Основные краевые задачи и методы их решения

Основные краевые задачи и методы их решения [c.167]

Если вариационные постановки для основных краевых задач математической физики и теории упругости известны давно, то для задач с односторонними ограничениями сформулированы только в последнее время. Одной из первых на эту тему является работа [379], в которой показано, что контактная задача теории упругости с односторонними ограничениями (задача Синьорини) сводится к вариационному неравенству. В дальнейшем вариационные неравенства и их приложения в механике и физике рассматривались в [26, 71, 85, 115, 167, 216, 283, 376, 381, 486 и др.]. В частности, статические и динамические контактные задачи теории упругости с трением вариационными методами рассматривались в работах [185—189, 326], контактные задачи для тел с трещинами — в [34, 75, 86, 164, 165, 175, 271, 365, 575], линейные и нелинейные контактные задачи теории оболочек — в [229, 310], а граничные вариационные неравенства применительно к решению контактных задач — в [138, 366—368, 432, 510, 534, 540]. Алгоритмы решения вариационных задач с ограничениями в виде неравенств, их теоретическое обоснование и вопросы численной реализации рассмотрены в [72, 111, 338, 420, 475 и др.]. Подробный обзор работ по применению вариационных неравенств в задачах механики твердого деформируемого тела дан в [365]. [c.82]

Решение нелинейных краевых задач механики деформируемого твердого тела осуществляется в этом случае численными методами (см. гл. 8) с использованием модельных представлений или обобщенных кривых циклического и длительного циклического деформирования ГЗ—7]. Если для оценки прочности и ресурса предполагается использование нормативных подходов [2], расчет напряжений проводится для основных режимов эксплуатационного нагружения и их многочисленных комбинаций с тем, чтобы выявить ситуацию с максимальными амплитудами напряжений и наибольшими повреждениями (см. гл. И). Для сокращения объема выводимой информации в этом случае анализ напряжений и деформаций осуществляется для заранее заданного набора сечений (типа 1 — il, 2 2 по рис. 12.1). [c.256]

Полученные уравнения (5.42), (5.44), (5.46) эквивалентны и выбор их должен определяться только простотой получения решения. Прежде чем приступить к решению уравнений, сделаем некоторые общие замечания об их свойствах. Все полученные уравнения нелинейны, так как в них искомые функции входят не в первой степени, что, как известно, чрезвычайно затрудняет получение решений. Кроме того, напомним, что согласно определению (5.39) на звуковой линии 5 = О, з < О соответствует дозвуковому, а 5 > О — сверхзвуковому потоку. Тогда легко заметить, что все основные уравнения [например (5.44) ] в дозвуковой области эллиптического типа, а в сверхзвуковой — гиперболического. Это также осложняет решение, так как методы его получения различны для эллиптических и гиперболических уравнений. Следует отметить, что задача о трансзвуковом потоке даже после упрощений остается одной из самых сложных в газовой динамике. Эти замечания касаются сложности решения краевых задач. Некоторые частные решения, имеющие практическую ценность, строятся достаточно просто. Рассмотрим два таких решения, которые позволяют выяснить особенность перехода через скорость звука в сопле Лаваля. [c.133]

Излагаемые в данной главе метод исследования закономерностей изменения предельных нагрузок и теория расчета элементов композитных конструкций по их обобщенным характеристикам опираются в основном на представления, вытекающие из постановки и методов решения краевых задач математической физики. [c.15]

Существуют некоторые условия, при которых напряженно-деформированное состояние оболочки заведомо обладает такими свойствами, и условия выявятся ниже, а пока мы постулируем, что они выполняются. Тогда в качестве приближенного подхода к решению задач теории оболочек может быть использован метод расчленения напряженно-деформированного состояния или, просто, метод расчленения. Его идея заключается в следующем. Основное напряженное состояние и краевые эффекты по своим свойствам существенно отличаются друг от друга. Поэтому существенно различны и те дифференциальные уравнения, которыми приближенно описываются эти напряженные состояния. На этом базируется основная идея метода расчленения строить на первых этапах расчета основное напряженное состояние и краевые эффекты раздельно (пользуясь для этого различными вариантами приближенных дифференциальных уравнений) и вводить их в совместное рассмотрение только для выполнения граничных условий, так как только эта операция и обусловливает их взаимодействие. К подробностям реализации метода расчленения мы вернемся в главе 9 и особенно подробно обсудим их в части IV, а сейчас обратимся к основному напряженному состоянию и примем (пока без объяснений) следующее [c.97]

