Основной итерационный процесс

S 4] ОСНОВНОЙ ИТЕРАЦИОННЫЙ ПРОЦЕСС 307 [c.397]

Итак, можно считать, что построен основной итерационный процесс, который сводится к многократному решению уравнений вида (26.4.10). Это утверждение имеет условный характер, так как принимается, что известно решение системы (26.4.9). Справедливость такого предположения мы обсудим в 26.6, а пока заметим, что (26.4.10) представляет собой систему дифференциальных уравнений с двумя независимыми переменными 5i. 5а. так как уравнения (26.4.10) выражают условия на лицевых поверхностях, т. е. равенства, получаюш,иеся при С = — 1, и входящие в них неизвестные величины (26.4.4) представляют собой произвольные функции интегрирования (по С) и также зависят только от 5i, la- Таким образом, основным итерационным процессом в известном смысле решается основная проблема теории оболочек — сведение трехмерных уравнений теории упругости к двумерным уравнениям. [c.399]

Заключая параграф, отметим следующее обстоятельство. Исходное приближение основного итерационного процесса определяется уравнениями, которые в короткой записи выражаются двумя следующими равенствами (дополнительный индекс (0) отброшен) [c.399]

В развернутом виде первое из них эквивалентно формулам схемы (26.4.6), а второе — уравнениям, приведенным ниже под номерами (26.5.6), (26.5.7). Просмотрев все эти соотношения, можно убедиться, что в каждом из них в отдельности по меньшей мере один из коэффициентов при искомых величинах (26.4.1) не зависит от большого параметра Я, а остальные коэффициенты содержат %. в неположительных степенях. Поэтому при некоторых дополнительных предположениях (они будут обсуждаться ниже) можно принять, что основной итерационный процесс позволяет строить такие напряженно-деформированные состояния, для которых все величины Р имеют одинаковый асимптотический порядок, [c.399]

Рассмотрим более подробно полученную в 26.4 систему уравнений первого приближения основного итерационного процесса и будем сравни-вэт , ее с системой двумерных уравнений теории оболочек части I. [c.399]

В 26.4 описан итерационный процесс интегрирования уравнений теории упругости. В нем постулировалось, что, если найдено Р, т. е. получены величины, не отмеченные штрихом то можно определить и соответствующее Р, т. е. построить величины, отмеченные штрихом. Покажем теперь, что это действительно можно сделать, прибегнув к новому (вспомогательному) итерационному процессу. Вспомогательный итерационный процесс надо выполнять на каждом этапе основного итерационного процесса, и заключается он в следуюш,ем. [c.407]

Ограничение t сверху, вытекающее из (27.7.4). необходимо без него основной итерационный процесс ( 26.4) теряет смысл, так как он базируется а отбрасывании величин вида О а последние не будут малы при [c.410]

При выводе уравнений основного состояния слоя (основной итерационный процесс) предполагаем, что искомые функции имеют более медленную изменяемость по переменным о и чем по г. Такое предположение оправдано, поскольку внешние [c.35]

Здесь f r hx)— матрица, обратная матрице производных, эле-менты которой. Метод Ньютона всегда сходится, если начальное приближение выбрано достаточно близко к решению. Основное время при вычислениях по формулам (1.84) расходуется на обращение матрицы (х< )). Для сокращения этого времени матрицу вычисленную на ( +1)-й итерации, используют для вычисления не только х< + ), но и нескольких следующих приближений. Можно один раз найти /J (х ) и вычисления по (1.84) проводить при постоянной матрице. При этом скорость сходимости итерационного процесса замедляется, однако общий выигрыш во времени может быть большим. [c.31]

Второй подход, приводящий к методу Ньютона, более сложен в реализации, но позволяет во многих случаях ускорить сходимость итерационного процесса, а иногда является и единственным способом решения, приводящим к успеху. Рассмотрим его основную идею на примере системы двух нелинейных уравнений [c.15]

Отметим следующую важную особенность итерационного процесса автоматизированного проектирования. Первые циклы процесса выполняются, как правило, только для упрощенных моделей. Уточненные модели используются при разработке проекта на стадиях технического задания и проектирования (когда выбран основной вариант конструкции). [c.550]

