Уравнения двумерных течений

УРАВНЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ ТЕЧЕНИЙ [c.257]

Уравнения двумерных течений (164.15) описывают кинематическую картину течений. Динамическая картина при тех условиях, которые сформулированы в начале пункта, будет описываться при нестационарных течениях интегралом Коши и при стационарных течениях интегралом Бернулли — Эйлера. [c.258]

Некоторое представление о поведении потока вблизи линии Ь можно получить из рассмотрения обтекания наклонного кругового цилиндра [8]. Как будет показано в разд. 3.2, уравнения пограничного слоя (1) и (2), приведенные в этом разделе, не содержат ни V, ни у. Следовательно, эти уравнения такие же, как и в двумерном случае, и поэтому поведение отрыва почти полностью определяется этими двумя уравнениями двумерного течения. Уравнение количества движения (3), разд. 3.2, относительно V определяет составляющую поверхностного трения, параллельную образующей цилиндра, что дает ненулевую постоянную вдоль образующей [6]. [c.113]

Уравнения (7-1.16) и (7-1.17) снова можно считать основными уравнениями двумерного пограничного слоя для течения неньютоновской жидкости. Разумеется, их решение требует введения частных уравнений состояния. [c.259]

Двумерное течение несжимаемой жидкости. Пусть скорость жидкости имеет две составляющие и w . Тогда из уравнения неразрывности сле- [c.294]

Физическая и математическая модели процесса. Решение поставленной задачи целесообразно выполнить, используя модель пограничного слоя, которую-можно рассматривать как частный случай более общей модели течения и теплообмена вязкой сплошной среды. Система уравнений, описывающая стационарное-двумерное течение и теплообмен несжимаемой жидкости в плоском турбулентном пограничном слое, может быть представлена в следующем виде уравнение энергии [c.66]

Стационарные двумерные течения идеального газа. Уравнения сохранения массы, импульса и энергии, описывающие двумерные стационарные течения идеального газа, могут быть записаны в следующем виде [c.34]

Распределение температуры стенки по длине и радиусу теплообменного аппарата с витыми трубами можно определить, используя различные методы расчета пограничного слоя при заданном внешнем течении, которое рассчитывается при решении системы уравнений, описывающих течение гомогенизированной среды. Это могут быть численные методы расчета либо методы, основанные на приближенной замене исходной системы двумерных уравнений системой одномерных уравнений. Последние методы являются в ряде случаев более простыми и удобными, поскольку для их уточнения можно использовать опытные данные по коэффициентам теплоотдачи и гидравлического сопротивления, полям скорости и температуры. Такой метод расчета пограничного слоя был разработан в работе [15]. В этом методе одномерные уравнения решаются с использованием быстро сходящихся последовательных приближений. Для замыкания системы уравнений при расчете пограничного слоя по этому методу в гл. 4 экспериментально обосновываются связи между безразмерными параметрами для расчета теплообмена и гидравлического сопротивления при неравномерном теплоподводе и использовании гомогенизированной модели течения. [c.26]

Рассмотрим, далее, наиболее важный частный случай безвихревого движения на плоскости, к исследованию которого сводится задача о двумерном течении в осевой турбомашине или в неподвижных решетках, и дадим независимый вывод всех соотношений для расчета потока в естественных координатах. Будем исходить из уравнений неразрывности и отсутствия вихрей плоского безвихревого. движения газа в системе координат ср, ф (ср — потенциал скорости [c.348]

Ранее были описаны результаты расчета одномерных пульсирующих режимов распространения волн тепловыделения в области линейной неустойчивости стационарной волны. В недавней работе [21] рассмотрена аналогичная задача, но для двумерного течения. Принятая модель процесса описывается уравнениями [c.158]

Будем для простоты рассматривать двумерное течение несжимаемой жидкости при отсутствии внешних сил. Уравнение пограничного слоя можно записать в виде [c.621]