Структура исходных уравнений нелинейной теории многослойных анизотропных оболочек довольно сложна, получить аналитическое решение уравнений (1.42), (1.43) непросто, позтому будем ориентироваться на их численное решение на ЭВМ, В последние годы самое широкое распространение и признание получила методика решения задач прочности оболочек вращения, согласно которой исходная система уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние конструкции в геометрически линейной постановке, сводилась к решению краевой задачи для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Этот прием в сочетании с методом ортогональной прогонки оказался настолько плодотворным, что проблема расчета осесимметричных оболочек вращения в классической постановке оказалась в основном завершенной [ 1.16]. [c.23]

Основная идея предлагаемого метода изучения контактных задач с учетом геометрической и физической нелинейностей соотношений теории тонких оболочек заключается в решении краевой задачи для системы (1.1) при явном задании связи контактного давления с нормальным перемещением (прогибом) ш срединной поверхности оболочки. Такой подход имеет следующие преимущества. Отпадает необходимость построения на каждом шаге итеративного процесса функций Грина, входящих в уравнение (1.3) классического метода решения контактных задач. Получение этих функций в аналитической форме невозможно, численное их определение представляет весьма трудоемкую процедуру. Контактное давление исключается из числа искомых и является непрерывной функцией, равной нулю на границах зон контакта. Итеративный процесс решения нелинейных уравнений совмещается с процессом уточнения областей контакта и становится единым процессом решения конструктивно, геометрически и физически нелинейной задачи. [c.27]

Итак, создание математических моделей процессов пластической деформации металлов и сплавов, включение их в соответствующие пакеты прикладных программ предусматривают глубокое изучение и практическое использование математического аппарата линейной алгебры, теории отображений, проекционно-сеточных методов, теории аппроксимаций. Необходимо также уметь записывать основные зависимости механики деформируемого твердого тела, в матричной форме, наиболее удобной для постановки и решения краевых задач с применением ЭВМ. [c.14]

В монографии представлены результаты теоретических и численных исследований, выполненных авторами в области механики и вычислительной математики слоистых тонкостенных анизотропных оболочек, а также неклассическая математическая модель нелинейного деформирования тонкостенных слоистых упругих композитных пластин и оболочек, отражающая специфику их механического поведения в широкой области изменения нагрузок, геометрических и механических параметров, структур армирования. Предложен и реализован эффективный метод численного решения краевых задач неклассической теории многослойных оболочек, основанный на идеях инвариантного погружения. Получены решения задач начального разрушения, устойчивости, свободных колебаний слоистых конструкций распространенных форм — прямоугольных и круговых пластин, цилиндрических панелей, цилиндрических и конических оболочек. Дана оценка влияния на характеристики напряженно-деформированного состояния и критические параметры устойчивости таких факторов, как поперечные сдвиговые деформации, обжатие нормали, моментность основного равновесного состояния, докритические деформации. Проведены систематические сравнения полученных решений с решениями, найденными при использовании некоторых других известных в литературе неклассических моделей, в том числе и в трехмерной постановке. [c.2]

Краевая задача для растущего тела. В монографиях [6, 7] и статье [19] исследуются процессы деформирования вязкоупругих тел при кусочно-непрерывном изменении их состава, массы или объема за счет притока к внешней поверхности нового материала. Моделирование таких процессов приводит к принципиально новым неклассическим задачам механики деформируемого твердого тела. Рассматривается постановка и предлагается метод построения решения общей безынерционной начально-краевой задачи для кусочно-непрерывно наращиваемого вязкоупругого стареющего тела. Формулируются основные теоремы. Изучаются некоторые качественные моменты эволюции напряженно-деформированного состояния растущих тел. [c.607]

Таким образом, сведения об основных законах, уравнениях и краевых задачах теории пластичности и ползучести приведены во многих монографиях, статьях и других публикациях [4—37, 39—42, 50—290], Однако разрозненность этих сведений затрудняет их использование. Настоящее издание является первой попыткой изложения основных законов и уравнений, а также основных методов решения краевых задач теории пластичности и ползучести в одной книге, которую можно было бы использовать как справочное пособие. [c.12]

В третьем разделе приведены основные законы и уравнения теории установившейся и неустановившейся ползучести, методы их применения при расчете элементов конструкций с учетом деформаций ползучести и решения краевых задач, а также методы расчета на прочность стержней, стержневых систем, цилиндров, пластин и дисков, работающих в условиях ползучести. Наиболее подробно рассмотрены законы и уравнения теории ползучести, применяемые при сложном напряженном состоянии твердого деформируемого тела. [c.12]