Предлагаемая методика обладает, на наш взгляд, рядом достоинств. Во-первых, на каждом этапе итерационного процесса можно использовать методы классической теории упругости, которые для решения ряда задач, особенно плоских, хорошо разработаны. Во-вторых, если на каждом этапе решение строится по одной и той же методике, то оказывается возможной эффективная реализация метода на ЭЦВМ с использованием одной стандартной программы и числом циклов, обеспечивающим необходимую точность. Третьим преимуществом является возможность выявления качественно новых эффектов, что не всегда удается при использовании прямых методов [43]. В этом случае решение Uo можно рассматривать как основное, а ы,- — как поправки к нему, обусловленные неоднородностью тела. И, наконец, в отличие от предложений [98] и [204] изложенный метод применим не только для плоских задач, но и для пространственных, а также в случае анизотропных тел. Ниже на конкретных примерах будет проиллюстрирована эффективность итерационного метода. [c.45]

Построенный итерационный процесс без наложения дополнительных ограничений сходится к первой собственной форме колебаний. При использовании формулы Релея [(19) гл. IX] оценка для основной частоты [c.180]

Новой является во втором издании часть IV. В ней строятся некоторые итерационные процессы, позволяющие дать обоснование гипотезам, принятым в части II, но основное внимание уделено исследованию влияния условий закрепления на характер напряженно-деформированного состояния оболочки. [c.10]

Итерационный процесс для основного [c.278]

Так же, как это делалось для уравнений (19.2.9) и (19.3.2), можно убедиться, что для приближений (0), (1), (2), (3), когда величины в фигурных скобках обращаются в тождественный нуль, равенства (19.4.8) совпадают с уравнениями безмоментной теории. Отсюда следует, что полученный итерационный процесс позволяет с произвольной формальной точностью строить любое основное напряженное состояние (будь оно безмоментным или чисто моментным). Его можно поэтому назвать итерационным процессом для основного напряженного состояния. С математической точки зрения он эквивалентен безмоментному и чисто моментному итерационным процессам, взятым вместе. Однако с физической точки зрения такое объединение часто оказывается невыгодным. Результаты, даваемые безмоментным и чисто моментным итерационными процессами, с физической точки зрения отличаются друг от друга коренным образом. Первый из них определяет безмоментное [c.279]

В тех случаях, когда слагаемые чистого изгиба в недостаточной мере ограничены, для построения основного НДС могут быть использованы итерационные процессы, обобщающие соответственно способы (14.97) и (14.98) [c.479]

Тогда основную теорему, доказанную в предыдущем параграфе, можно сформулировать так. Пусть задан итерационный процесс [c.217]

При этом считаем, что числа и известны. Тогда из рассмотрения предыдущего случая становятся известными величины / = / 1 + / 2 и Q. По формулам (2.54) определяем /i 2 и /i2 по формулам (2.59) — Л и Л". Тогда по основной теореме итерационный процесс (2.18) сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем Qi = , причем в (2.18) следует [c.222]

В основе численных алгоритмов решения сформулированной задачи лежит итерационный процесс расщепления на одиночные задачи теплового и электрического полей и итерационный процесс линеаризации. Для численного расчета итерированных полей предлагаются различные аналитические и приближенные методы с последующим выбором основных оптимальных параметров электролиза [3]. [c.111]

Основное содержание работы связано с изложением иной концепции построения сеток, развиваемой, главным образом, в работах российских ученых в течение 30 лет [1]. Главная особенность подхода связана со специальным способом формализации критерия (Р), приводящему к нелинейному вариационному функционалу, в который входят как первые, так и вторые частные производные функций, реализующих отображение. Этот непрерывный функционал появляется естественным образом после рассмотрения дискретного функционала, минимизирующего меру относительной погрешности неравномерной сетки по сравнению с равномерной. Такая формализация приводит к системе уравнений Э-0 четвертого порядка, гиперболической в широком смысле. Это позволило рассмотреть новые более широкие типы краевых условий, а также разработать эффективные алгоритмы и программы построения сеток для весьма сложных областей. Экономичные и эффективные процедуры расчета сеток связаны с применением итерационных процессов, использующих как специальную нестационарную модификацию уравнений Э 0, так и прямые геометрические способы минимизации дискретных функционалов, формализующих все три критерия оптимальности. [c.513]