Как указывалось в разд. 2.7, уравнения Стокса не дают конечных результатов для двумерных течений в неограниченных областях различного типа. В ограниченных системах, для которых решение получено, картина течения одинакова во всех плоскостях, параллельных, скажем, плоскости ху. Тогда можно записать [c.76]

Введение функции тока является унифицированным методом описания двумерных течений несжимаемой жидкости. Для таких течений нахождение решения уравнений движения сводится к определению единственной скалярной функции. К сожалению, в обш,ем случае трехмерных течений этот метод неприменим. В каждом конкретном случае должны находиться свои решения уравнений движения, зависяш,ие от геометрии задачи. Суш ествуют, однако, классы трехмерных течений, которые можно единственным образом описывать при помош,и одной скалярной функции. Каждому из таких течений присущ некоторый вид симметрии. [c.116]

Представляется, таким образом, что сопротивление на единицу длины длинного цилиндра, движущегося в сосуде, часто можно аппроксимировать при помощи решений одномерных и двумерных задач с границами. Напомним, что формула Ламба [39] (см. разд. 2.7) для цилиндра, выведенная с учетом инерционных эффектов, дает аналитическое решение задачи о движении цилиндра в безграничной среде, в то время как из уравнений медленного течения в этом случае невозможно найти конечное решение. Однако в действительности при низких скоростях формула Ламба оказывается применимой только в случае, когда границы находятся очень далеко. Например [66], при N-rq = 0,001 влияние границ, расположенных на расстоянии 500 диаметров, полностью преобладает в выражении для силы сопротивления (вычисленной в приближении уравнений медленного течения) и не исчезает вплоть [c.396]

При безвихревом двумерном течении функция тока ф также удовлетворяет уравнению Лапласа. Это можно показать путем подстановки выражений (6-8) в соотношения (6-17) [c.130]

В то же время для двумерного течения уравнение (6-49) принимает вид [c.130]

Таким образом, с помощью геометрического преобразования (9-43) мы снова получим уравнение Лапласа. Следовательно, истинный физический случай можно представить как фиктивный изотропный в преобразованных координатах. Использование этого приема при применении графического метода решения задачи о двумерном течении в анизотропной среде будет описано ниже, в п. 9-3.3. [c.200]

Анизотропная среда. В тех случаях, когда пористая среда анизотропна, так что имеет различные значения в различных направлениях, мы должны использовать уравнение Лапласа (9-44), полученное на основе уравнения (9-42). Для двумерного течения, к которому только и применим метод построения сеток течения, в уравнении (9-44) остаются только первые два члена. Для того чтобы найти сетку течения, необходимо сначала изменить заданную геометрию границ рассматриваемой области в соответствии с преобразованием (9-43), а затем построить сетку течения для преобразованной таким образом области получаемое при этом решение удовлетворяет уравнению (9-44). [c.205]

Ниже приводятся основные уравнения движения и энергии Для излучающего газа, рассмотрено, какие упрощения могут быть сделаны в случае течения в пограничном слое, н.а типичных примерах проиллюстрирована математическая формулировка задачи о совместном действии конвекции и излучения в пограничном слое, обсуждены методы решения и результаты. В связи с тем что при рассмотрении радиационного теплообмена основ-, ное внимание будет уделено получению общего решения уравнений пограничного слоя, соответствующие течению в пограничном сЛое упрощения и автомодельные решения будут приведены только для двумерного установившегося пограничного слоя с излучением. Однако преобразованные уравнения двумерного пограничного слоя будут представлены в обще,м виде, так что из них можно будет легко получить некоторые частные случаи. Для простоты анализ будет проведен только для серого газа и ламинарного режима течения. Распространение этих результатов на случай несерого газа потребует лишь учета в радиационной части задачи селективности излучения. [c.525]