Интенсивное исследование численных методов решения вариационных задач оптимального управления и применение для этой цели ЭВМ началось в пятидесятых годах и развивалось, как уже отмечалось выше, параллельно с развитием общей математической теории оптимальных процессов. Основные усилия прежде всего были направлены на создание методов, использующих необходимые условия оптимальности в форме уравнений Эйлера — Лагранжа. Основные трудности, возникающие здесь, были уже кратко охарактеризованы выше в 8. Напомним их здесь еще раз, остановившись подробнее на примере краевой задачи (6.6) — (6.7). На основании принципа максимума дело сводится к следующей двухточечной задаче [c.198]

При рассмотрении указанных выше простейших объектов к символическому методу примыкает метод однородных решений. По этому методу решение задачи теории упругости иш ется в форме бесконечной суммы частных решений, удовлетворяюш их однородным краевым условиям на боковых поверхностях (параллельных срединной поверхности), но, вообще говоря, не краевым условиям на контурных поверхностях к этому агрегату решений прибавляется частное решение уравнений теории упругости, удовлетворяющее неоднородные краевые условия на боковых поверхностях. Основные моменты решения задачи заключаются (1) в определении корней трансцендентного характеристического уравнения однородных решений и (2) в установлении процедуры, определяющей произволы интегрирования однородных решений через заданные краевые условия на контурных поверхностях обычно для этой цели пользуются принципом возможных перемещений. [c.262]

В этом параграфе при формулировке краевых и начальных условий не будут вводиться ограничения математического характера на задаваемые функции. Дело в том что необходимая для разрешимости соответствующих задач та или иная степень их гладкости в основном определяется математическими методами, используемыми при решении. Применение методов теории потенциала, например, приводит к тому, что краевые значения смещений или напряжений должны принадлежать классу Г. — Л. [c.244]

Модельная задача. Как мы видели в предшествующ их параграфах настояп1 ей главы, уравнения моментной теории упругости дают пример эллиптических краевых задач с естественным малым параметром при старших производных. Для таких задач эффективным методом построения решений является метод Вишика--Люстерника [4], который сводится к согласованному построению основного итерационного процесса и решений типа погранслоя. Такой метод широко используется при решении задач об изгибе пластин. Однако одним из условий применимости метода Вишика — Люстерника является гладкость контура, что, естественно, исключается в задачах теории трещ ин. [c.130]

Итак, переход от классической модели деформирования слоистых тонкостенных пластин к той или иной корректной уточненной модели сопровождается увеличением не только порядка системы дифференциальных уравнений, но и спектрального радиуса матрицы ее коэффициентов и, как следствие, появлением быстропеременных решений, имеющих ярко выраженный характер погранслоев и описывающих краевые эффекты напряженного состояния, связанные с учетом поперечных сдвигов и обжатия нормали. Такая ситуация характерна не только для балок или для длинных прямоугольных пластинок, изгибающихся по цилиндрической поверхности, но, как будет показано ниже, и для элементов конструкций других геометрических форм — цилиндрических панелей, оболочек вращения и др. Отметим, что стандратные методы их решения, которые согласно известной (см, [283 ]) классификации делятся на три основные группы (методы пристрелки, конечно-разностные методы, вариационные методы, метод колло-каций и др.), на этом классе задач малоэффективны. Так, группа методов пристрелки, включающая в себя, в частности, широко используемый и весьма эффективный в задачах классической теории оболочек метод дискретной ортого-нализации С.К. Годунова [97 ], на классе задач уточненной теории оболочек оказывается практически непригодной. Методами этой группы интегрирование краевой задачи сводится к интегрированию ряда задач Коши, формулируемых для той же системы уравнений. Для эллиптических дифференциальных уравнений теории оболочек такие задачи некорректны (см., например, [1]), что при их пошаговом интегрировании проявляется в форме неустойчивости вычислительного [c.109]

Наибольшее распространение получили механические методы, которые в основном различаются характером расположения измеряемых баз и последовательностью выполнения операций разрезки и измерения деформаций металла. Напряжения в пластинах в простейшем случае определяют, считая их однородными по толщине, что справедливо только в случае однопроходной сварки. Так как разгрузка металла от напряжений происходит упруго, то по измеренным деформациям вырезанной элементарной пластинки на основании закона Гука можно вычислить ОН [214]. В случае ОСН при многопроходной сварке, применяемой при изготовлении толстолистовых конструкций, распределение напряжений по толщине соединения крайне неоднородно [86—88], поэтому достоверную картину распределения напряжений можно получить либо только по поверхности соединения [201], либо по определенному сечению посредством поэтапной полной разрезки образца по этому сечению с восстановлением поля напряжений с помощью численного решения краевой задачи упругости [104]. Последний экспериментальночисленный метод [104] будет рассмотрен подробно далее. [c.270]

