Метод элементарных решении

Следует заметить, что метод разделения переменных не является единственно возможным методом для решения этих задач метод Винера — Хопфа полностью эквивалентен методу элементарных решений. Однако, по мнению автора, метод, который будет описан в нескольких следующих параграфах, более эффективен и проще в обращении, особенно в случае, когда другими методами нельзя найти аналитическое решение и необходимо прибегнуть к приближенному или качественному описанию. [c.172]

Другая связь между методами элементарных решений и теорией Чепмена — Энскога прослеживается в двумерных течениях действительно, обычно в линеаризированном исследовании нельзя удовлетворить условиям на бесконечности ( 6 гл. 6), и приходится искать методом Чепмена — Энскога внешнее решение из уравнений сплошной среды, в то время как внутреннее решение выражается через элементарные решения. [c.214]

Приложения метода элементарных решений для течения Куэтта см. в статье [c.216]

Метод элементарных решений [c.320]

Как мы только что видели, задачи для полупространства, связанные с уравнением (3.1) или эквивалентным ему уравнением (3.10), можно решить аналитическими средствами. Для течений газа между параллельными пластинами, таких, как течения Куэтта и Пуазейля, или дли переноса нейтронов в слое получить аналитические решения не удается. Однако метод элементарных решений можно использовать для того, чтобы найти решение в виде ряда и представить себе качественное поведение этого решения. [c.334]

Это нестрогое рассуждение подтверждается при изучении режима, близкого к свободномолекулярному (б->0.) Такое исследование может основываться или на методе итераций, описанном в разд. 9 гл. V [19], или на ином использовании метода элементарных решений [18]. В обоих случаях устанавливается, что формула (5.27) верна, и это означает, что при 6—>О вклады более высокого порядка, обусловленные кинетическими слоями, уничтожают член порядка 1/6 в (5.23), но оставляют слабую расходимость при 6->0 (существенно связанную с молекулами, движущимися параллельно стенке). Поведение расхода при больших (формула (5.23)) и при малых (формула (5.27)) значениях б указывает, что для расхода существует по меньшей мере один минимум. Этот минимум давно обнаружен экспериментально Кнудсеном [20], а затем и другими авторами для длинных труб различного поперечного сечения. Исследование, проведенное выше, качественно объясняет наличие минимума, точное положение которого для плоских слоев и течений с более сложной геометрией должно находиться другими методами (см. разд. 5 гл. УП). [c.341]

Например, автор данной книги предпочитает метод элементарных решений потому, что он сразу же дает общее решение уравнения (10.5), справедливое даже для задач, которые нельзя решить точно ни тем, ни другим методом, в то время как метод Винера — Хопфа приводит к тому же результату только после сложного контурного интегрирования. С другой стороны, некоторые исследователи отдают предпочтение методу Винера — Хопфа, поскольку он определяет L u s) сначала только для мнимых и и = где — переменная, соответствующая х [c.371]

Для указанных тел чаще всего нет возможности получить элементарные формулы для определения напряжений, деформаций, перемещений. В то же время существуют некоторые общие пути решения задач, основанные на уравнениях, описывающих деформацию упругой среды под нагрузкой. Последовательное применение такого подхода, в принципе, дает возможность исследования сил упругости и перемещений в элементе конструкции любой формы. Эти уравнения и методы их решения изучаются в курсе теории упругости и пластичности. [c.6]

Одной из эффективных разновидностей такого способа оказывается использование в некоторых задачах вначале тех решений, которые получены каким-либо элементарным методом, например, найдены в курсе сопротивления материалов. Подстановка их в уравнения теории упругости приводит к некоторым несоответствиям (противоречиям), анализ которых позволяет корректировать предварительное решение и найти удовлетворительное для практики приближенное решение (более строгое, чем исходное элементарное решение). [c.30]

Естественно, что любой метод численного решения сингулярных уравнений должен опираться на те или иные специальные квадратурные формулы. Разобьем контур на элементарные участки и будем полагать плотность постоянной в пределах каждого из них, обязательно связав ее значение со значением в центре участка (разбиения в так называемой основной точке). Тогда, вычисляя интеграл в той или иной основной точке, придем к интегральной сумме, в которой надо опустить слагаемое, соответствующее отрезку, которому принадлежит исходная основная точка. Укажем также один прием, позволяющий непосредственно переходить к несобственным интегралам. Для этого воспользуемся представлением уравнения (3.1) в иной (регулярной) форме [c.56]