Во многих случаях дифференциальные уравнения в частных производных ламинарного пограничного слоя могут быть заменены системой обыкновенных дифференциальных уравнений посредством введения новых переменных, называемых автомодельными переменными. Шлихтинг [27] приводит исчерпывающий анализ преобразований подобия уравнений пограничного слоя для сЛучая течения неизлучающего газа. В работе [39] описано приложение теории однопараметрических групп (развитой в [40]) для уменьшения числа независимых переменных в системе дифференциальных уравнений в частных производных. В этом разделе будет описано преобразование уравнений стационарного двумерного пограничного слоя при ламинарном обтекании клина сжимаемой излучающей жидкостью. Из этих общих преобразованных уравнений для клина легко получить соответствующие уравнения для течения на плоской пластине и в окрестности передней критической точки. [c.536]

Изучение проблемных вопросов сверхзвуковой аэродинамики шло параллельно с разработкой методов, пригодных для практического расчета различных случаев сверхзвуковых течений. Одним из основных рабочих методов был классический метод характеристик. С созданием электронно-вычислительных машин главный его недостаток — трудоемкость вычислений — был снят, что значительно расширило область применения метода. Однако и раньше пытались упростить метод характеристик достаточно простой метод интегрирования уравнения характеристик (характеристики одного из семейств заменялись параболами) разработал А. А. Дородницын (1949), линеаризованный метод характеристик (обобщение метода расчета двумерных течений) предложил А. Ферри (1946). Оба метода использовались в случаях осесимметричного обтекания тел вращения. [c.328]

Покажем, как получаются уравнения для этих моделей. Рассмотрим двумерное течение несжимаемой жидкости пОд действием пространственно периодической внешней силы 1, которую можно представить в виде конечного числа членов ряда Фурье [c.335]

Хотя внешние течения при малых числах Маха требуют дальнейшего исследования, из анализа, набросок которого только что был дан, следует, что необходимо по крайней мере для двумерных течений рассматривать подходы более сложные, нежели простое применение линеаризованного уравнения Больцмана иначе можно разыскивать несуществующие решения. [c.163]

Другая связь между методами элементарных решений и теорией Чепмена — Энскога прослеживается в двумерных течениях действительно, обычно в линеаризированном исследовании нельзя удовлетворить условиям на бесконечности ( 6 гл. 6), и приходится искать методом Чепмена — Энскога внешнее решение из уравнений сплошной среды, в то время как внутреннее решение выражается через элементарные решения. [c.214]

Переходя к более интересным задачам обтекания твердых тел, естественно сначала исследовать случай малых чисел Маха. Здесь мы встречаемся с аналогом парадокса Стокса (см. разд. 13 гл. VI), который не позволяет применять простейшую линеаризацию для двумерных течений. Можно, однако, рассмотреть обтекание трехмерных тел. Течение около осесимметричного тела при малых числах Маха рассчитывалось [134] вариационным методом, примененным к интегральной форме БГК-уравнения. В явном виде вариационные расчеты были сделаны для случая сферы [135]. [c.420]

Из этих уравнений следует, что для двумерности течений необходимо, чтобы характеристики, определяющие геометрию течения Я], Яг, Яз, также зависели только от двух координат q , q2. Последнее выполняется, если координатные иоверхности плоскости ( з = = onst) параллельные или пересекающиеся по прямой. [c.257]

Дифференц. ур-ния течения вязкого теплопроводного однородного газа в ламинарном II, с. у поверхности тела произвольной формы могут быть получены из На-вье — Стокса уравнений, отбрасыванием членов, к-рые несущественны при достаточно больших числах Рейнольдса, когда толщина П. с. мала по сравнению с размерами тела. Основы такого подхода были заложены Л. Прандтлем (Ь. Ргаш111) в 1904. В случае стационарного двумерного течения эти упрощённые ур-ния На-вье — Стокса, известные как ур-ния П. с., или ур-ния Прандтля, представляют собой нелинейные дифференц. ур-ния параболич. типа и имеют вид ур-ние сохранения количества движения [c.662]

