Гильберта разложение

Метод Гильберта разложения по малому параметру [c.132]

МЕТОД ГИЛЬБЕРТА РАЗЛОЖЕНИЯ ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ 143 В виде [c.143]

Легко видеть, что приведенное разложение по е отлично от разложения Гильберта. В частности, первый член разложения f x, ), являющийся первым членом разложения по t члена f t, х, ) в ряде Гильберта, есть не зависящее от времени локальное распределение Максвелла. Подставляя разложения (7.41) в уравнение (7.40) и приравнивая коэффициенты при равных степенях б, получим df(0) [c.144]

Иногда именно разложения (7.46) называют решением Гильберта и о методе Гильберта говорят как о методе, пригодном лишь для описания процессов, происходящих в -масштабе. [c.145]

Процедура перехода от разложения Гильберта к разложению Энскога — Чепмена, данная в начале этого параграфа, несколько Отличалась от только что изложенной. Там использовались решения уравнений (7.6), из которых исключались производные по времени с помощью условий совместности (7.13) и полагалось затем Г —О при > О, что было законно, так как рассмотрение велось в некоторый выбранный момент времени t—0. Легко проверить, что при этом решения уравнения (7.6) тождественны с решениями /( ) [c.158]

Разложение (1.10) есть не что иное, как ряд Гильберта (см. 3.7). [c.323]

Если в разложениях Гильберта (1.10) и (1.15) ограничиться двумя членами (навье-стоксовское приближение), то с точностью до членов порядка 2 их мо -кно заменить соответствующими разложениями Энс-кога—Чепмена с помощью формул (8.41) и (8.42) главы III [c.324]

Сингулярный характер метода возмущений при 8 О обусловлен тем, что на 8 умножаются все производные, входящие в уравнение Больцмана. Несмотря на это, будем искать решение в виде ряда по степеням 8 (разложение Гильберта) [c.116]

Необходимо отметить, однако, что мы действовали формально.. Поэтому встает очевидный вопрос когда допустимо разложение Гильберта Мы попытаемся ответить на этот вопрос позже ( 4). Сейчас же обратим внимание на предостережения, следующие из-нашего знания макроскопических теорий. Мы знаем, что в определенных ситуациях уравнения невязкой жидкости нереалистичны и неприменимы хуже того, регулярные методы возмущений не позволяют исправить в следующих приближениях неудовлетворительные свойства описания газа как невязкой жидкости. [c.121]

Наше разложение по существу равносильно перегруппировке разложения Гильберта в соответствии с некоторым новым критерием. Поэтому мы должны сохранить основной результат разложения Гильберта, являющийся необходимым условием построения замкнутой макроскопической теории из уравнения Больцмана, а именно то, что функция распределения зависит от временной и пространственных переменных только через р° . Другими словами, [c.123]

Преимущества и недостатки разложений Гильберта и Чепмена — Энскога [c.128]

Мы уже указывали, что при помош и разложения Гильберта нельзя получить равномерно пригодные решения. Это следует нз того, что решения уравнений невязкого газа невозможно уточнить так, чтобы они описывали вязкие пограничные слои, даже путем учета поправок высших порядков, а также из того, что параметр г входит в уравнение Больцмана сингулярным образом, нз результатов исследования нестационарных проблем (где сингулярные члены вводятся высшими приближениями) и т. д. Все это, однако, не препятствует тому, чтобы оборванное разложение Гильберта с любой заданной точностью удовлетворяло уравнению Больцмана в подходяш им образом выбранных пространственно-временных областях (которые мы будем называть нормальными областями) при условии, что расстояния от известных сингулярных поверхностей конечны, а е достаточно мало. Рассмотрим кратко этот вопрос. [c.128]

В методе Чепмена — Энскога делается попытка преодолеть одну из многочисленных неоднородностей разложения Гильберта. В качестве исходной здесь используется макроскопическая информация о том, что, кроме кинетических слоев (порядка е), в окрестности границ суш ествуют и вязкие слои (порядка 8 /2), и дается единое описание как вязких слоев, так и нормальных областей. В то же время этот метод ликвидирует неоднородность финального слоя , так как в нем учитываются вклады различных порядков по 8 в производные по времени от пространственных производных. На самом деле факты существования вязких слоев и финального слоя взаимосвязаны, и в теории Чепмена — Энскога проста принимается во внимание существование и практическая важность режимов с, (еЛ 1 (где Т ж д. — характерные время и длина Т можно заменить другой характерной длиной, отличной от д). [c.130]

В методе Чепмена — Энскога оператор (рР) (существование которого доказано по крайней мере в асимптотическом смысле для 8 О при помощи разложения Гильберта) разлагается в ряд по дифференциальным операторам, несмотря на то, что о свойствах (рР) ничего не известно. Очевидно, что такой метод может вводить посторонние решения. Проиллюстрируем это на примере оператора Agi [c.131]

Предложенный метод Ы 1) идентичен методу Чепмена — Энскога вплоть до приближения Навье — Стокса. Дальнейшие приближения аналогичны разложению Гильберта существенными отличиями будут только следующие вместо линеаризованного оператора Эйлера входит линеаризованный оператор Навье — Стокса полная система уравнений сохранения выписывается на каждом втором (а не на каждом) шаге. [c.132]

