Ошибка округления

Кроме ошибок аппроксимации, существует другой источник ошибок численного решения, связанный с погрешностью вычислений. В зависимости от вычислительного алгоритма могут уменьшаться и возрастать ошибки округления. В случае возрастания говорят, что вычислительный метод неустойчив, в случае убывания — устойчив. Для решения задач используют устойчивые методы. Один и тот же алгоритм может быть устойчив при выполнении некоторых условий и неустойчив при их нарушении. Условие неустойчивости является внутренним свойством разностной схемы и не связано с исходной дифференциальной задачей. Исследование устойчивости обычно проводится для линейных задач с постоянными коэффициентами, и результаты исследования, полученные для линейных систем, переносят на нелинейные уравнения газовой динамики, но при этом надо иметь в виду, что [c.271]

Среди точных методов, очень важных в теоретическом плане, много таких (метод обратной матрицы, метод Крамера и некоторые другие), которые не могут быть рекомендованы для вычислительной практики, так как они требуют для своей реализации очень большого объема вычислений и при некоторых неблагоприятных обстоятельствах могут приводить к большим ошибкам округления. Из точных методов, с вычислительной точки зрения наиболее удобен метод Гаусса или метод исключения неизвестных. Отметим следующие достоинства этого метода. [c.89]

Реализацию метода Гаусса можно организовать таким образом, что ошибка округления будет минимальной из всех возможных (метод главного элемента). Число операций, потребных для реализации этого метода, также минимально, [c.89]

Устойчивой называют такую схему, для которой ошибки округления, неизбежные при всяком счете, при уменьшении шагов аргументов (сгущении сетки) не приводят к большим искажениям решения. В противном случае схема называется неустойчивой. [c.84]

При вычислениях неизбежны ошибки округления, так как любое число представляется конечным количеством знаков. В процессе расчета эти ошибки могут накапливаться и быстро возрастать, поэтому результаты таких вычислений будут совершенно неправильными. Разностные схемы, расчет по которым не приводит к увеличению погрешностей из-за ошибок округления, называются устойчивыми. [c.191]

Рассматривая последовательность решений все с меньшей и меньшей ошибкой округления, можно исключать осцилляции на все больших расстояниях от поверхности нагружения. Было обнаружено, что необходимость уменьшения ошибки округления с ростом расстояния от поверхности нагружения непосредственно связана с увеличением кривизны графика функций sAf от Igs. [c.147]

На первый взгляд кажется, что можно неограниченно уточнять расчет, выбирая достаточно малый шаг h. И это было бы справедливо, если бы расчеты велись абсолютно точно. На самом же деле, чем меньше шаг, тем меньшие добавка Ау = /if (у, t) на каждом шаге и тем больше относительная ошибка округления, неизбежная в связи с ограниченностью разрядной сетки машины. Поэтому на практике методом Эйлера в чистом виде не пользуются, предпочитая более сложные методы, позволяющие, однако, вести интегрирование с большим шагом. [c.456]

Решение этой системы осуществляется методом прогонки (факторизации), который обладает малой чувствительностью к ошибкам округления. [c.96]

Равновероятное распределение встречается при статистическом описании рассеяния метрологических ошибок, например, ошибки округления при отсчете и др. кривая распределения дана на рис. 4, д. [c.23]

Для достижения достаточно высокой точности расчета следующие основные процедуры МКЭ выполняются с удвоенной точностью построение матрицы жесткости элемента, направляющих косинусов решение системы уравнений. Для решения системы уравнений используется модифицированный метод квадратного корня [15], который является наиболее устойчивым по отношению к ошибкам округления. [c.198]

ЦВМ и применяемого алгоритма решения. Практически это соответствует случаю, когда ошибки округления значительно меньше погрешности исходных данных или могут быть учтены, как погрешность исходных данных. [c.152]

Замечания 1. Для этой же задачи в примере 7-11 был получен ответ 1.046. Различие вызвано неточностью графических построений, а также ошибками округления значащих цифр три вычислениях. iBo всяком случае разница, составляющая только 1%, значительно меньше неточностей задаваемых характеристик насадок, которыми мы будем впоследствии пользоваться. [c.332]

Погрешность численного расчета определяется методической ошибкой и арифметической ошибкой округления результатов. [c.802]