Воспользуемся этой оценкой толщины пограничного слоя для вывода уравнений пограничного слоя из уравнений газовой динамики. Рассмотрим переход от уравнения для -компоненты в системе Навье—Стокса [первое уравнение системы (1-4)] к уравнению для дг-компоненты пограничного слоя в потоке газа с большой скоростью. Как показано на рис. 1-1, х и (/ — ортогональные координаты. Скорость в направлениях х и у обозначим соответственно через ими. При отсутствии массовых сил и стационарном двумерном течении уравнение движения для х-ко.мпоненты можно написать в виде [c.20]

Соответствующая система уравнений движения идеальной жидкости принципиально может быть решена, однако получение решений, зависящих от четырех переменных (трех координат и времени), практически невозможно. Известны некоторые попытки получения численных решений в случае установившегося движения, а также при дополнительных упрощающих предположениях. Решение пространственных задач, несомненно, имеет методическую и теоретическую ценность, однако сложность соответствующих вычислений и частный вид получаемых результатов не удовлетворяют потребностей современной практики расчетов и экспериментальных исследований турбомашин. Другой, более распространенный, подход к расчету пространственного потока в решетках турбомашин состоит в решении предельных двумерных задач установившихся течений осесимметричного течения через решетки с бесконечным числом лопаток, двумерного течения на осесимметричных поверхностях токов в слое пере.менной толщины и вторичных течений в поперечных сечениях двумерного потока. Упомян гтые двумерные задачи допускают практически приемлемые методы решения и в своей совокупности дают приближенное решение задачи пространственного течения, [c.273]

Известны общие решения уравнения (47.20) для некоторых частных видов функции li x). Приближенный подход к решению этого уравнения при произвольной функции hyx) на основе вихревого метода указан С. В. Валландером [8] применительно к рассматриваемой задаче двумерного течения в турбомашине. Вопрос о построении точных решений уравнения (47.20) существенно продвинут в задачах газовой динамики, в которых такое же уравнение получается в плоскости годографа скорости (при /г = ]Л/С). [c.344]

Г. Г. Черный выполнил исследования, сыгравшие ключевую роль в создании и развитии простых ( инженерных ) моделей течения. В связи с проблемой квазиодномерного описания течений в каналах Л. И. Седов и Г. Г. Черный в 1954 г. обосновали процедуру осреднения параметров с сохранением интегральных характеристик потока. Путем линеаризации уравнений закрученного течения Г. Г. Черный в 1956 г. получил критерий, определяюгций коэффициенты расхода и тяги сопла. Как много позже показали двумерные расчеты, этот критерий применим при закрутках, уменьшаюгцих коэффициент расхода на десятки процентов. В те же годы в рамках модели радиально уравновешенного течения он сформулировал и решил ряд задач оптимизации ступени турбомашины. [c.11]

При получении этого уравнения не учитывалась двумерность течения в пористом грунте, т.е. перетекание жидкости в направлении, касательном к Г, что, строго говоря, верно лишь при = 0. Поэтому оно используется лишь на достаточно малом начальном интервале о < г < Тн< 1. [c.304]

Рассмотрим теперь чисто деформационную компоненту вторичных течений. Типичным примером двумерного течения с чистой деформацией является соударение двух плоских струй, движущихся навстречу друг другу. Для этого течения существует аналитическое решение уравнений Навье-Стокса в критической точке. Направив ось Х1 по нормали к плоскости течения, имеем III =0, 112 = Кх2 11з = —Кх . В этом случае иох = 8112/дх 811 /8x2 = 0, а инвариант тензора скоростей деформации равен 5 = О.ЬЗктЗкт = Из уравнений (3.2) и (3.3) получается [c.584]

Примеры численных расчетов, сравнение с экспериментом. Для описания двумерных течений использовались уравнения пограничного слоя, а для трехмерных — уравнения Рейнольдса. Плотность в определяюгцей системе уравнений могла быть переменной, но не зависела от давления. Для вычисления давления использовался итерационный метод искусственной сжимаемости. [c.588]