Основные работы, посвященные решению задач о наращивании методами теории упругости, приведены в [5241. На основе теории упругоползучего тела в работе [494] исследовано напряженно-деформированное состояние в однородных телах при их наращивании. В более общей постановке эта задача рассматривалась в [171]. Установлению определяющих соотношений и исследованию краевых задач вязкопластических течений "твердых тел посвящены работы [208, 209]. Уравнениям деформирования не вполне упругих и вязкопластических тел посвящены работы [217—220]. Задача термоползучести для неоднородно-стареющего тела исследована в [94, 95]. Плоская задача вязкоупругости для неоднородной среды, а также влияние старения материала на напряженно-деформированное состояние около отверстий исследовались в [429, 430, 474]. [c.27]

Наиболее точный и естественный подход к исследованию патрубковых зон сосудов давления при всем многообразии условий их нагружения заключается в непосредственном использовании трехмерных расчетных схем, принимая во внимание реальные геометрию сосуда, давления, краевые условия и распределение нагрузок. Такой подход оказывается единственно возможным для адекватного моделирования поведения сосудов давления с отношениями 1/4 сравнительного анализа с предьщущей схемой. Его практическая реализация возможна, как, впрочем, и для осесимметричных схем, лишь с использованием численных методов, ориентированных на применение современных ЭВМ. Наиболее универсальным и эффективным для решения подобных задач оказьшается, как это было отмечено вьпие, метод конечных элементов. Вместе с тем использование МКЭ гщя решения трехмерных задач все еще остается проблематичным, особенно для задач нелинейного деформирования конструкций, когда кривая вычислительных трудностей и необходимого машинного времени поднимается, образно говоря, круче кривых напряжения в зоне концентрации сосудов с патрубками. [c.122]

Для исследования краевой задачи (3.48)-(3.53) применяем подход, основанный на методе Бубнова-Галеркина и связанный с приближенным описанием течения с помоп1ЬЮ конечномерных динамических систем. При построении галеркинской аппроксимации уравнений гидродинамики основным является вопрос о том, сколько базисных функций учитывать в разложении. Единственным критерием правильности конечномерного описания является сравнение его с точным решением (если оно известно), либо с экспериментом. Имеющийся опыт применения разложений Галеркина низшего порядка (см. п. 3.1.2) показал их эффективность при качественном исследовании весьма сложных неоднородных нелинейных термохимических и гидродинамических систем для тех ситуаций, когда ясно, какую картину течения мы хотим описать. [c.108]

Интегрируем дифференциальные уравнения безмоментной теории, учитывая только тангенциальные граничные условия, и строим, таким образом, основное напряженное состояние. Допустим, что такой расчет возможен и что он выполнен (условия существования решения краевых задач безмоментной теории и методы фактического получения этих решений рассматриваются в части П1). В нетангенциальных граничных условиях, которые при этом не учитываются, будут допущены невязки. Чтобы устранить их, прибавляем к решению уравнений безмоментной теории простой краевой эффект. В нем содержатся произвольные функции afi, iIJz или ijja, которые можно использовать для ликвидации невязок в нетангенциальных граничных условиях (при этом, конечно, появятся вторичные невязки в тангенциальных граничных условиях, но в части IV будет показано, что они существенно меньше первоначальных невязок). [c.126]

Анализ корректной разрешимости контактных задач при использовании различных теорий оболочек проведен в [13, 84, 214]. Применительно к осесимметричной контактной задаче для круговых цилиндрических оболочек математические аспекты использования моделей Кирхгофа — Лява, Тимошенко и учета трансверсального обжатия, выяснение условий кор->ектности задач, способы-их регуляризации рассмотрены в 130]. Для строгого изучения этих вопросов применены теория обобш,енных функций и методы решения некорректных задач. Приведены сведения из теории краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэ1 )фици-ентами и основные понятия теории обобш,енных функций. С помош,ью фундаментальной системы решений дифференциального оператора построены функции Грина и функции влияния для оболочек Кирхгофа — Лява и Тимошенко. Даны постановки задач о контакте оболочек между собой и с осесимметричными жесткими штампами. Методом сопряжения построены обобщенные решения, поскольку классическое существует только для моделей, учитывающих трансверсальное обжатие. Найдены обобщенные решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода, рассмотрены методы их аппроксимации классическими (методы регуляризации). [c.11]