Так как уравнение (а) представляет собой линейное дифференциальное уравнение, то сумма нескольких решений этого уравнения также будет его решением. В силу этого можно производить наложение элементарных решений, полученных в этом параграфе, и находить новые решения, представляющие практический интерес. Ниже будет рассмотрено несколько примеров использования метода наложения. [c.56]

В табл. 1 приводятся значения множителя т, вычисленного по двум элементарным методам, упомянутым выше, и по точной формуле (47)1). j 3 этой таблицы можно видеть, что элементарное решение, основанное на гипотезе плоских сечений, дает очень точные результаты. [c.91]

Наряду с аналитическим методом и методом регулярного режима для решения задач нестационарной теплопроводности могут быть использованы также метод конечных разностей, метод элементарных балансов и другие методы. [c.373]

Остается сказать несколько слов о комплексе решений в целом. Имея в виду, что поставлен вопрос об оптимизации всего комплекса решений в целом, если учесть, вдобавок, что оптимизация даже элементарных решений обычно не относится к числу легких задач, внешняя сложность схемы может внушить представление о дебрях , куда лучше не забираться со сложным аппаратом теории выбора решений и достаточно громоздкими математико-статистическими методами. Рассматриваемый комплекс решений не относится к простым, все же чисто внешнее впечатление от схемы сильно сгущает краски. На ней совмещены а) последовательность действий, связанных с технологическим процессом б) последовательность действий, связанных с выбором решений в) зависимость распределений. Каждая из перечисленных схем, взятая отдельно и выраженная с помощью соответствующей символики, выглядела бы гораздо проще. С другой стороны, как уже отмечалось, рассмотренный пример встречается не так уж часто, и в большинстве случаев математическая модель комплекса решений гораздо проще. [c.49]

В заключение надо сказать несколько слов о тех схемах и вычислительных приемах, с которыми можно познакомиться в этой книге. Одна из целей, поставленных автором, заключалась в том, чтобы, по возможности, раскрыть перед инженером разнообразие и богатство возможных применений даже элементарных математико-статистических методов при решении технико-экономических вопросов. Конечно в книгу не включены методы, не имеюш,ие прямого отношения к теме. Но, с другой стороны, использована любая возможность помочь читателю проследить, каким образом, казалось бы, отвлеченные схемы, например, метода моментов или марковской цепи, приобретают смысл удобного инструмента инженерного расчета. Автору представлялось важным ввести в книгу возможно больше идей и понятий современной теории выбора решений в широком смысле слова. Потребность в этом большая, так как ни одна из отечественных или переводных работ не содержит сколько-нибудь полной и интерпретированной для условий нашей страны информации такого рода. [c.248]

Под элементами балочного тина понимаются тела, у которых один из размеров (длина) много больше двух других. Выше ( 3) уже отмечалось, что для расчета таких элементов в настоящее время применяются, главным образом, методы сопротивления материалов. Однако это не исключает необходимости разработки способов расчета их методами теории упругости, что, с одной стороны, позволит уточнить пределы применимости элементарных решений, а с другой — дает возможность рассматривать конструкции, для расчета которых элементарные методы не применимы (например, балки-стенки). [c.48]

Введение. В предыдущей главе мы получили функции Грина для многих случаев, интегрируя подходящим образом выбранные частные решения по контуру, лежащему в плоскости комплексного переменного. Такой же метод можно применить и к другим случаям. В самом деле, он является наиболее простым и наиболее прямым путем при решении многих задач теплопроводности. В этой главе мы применим этот метод к решению тех задач, которые уже были решены элементарными методами, и к другим задачам, которые или до сих пор еще не решены совсем, или же разобраны только с помощью операционного метода Хевисайда ). [c.221]

Развитие метода численного интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными [Л. 43] и применение его к процессам теплопереноса [Л. 68] привели к решению ряда нелинейных задач и задач с переменными граничными условиями. Весьма полезным оказался метод элементарных балансов [Л. 3]. Наибольшее развитие численные методы получили при внедрении в практику исследований электронных цифровых вычислительных машин (ЭЦВМ). Наряду с ЭЦВМ широкое развитие получили аналоговые вычислительные машины. [c.10]