Наиболее эффективным и удобным для решения обобщенной задачи на собственные значения в случае высоких порядков матриц является метод одновременных итераций [ 59 ]. Основные достоинства метода следующие одновременно в итерационном процессе находится группа наименьших собственных чисел и векторов алгоритм быстро сходится в случае близких собственных чисел не требуется особый анализ. [c.51]

Как показывают числовые расчеты, итерационный процесс (7.23) сходится достаточно быстро, скорость его сходимости в основном зависит от глубины слоя чем больше относительная глубина слоя, тем быстрее сходимость. [c.252]

Разрешающие уравнения данной группы выводятся на основании асимптотического подхода. Сущность его заключается в определении напряженно-деформированного состояния пластины посредством разложения решений основных уравнений теории упругости в ряды по толщине с использованием итерационных процессов для определения коэффициентов разложений. Причем тот факт, что в полученные уравнения входят производные от усилий, приложенных к граням покрытия, позволяет эффективно использовать эти уравнения при изучении соответствующих контактных задач, а также исследовать асимптотический характер классических теорий. [c.460]

Основные свойства итерационных процессов. В данном разделе собраны известные результаты, касающиеся нужных нам для дальнейшего анализа свойств итерационных процессов. [c.407]

Если входной величиной для расчета является энергия, подобно тому, как это было выше, то в области пригодности асимптотических формул удобно использовать разложения, которые давали бы основные безразмерные характеристики движения непосредственно по значению энергии. Такие разложения могут быть достаточно просто получены при помощи итерационного процесса с использованием операций с рядами. Приведем результат. [c.399]

Таким образом, к-е. приближение для Яг, задаваемое выражением (4.101), как это видно из выражения (о), принимает значения, близкие к 1. Благодаря указанному условию сходимости итерационного процесса численно наибольшее собственное значение называют основной собственной частотой, а соответствующий этому значению вектор Хд 1 — основным собственным вектором. [c.291]

Для решения стационарных разностных задач ЕК в 4.3 предложен релаксационный алгоритм (4.46). Он содержит в себе три параметра релаксации дт, да и д , призванных управлять сходимостью итерационного процесса, К сожалению, проблема оптимального выбора этих параметров недоступна для современных методов теоретического анализа. В подобных случаях могут выручить численные исследования на тестовых задачах. Основное содержание настоящего параграфа составляют численные эксперименты по нахождению оптимальных значений параметров дт, да и д [60]. В результате обработки полученной информации найдено простое прави- [c.128]

Основные результаты. Релаксация является эффективным средством повышения скорости сходимости, стабилизации итерационного процесса (рис. 5.8). В особенности это заметно при больших Ка, когда даже незначительное отклонение какого-либо из параметров от оптимального значения пагубно отражается иа устойчивости алгоритма. Наиболее стабилизирующее влияние на вычисления оказывает параметр д , наименее существенна релаксация уравнения переноса тепла. Например, при Ка=10 установления итераций можно добиться посредством одного лишь да, выбирая его достаточно малым при дт—д —1. Но если при том же Ка положить да=1, то итерации не сходятся при любом выборе дт и При малых числах Рэлея (Ка <10 ) релаксацией уравнений переноса тепла и функции тока можно вообще не пользоваться, так как почти оптимальная сходимость достигается только за счет да. [c.132]

При построении основного итерационного процесса (1.2.4) предполагалось, что е ец, Ее (II, V). Для задач с двухсторонним отслоением эти условия не выполняются, поэтому нужно вводить коррективы в итерационную модель. Однако этим вопросом заниматься не будем, поскольку данные задачи состгшляют узкий класс и особого практического значения не имеют. [c.54]

Модельная задача. Как мы видели в предшествующ их параграфах настояп1 ей главы, уравнения моментной теории упругости дают пример эллиптических краевых задач с естественным малым параметром при старших производных. Для таких задач эффективным методом построения решений является метод Вишика--Люстерника [4], который сводится к согласованному построению основного итерационного процесса и решений типа погранслоя. Такой метод широко используется при решении задач об изгибе пластин. Однако одним из условий применимости метода Вишика — Люстерника является гладкость контура, что, естественно, исключается в задачах теории трещ ин. [c.130]