В случае двумерного течения, перпендикулярного оси кругового цилиндра, не существует решения уравнений Стокса, обращающегося в нуль на поверхности цилиндра и остающегося конечным вдали от него. Эта двумерная задача сильно отличается от трехмерной задачи об обтекании сферы. Указанное обстоятельство иногда называют парадоксом Стокса. Тот факт, что этот парадокс должен возникать в двумерном случае, можно просто продемонстрировать при помощи элементарных соображений, следующих из теории размерности. Так, при обтекании кругового цилиндра радиуса а необходимо рассматривать не силу, действующую на все тело, как это имеет место для трехмерных течений, а только силу, действующую на единицу длины тела, скажем F. Так как в уравнениях Стокса плотность жидкости р не входит в качестве параметра, то F может зависеть только от [л, а, и. Возможна только одна безразмерная комбинация FlyiU из этих переменных. Отсюда следует, что F iU = onst. Такая связь, очевидно, невозможна, так как из нее получается, что сила на единицу длины не зависит от размера цилиндра. Если положить а - 0, что соответствует исчезновению цилиндра, то сила [c.65]

Краковский и Чэрнес [33] обобщили парадокс Стокса на произвольные двумерные течения, неограниченные внешне во всех направлениях. Они показали, что не существует решения уравнения Стокса, везде отличного от тривиального решения v = О, которое было бы ограничено в области течения. Граница области течения предполагалась состоящей из произвольного числа препятствий, которые могут быть открытыми или замкнутыми поверхностями или даже отдельными точками, в которых скорость равна нулю. [c.66]

Осесимметричные течения или обтекание тела враш,ения параллельно его оси враш ения, представляют пример трехмерных течений, которые могут быть охарактеризованы при помош и единственной скалярной функции тока, как это имеет места и в случае двумерных течений. Разделение переменных в этом случае возможно для более широкого класса систем ортогональных координат, что обсуждается в гл. 4. В другом обш,ем методе получения решений линеаризованных уравнений движения используются обобш енные функции Грина. Так как получаемые решения содержат интегралы, они во многих случаях не так удобны, как решения в виде рядов. В других более специальных методах используются зеркальные отражения и аппарат вариационного исчисления. В последующих разделах этой главы некоторые из этих методов рассматриваются подробно, причем особое внимание уделяется тем из них, которые наиболее широко используются для целей этой книги. [c.78]

Вариационный подход на основе уравнений медленного течения применялся к теории смазки, где предполагалось, что в идеализированной постановке процессы в подшипнике могут быть рассмотрены при помощи двумерной задачи о движении двух близко расположенных параллельных поверхностей, скользящих одна по другой и разделенных тонкой пленкой смазки. Неоднородное уравнение в частных производных второго порядка, которое впервые ввел Рейнольдс [25] и он же приближенно его решил, как уже отмечалось ранее, представляет основу для этих методов. Некоторые авторы получили численные и аналоговые решения двумерных уравнений Рейнольдса, а Хейз [14] представил общий метод, используя вариационный подход. [c.112]

Уравнение (1-1) является основой для определения I в большинстве приборов для измерения вязкости. Тапример, двумерное течение может быть аппроксимировано течением жидкости в узком кольцевом зазоре между двумя большими цилиндрами. Когда один цилиндр вращается, жидкость, которая прилипает к твердым границам, подвергается сдвигу, определяемому приложенным крутящим моментом. В случае очень узкого зазора скорость жидкости меняется линейно от 20 [c.20]

В случае плоского двумерного течения можно получить дифференциальное уравнение линии тока, написав, например, что при течении в плоскости ху u = dxldt, v = dyldt, отсюда следует, что [c.60]

Пусть ось 2 перпендикулярна пластинам. Для двумерного течения можно положить скорость v и все производные по у равными нулю. Примем ось 2 совпадающей с вертикальным направлением h. Тогда в уравнениях (6-28) dhldx = Q, а dhfdz=l. Поскольку течение предполагается установившимся, все производные скорости по времени равны нулю. Мы будем считать также течение параллельн оструйным и направленным вдоль оси х при этом скорость W равна нулю. Из уравнения неразрывно- [c.125]