Решение двухмерной задачи распределения температур и тепловых потоков в ошипованной экранной поверхности по приводимой схеме должно производиться с помощью счетно-решающей техники. Ввиду сложности программирования могут быть использованы приближенные методы конечно-разностная схема [Л, 28], либо метод элементарных тепловых балансов, который использовался в ряде приводимых нни расчетных исследований. [c.118]

Для решения задачи на ЭЦВМ Урал-2 применялся метод элементарных тепловых балансов, при котором система уравнений (4-59), (4-61) — (4-64) заменялась алгебраической. Была использована стандартная программа решения линейной алгебраической системы уравнений методом Гаусса. [c.142]

Из аналитических методов наиболее успешно используется теория, разработанная Н. Н. Рыкалиным. В его работах [1, 2] применен и развит метод элементарных источников теории теплопроводности, который в сочетании с принципом наложения позволил получить сравнительно простые и наглядные решения для ряда задач по распространению тепла в свариваемых изделиях. Однако применение указанного метода ограничено рядом допущений рассматриваются тела только такой формы, для которых применен метод отражения теплофизические свойства материала не зависят от температуры не учитываются выделение и поглощение теплот фазовых и структурных превращений. [c.411]

Элементарные решения для простых осесимметричных задач были получены еще в XIX в. Для решения более сложных задач о пластинках, прямоугольных в плане, получили дальнейшее развитие методы А. Навье и М. Леви. С их помощью были решены многие практически важные задачи. Особого внимания заслуживает книга Б. Г. Галеркина в которой рассмотрены различные условия опирания и различные способы нагружения тонких плит. Большой интерес представляет также книга А. Надаи Однако эти методы приводят к решениям лишь для сравнительно узкого класса областей. [c.253]

Однако ясно, что этот эффект нельзя устранить полностью и при меньших значениях S, так как молекулы, обладаюш ие вектором скорости, почти параллельным стенке, оказывают ош утимое влияние на движение газа, перемеш аясь вниз по потоку на расстояние среднего свободного пробега. Это рассуждение подтверждается исследованием режима, близкого к свободномолекулярному (S 0). Такое исследование может быть основано или на методе итераций, который будет описан в гл. 8 (Черчиньяни [9]), или на ином использовании метода элементарных решений (Черчиньяни [7]). В обоих случаях [c.191]

Метод элементарных решений связан с методом Чепмена — Энскога по крайней мере с двух точек зрения. Во-первых, разложение решения на дискретную и непрерывную части отражает (по крайней мере в простейших модельных уравнениях) отделение решения Чепмена — Энскога (справедливого вдали от твердых границ и некоторого начального состояния) от решения в переходной области, описываемой кинетическими слоями. Во-вторых, элементарные решения особенно эффективны при исследовании задач связи для методов Гильберта и Чепмена — Энскога (особенно для установления граничных условий). Это продемонстрировано нахождением коэффициента скольжения для модельного уравнения БГК. Для более общих модельных уравнений задачу определения граничных условий аналитически решить, вообще говоря, нельзя. Но всегда можно получить довольно точное описание решения, оценивая коэффициенты разложений или поправки к модельным уравнениям низшего порядка. В частности, отделяя нормальные и поперечные степени свободы, можно найти в квадратурах температурный скачок (Черчиньяни [10] гл. 6), результат оказывается очень близким к точному. [c.214]

Следует отметить, что метод разделения переменных не является единственно возможным для решения этих задач метод Винера — Хопфа [1—3] полностью эквивалентен методу элементарных решений. Обсулдение этого вопроса будет продолжено в разд. И. [c.320]

На основании этих фактов часто утверждают [44—46], что метод решения, опирающийся на использование обобщенных аналитических функций, является излишне сложным и приводит к громоздким результатам. Эта критика сопровождается рекомендацией использовать для полупространственных задач метод Винера — Хопфа [1—3]. Пока нет сомнений, что любую задачу, которая решается методом Винера — Хопфа, можно решить методом элементарных решений и обратно, выбор того или иного метода определяется личным вкусом исследователя. [c.371]

Фазовую скорость и затухание возмущения можно определить экспериментально, если считать это возмущение локально плоской волной (что в общем случае неверно, поскольку существует вклад от континуума). Трудность состоит в том, что имеется приемник, который в принципе не позволяет рассматривать эту задачу как полупространственную, особенно из-за того, что иногда его помещают очень близко к пластине (на расстоянии, не превышающем среднюю длину свободного пробега [50,51]). Пренебрегая возмущением от приемника, можно исследовать эту задачу как полупространственную [52] методом элементарных решений. [c.372]