Курс содержит четыре части, В первой из них, общей для всех частей, излагаются основные понятия кинематики и основные уравнения движения произвольной сплошной среды. Вторая часть посвящена из-ложению элементов некоторых разделов гидродинамики, уравнения движения идеальной и вязкой жидкости, аэродинамика, волновые движения у пограничный слой. Особое внимание в этом разделе уделено плоскопараллельным движениям и двумерным движениям вдоль криволинейных поверхностей. Теория фильтрации, которой посвящена третья часть у рассматривается с точки зрения применения методов гидродинамики к решению технических краевых задач. Последняя, четвертая, часть посвящена уравнениям теории упругости и применению их к некотх)рым конкретным задачам. Втюрая и третья части а также частично третья часть, независимы друг от друга и могут изучаться отдельно. [c.2]

В пятидесятых годах решение прямой задачи начинает внедряться в практику расчета и проектирования турбомашин и получает многочисленные примеры применения. Решение задачи относительно составляющих скоростей производится обычно по методу прямых и сводится к последовательности краевых задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений в естественной сетке с использованием кривизн (Г. Ю. Степанов, 1953, 1962) или в нолуфиксированной и в фиксированной сетках (Л. А. Симонов, 1950, 1957 Я. А. Сироткин, 1959—1963 Н. И. Дураков и О. И. Новикова, 1963 М. И. Жуковский, 1967). Решение задачи относительно функции тока получается методом сеток (Г. И. Майкапар, 1958 Я. А. Сироткин, 1964) или вариационным методом Галеркина (П. А. Романенко, 1959). Во всех случаях из-за нелинейности задачи применяются последовательные приближения, причем их сходимость проверяется или достигается (путем выбора шагов сетки или весовых коэффициентов) с помощью численного эксперимента. Расчеты в общей постановке задачи оказываются весьма трудоемкими и ориентируются в основном на применение современных ЭЦВМ. [c.148]

Аналогия между статическими и геометрическими соотношениями теории оболочек привела В. В. Новожилова (1946) к установлению уравнения в комплексной форме, где неизвестными являются комплексные перемещения. Этот способ применим только для линейных задач равновесия но при их решении он имеет явные достоинства. Уже в первой стадии разработки соответствующей теории были определены несущественные члены в разрешающих уравнениях. Введение комплексных функций позволило понизить вдвое порядок дифференциальных уравнений, что сделало систему уравнений более обозримой. Это имеет большое значение при решении задач с переменными коэффициентами. Например, при рассмотрении осесимметричной или обратносимметричной нагрузки для оболочек вращения задача сводится к уравнению второго порядка, где легко разобраться в осложнениях, вызванных наличием точек поворота. Типичным представителем такого случая является тороидальная оболочка (Е. Ф. Зе-нова, В. В. Новожилов, 1951 В. С. Чернина, 1955), Это замечание относится, однако, к любой оболочке неположительной кривизны в других случаях метод приводит просто к упрощению качественного анализа и нужных при решении выкладок (Р. Л. Малкина, 1954). Любопытно отметить, что существуют задачи, для которых краевые условия могут быть сформулированы в терминах комплексных усилий или перемещений,— в этом случае отпадает необходимость отделения вещественных и мнимых частей до получения решения (в аналитической форме). Задачи этого типа указаны в монографии К. Ф. Черных (1962, 1964), где излон ены все основные результаты, связанные с представлением соотношений теории оболочек в комплексной форме. Отметим из них следующие. [c.242]

Задача аналитического расчета полей рассеяния от дефектов весьма сложна и требует решения нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка со сложными краевыми условиями. Поэтому существующие расчетные методы основываются на ряде допущений и не могут претендовать на получение строгих количественных соотношений они позволяют установить основные закономерности, характерные для полей рассеяния от дефектов, и определить их топографию. Ниже рассмотрено влияние схемы соединения и расположения полузондов на чувствительность феррозондовой установки на основе качественной картины поля дефекта, полученной аналитическим путем. [c.308]

Многие изучаемые процессы (теплопроводность, диффузия, упругость, Электромагнетизм и др.) описываются линейными уравнениями с частными производными [21, 56, 208, 209, 249, 259, 260, 324, 353, 388, 413 и др.].10дним из наиболее эффективных методов решения краевых и начально краевых задач математической физики, описываемях линейными уравнениями с частными производными, является сведение их к интегральным уравнениям. Этот метод известен давно и называется методом потенциала [110, 205, 230], или методом граничных интегральных уравнений [237, 445]. Вначале он использовался в основном для теоретического исследования вопросов существования и [c.102]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...