноса нейтронов, в которых пространственными и энергетическими изменениями нейтронного потока нельзя пренебречь и эти изменения не могут быть описаны моделью точечного реактора (см. гл. 9). В разд. 9.2.3 показано, что хотя уравнения кинетики реактора (9.8) и (9.9) являются точными, они останутся чисто формальными до тех пор, пока не будет получена оценка форм-функции г ) (г, й, Е, t) для любого момента времени, достаточно хорошая для определения реактивности и других параметров реактора по уравнению (9.10). Известно, что в некоторых случаях форм-функция может быть аппроксимирована не зависящей от времени функцией, приводящей к точечной модели реактора, либо в более общем случае получена из адиабатического приближения. Иногда (г, й, Е, О можно рассчитать на основе квазистатического приближения. Сравнение этих трех приближений дано на примере в разд. 10.1.3, но сначала рассмотрим другие методы решения задач, в которых поток нейтронов зависит как от времени, так и от пространственных координат. [c.420]

Совокупность электронов проводимости и взаимодействие электрон— электрон. В настоящее время в рассматриваемой области остались две нерешенные проблемы необходимо, во-первых, разработать более точную теорию рассеяния электронов в металлах и, во-вторых, выяснить воиросы, связанные с установлением теплового равновесия. Эти задачи нельзя рассматривать как совершенно независимые, так как обе они требуют для своего решения точного понимания особенностей поведения совокупности электронов проводимости в металле. Когда Лоренц впервые использовал методы статистики ( уравнение Больцмана ) в теории переноса электронов в металлах, он предполагал, что по сравнению с взаимодействием электронов с атомами столкновениями электрон—электрон можно пренебречь. Он писал ...мы полагаем, что преобладают соударения с атомами металла надо считать, что число таких столкновений настолько превосходит число соударений электронов друг с другом, что последними вполне можно пренебречь . [c.215]

В настоящее время существуют в основном два подхода в рассмотрении движения и переноса массы и энергии в двухфазных потоках [35]. При одном подходе движение и процессы переноса рассматриваются для каждой нз фаз в отдельности и полученные при этом зависимости связываются в систему условиями, характеризующими протекание этих процессов на границе раздела фаз [86]. Другой метод состоит в том, что фазы считаются распределеиными одна в другой по определенному закону распределения [156, 157]. При таком подходе либо одна из фаз, либо обе фазы считаются во всем рассматрийаемом объеме епрерывным-и и уравнения, характеризующие протекание процесса ib них, записываются для среды в целом. Во всех случаях паряду с уравнениями движения и переноса задаются условия на границах между средой и поверхностями твердого тела, ограничивающими ее. Здесь в общем виде (в трехмерной форме) рассмотрены система уравнений, описывающих движение для каждой из фаз в отдельности, и граничные условия, связывающие эти уравнения. Кроме того, рассмотрено уравнение движения, записанное в гидравлической форме, которое отражает другой подход к решению данной задачи, однако рассматривается оно в более простом, одномерном виде. [c.15]

Понятие пограничного слоя, введенное Прандтлем (1904), послужило основой для дальнейшего развития теории конвективного переноса массы в последующие годы. При исследовании массообмена с умеренными скоростями движения газов, например, при горении твердого топлива или в задачах кондиционирования воздуха решения уравнений теплообмена были в равной степени справедливы и для массообмена. Для больших скоростей, имеющих место при горении жидкого топлива или при испарительном охлаждении (оба процесса вызвали большой интерес к себе в связи с развитием ракетных двигателей), потребовались другие решения. Эккерт и Либлайн (1949) и Шу (1947) одними из первых опубликовали реишния для больших скоростей течения. Последний показал также, как учесть изменяемость физических свойств среды. С того времени значение массообмена в авиационной технике сильно возросло, и многие исследователи-аэродинамики внесли свой вклад в решение этих задач. В более позднем периоде эти исследователи зачастую игнорировали работу инженеров-химиков, специалистов в области горения и др. и создали заново некоторые из их методов, а также предложили новые. [c.31]

Полученные результаты составляют главное содержание теории теплового переноса излучением. В случае соленоидаль-ного поля излучения результирующий перенос тепла тождественно равен нулю. В общем случае, когда помимо излучения в теплообмене участвуют и другие виды переноса тепла (теплопроводность, конвекция и др.), под результирующим потоком -следует поянмать суммарное значение энергии в рассматриваемом месте среды. Такие процессы описываются нелинейным интегро -дифференциальным уравнением энергии, решение которого для конкретных приложений вызывает большие трудности математического характера. Поэтому широкое распространение получили приближенные методы. По-атедние обычно связаны с приближенными представлениями уравнений переноса энергии (дифференциальные методы) или интегральных уравнений излучения (зональный метод). При этом особое внимание приходится уделять оптическим свойствам сред. [c.525]