Методическая ошибка зависит от выбора шага дискретного разбиения. Чем меньше шаг, тем меньше и методическая ошибка. Однако чем меньше шаг, тем большее количество циклов арифметических операций требуется повторить при решении задачи, следовательно, возрастает ошибка округления. Таким образом, существует оптимальное количество шагов разбиения, позволяющее решить задачу наиболее точно и с наименьшей затратой машинного времени. [c.803]

Рассмотрим ситуацию плохой обусловленности системы. Для вычисления треугольного разложения матрицы средних размеров (порядка 1000) требуется около 10 действий, и при выполнении каждого из них можно ожидать ошибку округления. Если в арифметике с плавающей точкой складываются два числа, и их экспоненты различаются, например, на два, то последние две цифры в меньшем числе будут потеряны [c.516]

Помимо случайных ошибок, в последние цифры используемых десятичных дробей входят ошибки округления. [c.459]

Заметим, что в действительности мы не можем получить точного решения разностной задачи, например задачи (1.51), (1.52). В лучшем случае мы получим машинное решение, которое отличается от точного из-за округления чисел в ячейках памяти машины. Обозначим й и / соответствующие разностные функции с учетом ошибки округления [c.213]

Подсчитаем ошибку аппроксимации разностного уравнения (1.51) с учетом ошибки округления 6 [c.213]

Наличие приближенного равенства здесь вызвано ошибками округления. [c.256]

К этому выражению необходимо добавить ошибку округления произведения с дисперсией о = а [c.452]

При практическом использовании метода итераций следует иметь в виду, что процесс вычислений будет сопровождаться ошибками. Как уже отмечалось, всегда будут присутствовать ошибки округления и возможны ошибки другой природы. Всякая вычислительная машина оперирует числами с мантиссой конечной длины, т. е. с множеством чисел, содержащим конечное число элементов. Такое множество, разумеется, не является полным, и последовательность, получаемая вычислительным путем, может вообще не иметь предела. Типичной является ситуация, когда последовательность зацикливается, т. е. л x s для всех п, начиная с некоторого. Существование предела такой последовательности возможно только, если период цикла 5 == 1. В этих условиях сформулированные ранее теоремы требуют уточнения. [c.72]

Аренц [3, 4] применил метод коллокаций к одномерным и двумерным задачам о распространении вязкоупругих волн в изотропной среде. Было обнаружено, что в точках, достаточно удаленных от поверхности нагружения, решение имеет колебательный характер, что объяснялось явлением дисперсии, связанной с зависимостью комплексных модулей от частоты. Впоследствии Кнаусс [60] решил ту же самую одномерную задачу методом Фурье и не обнаружил подобных осцилляций решений. Автор также занимался этим вопросом, и его неопубликованные исследования показали, что осцилляции, обнаруженные Аренцом, являются результатами погрешностей в численных расчетах и, в частности, обусловлены ошибками округления. [c.147]

Для того чтобы упростить построение оптимальной сглажи-ваюш,ей кривой и проконтролировать ошибки округления при численных расчетах, вводятся ортогональные полиномы. При этом определение значения п приводит к чрезвычайно ясному статистическому анализу. [c.160]

При реализации МНК-метода на ЭВМ, работающей с псевдочислами ограниченной длины, на результат решения задачи существенно влияют ошибки округления, что в конечном счете может привести к невозможности построения аппроксимации требуемой точности. [c.181]

Nq становится бесконечно большим при значениях—гпр1т , близких к 2, т. е. при—mpjmQ— , 99)А для случая / и 1,992 для случая II. Напомним, что найденное прежде по рис. 7-34 максимальное значение—гпр jniQ равно 2. Разница вызвана ошибками округления значащих цифр. [c.340]

При реализации такого подхода на ЭВМ ошибки округления приводят к нарушению ортогональности системы. Для компенсации эффекта, связанного с накоплением ошибок, используют реортого-нализацию, включенную в процесс ортогонализации для нахождения каждой функции ф4. Соответствующая формула имеет вид [c.28]

При реализации метода Гаусса на ЭВМ надо иметь в виду,, что арифметические операции в процессоре производятся с фиксированным количеством знаков. Так, для ЭВМ Минск-22 и Минск-32 операции производятся с точностью до 9 десятичных знаков, для ЭВМ M-22Q — до 11 знаков, для ЕС ЭВМ с одинарной точностью — до 7 знаков, а с двойной — до 16. Это приводит к ошибкам округления, которые возникают из-за усечения или округления исходных данных или из-за накопления погрешности в-ходе самого решения. Для метода Гаусса число операций умноже- [c.104]