Бесспорно, единственными методами, которые приводят к хорошему согласованию с экспериментом, пока являются метод элементарных решений, использованный Бакнером и Ферцигером [52], и метод аналитического продолжения, использованный Сировичем и Тёрбером [47]. Выбор между этими двумя методами— вопрос более тонкий. Совпадение с экспериментальными данными немного лучше в методе аналитического продолжения, как видно из приведенных выше примеров. Однако следует заметить, что метод элементарных решений должен давать точное решение, если его применять к достаточно сложным модельным [c.375]

Остановимся еще на одном методе численного решения пространственных задач теории упругости [141]. Имеются в виду приемы непосредственного решения функциональных уравнений, получаемых из тождеств (1.13) и (1.15), когда на поверхности известны смещения или напряжения (и соответственно неизвестны напряжения или смещения). В этом случае предлагается осуществлять какую-либо дискретизацию поверхности 5 и в качестве неизвестных задавать значения напряжений или смещений в центральных точках. Для их определения вне области задается некоторая совокупность точек (равная по количеству числу элементарных областей), в которых и требуется выполнение тождеств (1.13) или (1.15). Вопросы фактической реализации данного метода (в сущности, сводящиеся к оптимальному выбору указанных точек) рассмотрены в [100]. Здесь же показано, что если осуществить полигонализацию поверхности, то все интегралы вычисляются в замкнутом виде. [c.587]

Проверка возможности использования решений плоской задачи для круглого датчика осуществлялась численно— методом элементарных балансов [91. Расчет велся только для одного значения Хд/Я,м = 50 с гарантией попадания в зону kl = onst. Результаты расчета подтвердили правомочность замены осесимметричной задачи плоской. Определено было также искажение линий тока при расположении датчика на поверхности изделия, в случае малых значений числа Био (при больших числах Био задача получается аналогичной задаче расположения тепломера в массиве вследствие симметрии полей температур и потоков). При малых числах Био, т. е. при внутреннем сопротивлении датчика к/Хц значительно меньшем, чем внешнее сопротивление 1/а, поправочный коэффициент близок к единице. [c.69]

Выражения (4.32) показывают, что в сечении треугольной стенки у = onst нормальные напряжения Ох не зависят от координаты х, а напряжения Оу и Хху распределены по лине11ному закону. Элементарное решение методами сопротивления материалов для Тху дает распределение по параболе, а не линейное. [c.84]

При решении конкретных технических задач практически приемлемым является метод конечных разностей Е. Шмидта или метод элементарных балансов А. П. Ваничева. Эти методы основаны на допущении возможности замены непрерывного процесса скачкообразным как во времени, так и в пространстве. [c.206]

На рис. 4-14 дано графическое сопоставление ре.чультатов расчета по методу элементарных балансов с вычислениями по аналитическим решениям для среды с постоянными физическими свойствами. [c.78]

В 1890 г. Хевисайд разработал ставший знаменитым операционный метод для решения систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, встречающихся в теории электрических цепей. Для этого случая Хевисайд дал элементарное обоснование своего метода. Затем он обобщил ) его на дифференциальные уравнения в частных производных электромагнитного поля и теплопроводности и получил целый ряд новых решений, причем этим методом не только удалось найти решения еще нерешенных задач, но и получить решения новых типов, например решения, специально соответствующие большим или малым промежуткам времени. Математическая строгость этих решений оставалась довольно сомнительной, и поэтому появилась настоятельная потребность математически строго обосновать всю теорию. Первый шаг в этом направлении был сделан Бромвичем ) [2], который в своей классической статье получил контурный интеграл с операционным выражением Хевисайда в качестве подынтегральной функции. Далее он доказал, что этот интеграл удовлетворяет дифференциальному уравнению и начальным условиям, а позже оценил интеграл обычными методами контурного интегрирования. Его идеи были в дальнейшем развиты в книге [4] и нашли широкое использование в теории теплопроводности. Подобный метод, в котором также применяется контурный интеграл, был разработан Карслоу [5] (см. также приложение 1), но в его методе подын- [c.292]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...