Дифференциальные уравнения (4.1), (4.8) и (4.13), относящиеся к типу параболических, являются нелинейными из-за зависимости коэффициентов переноса от соответствующих потенциалов, что не позволяет получить для них точные аналитические решения. С другой стороны, решение с постоянными коэффициентами переноса, заведомо упрощающее процедуру вычисления и оправданное в некоторых случаях, неприемлемо при построении эволюционной модели тепловлагопереноса ввиду того, что данный подход не соответствует природе изучаемых процессов. Следовательно, решение указанных нелинейных уравнений осуществляем численным методом, в частности методом конечных элементов в форме метода Галеркина. [c.89]

Основная идея метода Ланжевена в теории гидродинамических флуктуаций состоит во введении в уравнения переноса случайных источников , описывающих тепловой шум. После этого уравнения переноса становятся стохастическими дифференциальными уравнениями а их решения описывают не только регулярное (усредненное) движение, но и флуктуации на фоне этого движения. Средние значения случайных источников равны нулю, а их корреляции определяются из дополнительных условий самосо-гласования, например, из флуктуационно-диссипационной теоремы. Метод стохастических уравнений и метод уравнения Фоккера-Планка дополняют друг друга. Отметим, однако, что эти методы, вообще говоря, не эквивалентны. Мы видели, что уравнение Фоккера-Планка может быть выведено из фундаментального уравнения неравновесной статистической механики — уравнения Лиувилля, в то время как метод стохастических уравнений по своей сути является феноменологическим и его применимость необходимо обосновывать в каждом конкретном случае. Тем не менее, метод Ланжевена часто оказывается очень удобным, особенно при вычислении временных корреляционных функций флуктуаций. Поэтому представляет интерес построение стохастических гидродинамических уравнений, соответствующих уравнению Фоккера-Планка (9.1.63). [c.237]

В последние гбды получили развитие аналитические методы решения одномерной обратной задачи для уравнения Гельмгольца, т.е. восстановления профиля k(z) по коэффициенту отражения или другим характеристикам поля [122, 177]. В этих случаях, когда удается получить решения для k(z) в замкнутом виде, этот Aierod обратной задачи в теории рассеяния дает новые решаемые профили (см. [277, 408,487]). Хотя большинство результатов сформулировано для уравнения Шредингера, они легко переносятся на уравнение Гельмгольца. Следует отметить также интересные обобщения профиля Эпштейна, предложенные Рауэром [484] и допускающие точные решения при нормальном падении волны. [c.80]

Предварительно для наглядности рассмотрим возникающие здесь вопросы на модельном примере — квазилинейном уравнении переноса. С одной стороны, это уравнение достаточно просто и его точное решение нетрудно сконструировать. С другой — оно нелинейно и хорошо моделирует основные свойства системы уравнений газодинамики, например, возможность возникновепия в решении в некоторый момент времени сильного разрыва при гладких начальных данных. Поэтому квазилинейное уравнение переноса является классическим объектом, широко используемым для апробации и отработки кап методов теоретического исследовапия систем нелинейных гиперболических уравнений, так и методов их численного расчета [73, 102[. Наиомпим, что этот прием мы уже применяли в гл. III, демонстрируя па примере липейпого уравпепия переноса методы исследования устойчивости разностных схем. [c.243]

Блочно-нелинейный итерационный процесс. Идея Гуммеля состоит, по существу, в решении полупроводниковых уравнений с независимой линеаризацией каждого уравнения в отдельности относительно основной переменной. На первом шаге методом Ньютона решается уравнение Пуассона в предположении, что квазиуровни Ферми являются известными функциями координат. На втором шаге решается одно из уравнений непрерывности в предположении, что потенциал и квазиуровень из другого уравнения непрерывности заданы. На третьем шаге решается второе уравнение переноса, при аналогичных предположениях. Эти три шага вьшолняются повторно до тех пор, пока не будет найдено согласованное решение. Затраты на один цикл этой блочнонелинейной итерации гораздо меньшие, чем на один шаг ньютоновской итерахщи, поскольку размерность каждой из решаемых линейных систем равна трети размерности полной системы. [c.413]

Методы расчета с использованием вычислительных машин. Еразуниси др.[35] предложили весьма подробную модель и разработали программу для вычислительной машины, описывающую перенос активности в контуре реактора. Модель предусматривает существование продуктов коррозии во всех формах и коррозию конструкционных материалов в активной зоне. На основе этой модели записаны уравнения баланса, которые учитывают все процессы перехода и составлены как для радиоактивных, так и для стабильных ядер мишеней любого изотопа. Для ускорения счета предполагается, что концентрация растворенного компонента и шлама в теплоносителе в течение короткого времени достигает равновесия, но в дальнейшем при решении других уравнений системы это предположение пересматривается. Авторы принимают определенные предположения о механизме выхода продуктов коррозии, скорости накопления отложений в активной зоне и вне ее, о концентрации шлама и т.д., которые позволяют получить константы массообмена. [c.322]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...