При применении прямых методов получение достаточно точных решений связано с решением больших систем уравнений, решение которых затруднено из-за ограниченных возможностей вычислительных машин (память, быстродействие, ошибки округления). Поэтому при составлении программ решения больших систем линейных алгебраических уравнений, полученных при дискретизации вариационных задач, стремятся учесть особый вид магриц таких систем например, их малую заполненность, ленточную структуру и т. д. Такие системы можно решать на ЭВМ точными методами (Гаусса, Жордана), если использовать внешние запоминающие устройства и применять специальные приемы, направленные на экономию памяти и времени счета, например блочный метод Гаусса. [c.180]

Системы вариационно-разностных уравнений хорошо приспособлены для решения итерационными методами. Это становится очевидным, если учесть, что большинство итерационных методов можно трактовать как различные методы спуска из выпуклого программирования (см., например, [5.14]). При этом становятся ясными вопросы их сходимости. Важное достоинство итерационных методов в том, что они являются самоисправляющимися, т. е. не только не накапливают, но и исправляют ошибки округления. [c.180]

Исследование устойчивости разностной схемы отвечает на вопрос о поведении ошибо округления. Разностный оператор Ьн называют устойчивым, если в результате его при] енения ошибка, допущенная в исходном решении, убывает. Обозначим ошибку округления в точке i в момент i" через 6" а в момент i" через В результате действия оператора Lh на решение эти ошибки [c.215]

Этой проблеме посвящено много точных аналитических работ, причем исследовалось главным образом уравнение (3.4) с линейными граничными условиями. Следует подчеркнуть, что имеется несколько различных, но взаимосвязанных вопросов, в частности вопрос о сходимости, т. е. о том, стремятся ли решения разностных уравнений к решению нашего уравнения в частных производных, когда s и т -> О, и вопрос об устойчивости, т. е. вопрос о том, уменьшаются ли численные ошибки и ошибки округления с увеличением времени или увеличиваются. Фаулер [15] рассматривает вопрос о сходимости, изучая точные решения разностного уравнения (3.4). В работе [16] устойчивость уравнения (3.4) изучается методом, разработанным Нейманом в ней отмечено характерное превосходство неявных соотношений типа (3.11). В статьях Лойтерта [17] указывается, что сходимость возможна в некоторых случаях, в которых условие устойчивости не выполняется. Соотношения между сходимостью и устойчивостью рассматриваются также в работах [18, 19]. Последняя статья содержит довольно полное обсуждение этого вопроса с интересными численными примерами. В большинстве перечисленных выше работ подчеркивается, что сходимость и устойчивость зависят от формы начального и граничных условий. В них отмечаются трудности, с которыми приходится сталкиваться при исследовании линейных задач. В случае нелинейных задач эти вопросы пока еще практически не затрагивались. [c.460]

И вычисление множителей, и обратная подстановка связаны с делением на ведущие элементы. При этом алгоритм не может быть реализован, если какой-либо из ведущих элементов равен нулю. Если- же он близок к нулю, то ошибки округлений, совершенных в процессе вычисления, могут привести к значительным, погрешностям. Для того чтобы избежать их, применяют метод частичного выбора ведущего элемента на k-M шаге прямого хода в качестве ведущего берется наибольший (по абсолютной величине) эиемент неприведенной части k-ro столбца. Строка, содержащая этот элемент, переставляется с k-й строкой с тем, чтобы перевести ведущий элемент в позицию (А, k), Такие же перестановки должны производиться с элементами правой части Ь , Неизвестные в векторе х не переупорядочиваются, поскольку столбцы в А не переставлялись. . [c.53]

При использовании для исследования метода Рэлея — Ритца обычно сталкиваются с проблемой установления точности пО Дученных результатов. Она существенно зависит от способности функций, принятых в расчетах, в достаточной степени правильно аппроксимировать форму смещенной поверхности оболочки. Увеличение числа членов ряда в общ м приводит к улучшению точности результатов, но получающееся при этом увеличение размера матриц, ошибки округлений при вычислениях и стоимость машинного времени зачастую ограничивают требуемую точность результатов. [c.246]

Если ошибки округления бд и бе статистически независимы и имеют одинаковые дисперсии а = Д712, дисперсия погрешности произведения, обусловленной округлением сомножителей, равна [c.452]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...