В некоторых случаях анализ двумерных быстро изменяющихся потоков со свободной поверхностьК) можно выполнить в предположении о безвихревом характере движения. Если движение жидкости начинается из зоны (или СОСТОЯ.НИЯ) покоя и пограничные слои, развивающиеся на твердых границах, заполняют малую часть от общего пространства, занятого текущей жидкостью, то это предположение справедливо и для реальных жидкостей. Поскольку движение является потенциальным, то при рассмотрении двумерных течений задача сводится к решению уравнения Лапласа (6-53). Простым [c.373]

В качестве примера безвихревого движения около тела рассмотрим двумерный поток в направлении оси х, обтекающий неподвижный цилиндр, ось которого нерпендикулярна направлению течения. Уравнение ноля течения получается из потенциальной теории [Л. 1], причем линии тока соответствуют постоянным значениям функции тока [c.394]

Свободные турбулентные течения, показанные на рис. 16-1, имеют одно важное свойство — то же, что и течения в пограничном слое, рассматривавшиеся ранее во всех случаях ширина Ь золы смешения мала по сравнению с ее протяженностью по направлению оси х, и градиент скорости в направлении оси у велик по сравнению с градиентом в направлении оси д . Это в точности те же предположения, которые были сделаны Пранд-тлем для упрощения уравнений движения как в случае ламинарного, так и в случае турбулентного пограничного слоя (см. 8-2 и 12-3). Следовательно, для установившегося двумерного течения однородной несжимаемой жидкости в случае свободной турбулентности уравнения движения и неразрывности будут такими же, как уравнения Прандтля для пограничного слоя с нулевым градиентом давления, а именно [c.431]

Для двумерных течений положение более сложно. Действительно, если рассмотреть, например, течение около осесимметричного тела, то можно доказать, что выводы леммы 3 справедливы, даже если отбросить условие (6.2) и требовать просто однозначности и ограниченности массовой скорости при г оо. Это следует из асимптотического анализа (Черчиньяни [5]) решения линеаризованного уравнения Больцмана для двумерных течений, когда доказывается, что условие (6.2) выполняется, если при г оо массовая скорость однозначна и ограничена. Чтобы получить нетривиальное решение для двумерных течений, приходится допустить логарифмическое поведение массовой скорости при г оо. Таким образом, при помощи линеаризованного уравнения Больцмана нельзя получить равномерную аппроксимацию распределения скорости и приходится прибегать к методу сращивания внутреннего решения (определяемого линеаризованным уравнением Больцмана) и внешнего решения, справедливого при г > ИМ. Последнее можно найти разложением по числу Маха, предварительно растягивая пространственные переменные. При формальном разложении по степеням М видно, что решение во внешней области подобно разложению Гильберта, если газодинамические переменные в приближении низшего порядка определяются несжимаемым течением Озеена (Черчиньяни [5]). [c.163]

При решении задач об обтекании тела, находящегося в покое при фиксированной температуре, возникает трудность, связанная с использованием линеаризованного уравнения Больцмана [68]. Ситуация совершенно аналогична так называемому парадоксу Стокса в линеаризованной теории вязких течений [69]. При линеаризации около максвеллиана тела /о в двумерном течении не существует решения, ограниченного на бесконечности (за исключением случая /г = О, т. е. / = /о). Для доказательства этого заметим, что Н удовлетворяет линеаризованному уравне- [c.377]

Рассмотрим систему уравнений двумерного турбулентного пограничного слоя сжимаемой жидкости на продольно обтекаемой пластине с нулевым градиентом давления, полученную Ван Дрийстом [12]. Если тур- булентное течение разложить на осредненное и на пульсационное движения и пренебречь молекулярным переносом количества движения и теплоты, то уравнение движения и энергии можно представить в следующей форме уравнение движения [c.242]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...