Мы не можем определить понятия большой и малый , однако напоминаем читателю, что приращения (6и, бГ) использованы вместо производных или скоростей (и, Т) — см. (3.3). Наш опыт работы с малыми приращениями показывает, что приращения нагрузки, превышающие 5 % от текущего значения, приводят к искажению результатов. С другой стороны, когда итерационный процесс встроен в программу, может случиться, что приращения будут составлять 10—15 % от текущего значения нагрузки. Нам кажется, что определение размера приращений, используемых в программе, — дело в основном опыта. Отличный обзор приведен в книге Оуэна и Хинтона [55]. [c.346]

Итак, если значения показателя изменяемости внешних сил 0 малы, то итерационная теория позволяет существенно повысить точность построения основного напряженного состояния, но для простого краевого эффекта она в смысле погрешностей эквивалентна теории Лява. Вообще говоря, погрешность расчета в целом не меньше, чем наибольшая из погрешностей, допущенных на отдельных этапах. Поэтому формально надо считать, что обе обсуждаемые теории приводят к одинаковой погрешности порядка О (/t ). Однако с точки зрения практических выводов, которые можно извлечь из статического расчета оболочек, значительно важнее правильно знать основное напряженное состояние, нежели простой краевой эффект. Это значит, что не следует пренебрегать возможностью более точно определить первое из них. Вместе с тем вторая оценка (27.9.1), разумеется, не окончательна. Ею не учитывается взаимодействие основного напряженного состояния с простым краевым эффектом и связанное с этим взаимное влияние содержа щихся в них погрешностей. Чтобы учесть это влияние, будем считать, что полное Напряженное состояние оболочки строится при помощи одного из итерационных процессов, описанных в главах 20, 21. В этом случае, как было показано на примерах, разобранных в цитированных разделах, ос- новное напряженное состояние может быть определено расчетом по безмо- [c.416]

Истолкование рассмотренных выше итерационных процессов как процессов совместного решения основной оютемы уравнений с дополнительным уравнением позволяет рассматривать их с обшей точки зрения на метод Ньютона — Рафсона, которая подробно развивается во многих монографиях ([366,35,481,212] и др.). В них детально об< ждены вопросы сходимости ь№тода. Мы только отметим, что для сходимости итерационного процесса метода Ньютона — Рафсона начальное прибдижение обычно не должно слишком сильно отличаться от искомого решения. В построенных выше итерационных алгоритмах по самому смыслу метода продолжения решения это требование удовлетворяется при достаточно малых величинах шага t по параметру продолжения X. [c.40]

Методика численного решения. Рассмотрим методику итерационного численного решения системы уравнений (21), (23) и (31). Каждая итерация состоит из решения уравнения (21) для некоторого размера концевой области трещины с проверкой условий (23) и (31). При выполнении последних двух условий получаем размер концевой области трещины и величину критической внешней нагрузки в состоянии предельного равновесия. При увеличении длины трещины итерационный процесс повторяется. Основным этапом численной схемы является решение уравнения (21), которое также выполняется по итерационной схеме, подобной методу упругих решений, если закон деформирования связей является нелинейным. Уравнения (21) представляют собой систему нелинейных сингулярных интегро-дифференциальных уравнений с ядрами типа Коши. Для их решения используем коллокационную схему с кусочно-квадратичной аппроксимацией неизвестных функций. [c.230]

В зависимости от выбора матрицы Н и вектора С получаются различные итерационные методы. Эти величины выбирают такими, чтобы формула (2.14) была согласована с (2.13), т. е. Х = НХ -ЬС. Основные итерационные методы простой итерации, Якоби, Гаусса— Зейделя, релаксационные. Для практической реализации итерационных методов необходимо выбрать способ ускорения сходимости и установить критерий окончания итерационного процесса. Способы ускорения сходимости весьма разнообразны, но часто основываются на оценке максимального Л (Н) и минимального та(Н) по модулю собственных значений матрицы Н. Идеальным критерием окончания итераций является норма вектора ошибки Ел, но непосредственно ее определить невозможно, так как точное решение X неизвестно. Поэтому для итерационного процесса (2.13) вводится вектор приращений (вектор псевдоневязки) ДХй= —Ха+1—Ха, связанный с вектором ошибки следующим равенством ДХ.,= (Н—1)Еа, где I — единичная матрица. Переходя к оценке по нормам, получим [c.35]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...