Дополнительный множитель г появляется из-за сделанного выше предположения о допустимых начальных состояниях. Разложение Гильберта /я формально удовлетворяет уравнению Больцмана поэтому после подстановки в уравнение (2.1) имеем [c.134]

Чтобы получить уравнение, содержащее только т, запишем /я (х, I, е) = fн (х, I, 8т е) и разложим последнее по степеням е. Это приводит к перегруппировке ряда по степеням е, даваемого разложением Гильберта [c.134]

Выставить начальное значение для разложения Гильберта значит, выбрать то частное разложение Гильберта, которое описывает определенную задачу действительно, фигурирующие в разложении Гильберта величины р должны быть физическими величинами р, когда разложение Гильберта справедливо, т. е. после нескольких средних времен свободного пробега. Мы не моя ем сказать, что начальные значения р для решения Гильберта — зто просто р , так как это было бы равносильно требованию, чтобы асимптота (решение Гильберта) кривой (данное решение) пересекала кривую нри t = О, что заведомо бессмысленно. Вместо этого мы должны потребовать, чтобы на больших временах полное решение / отличалось от fн на пренебрежимо малую величину. В частности, вклад р , (х, t) остатка в гидродинамические переменные должен стремиться к нулю при т -> оо этого легко достичь, используя уравнение (5.11) и полагая [c.135]

Ситуация иная в случае пограничных слоев. Мы уже знаем, что разложение Гильберта полностью ие замечает не только кинетические пограничные слои, но также и вязкие пограничные слои последние выявляются при помощи метода Чепмена — Энскога и метода, кратко описанного в 4. В то же время кинетические слои порядка 8 опускаются всеми описанными до-сих пор разложениями по степеням е чтобы восстановить их, мы должны применить растянутую переменную X = х1 г, аналогичную переменной т, использованной выше для начального слоя. [c.136]

Второй метод решения интегрального уравнения Фредгольма получается вследствие применения теоремы Гильберта — Шмидта, которая гласит о том, что всякая функция, представленная истокообразно при помощи ядра т (s) а (x s), разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье по фундаментальным функциям этого ядра. Эти функции есть кривые нормальных прогибов и в нашем случае данная теорема означает возможность разложения кривой прогибов и эксцентриситетов в ряд по формам колебаний рассматриваемого ротора. [c.187]

Во-вторых, результаты, полученные методом задачи Римана — Гильберта, охватывающим структуры из бесконечно тонких плоских экранов или экранов с осевой (центральной) симметрией, стимулировали поиск подходов, позволявших бы также эффективно анализировать электродинамические свойства решеток других типов. Эта проблема частично решена с появлением метода, в основе которого лежит аналитическое преобразование матричных уравнений типа свертки [25, 57, 58, 92, 93]. Методологическая основа у этих подходов общая — обращение части оператора некорректного исходного операторного уравнения. Отличает их техника выполнения процедуры полуобращения (решение задачи сопряжения теории аналитических функций и вычисление главных частей в разложении Миттаг — Леффлера мероморных функций), а также то, что в первом подходе выделяется и обращается статическая часть задачи (и = 0), а во втором — часть задачи, отвечающая определенной геометрии периодического рассеивателя. По существу при этом использовалась возможность явного аналитического решения задач статики и дифракции плоских волн на системе идеально проводящих полуплоскостей [38, 40]. Недавно полученные в [94—96] результаты, видимо, также могут послужить основой для создания новых вариантов метода полуобращения. Эффективность последнего подтверждается практическим решением проблемы дифракции волн в резонансной области частот на периодических решетках основных типов 124, 25, 58] идеально-проводящих эшелеттах, решетках жалюзи и ножевых, плоских ленточных и решетках из незамкнутых тонких экранов, решетках из брусьев металлических и диэлектрических с прямоуголь- [c.8]

Представление о нормальных функциях распределения лежит в основе традиционных методов решения уравнения Больцмана (или других кинетических уравнений). Оно было введено Гильбертом в 1912 г. Для этого великого математика уравнение Больцмана явилось прекрасным примером нелинейного интегродиффе-ренциального уравнения, и Гильберт рассмотрел его с математической точки зрения. Предложенный им метод решения не очень удобен для физических приложений. Проблема была рассмотрена вновь с аналогичной точки зрения Чепменом и независимо Энско-гом. Их методы (незначительно различающееся в деталях) дали идентичные результаты и с тех пор были объединены в известный метод Чепмена — Энскога. Сущность этого метода заключается в систематическом построении нормального решения в виде разложения в ряд вблизи состояния локального равновесия. Параметром разложения фактически служит величина градиентов однако разложение не является тривиальным рядом Тейлора (что приводило бы к некоторым трудностям), а представляет собой более тонкую процедуру. В качестве окончательного результата в приближении первого порядка непосредственно получаются выражения для коэффшщентов переноса, которые можно вычислить в явном виде для различных межмолекулярных потенциалов. Численные значения этих коэффициентов во многих важных случаях прекрасно согласуются с экспериментом. [c.94]

Необходимо отметить, что входящие в разложения (8.27) функции Д ) отличны от функций /( ), входящих в разложение (7,3) Гильберта. Действительно, функции являются функциями от полных и их производных. Но последние в свою очередь являются рядами по б. Для того чтобы перейти к гильбертовским функциям /( ), необходимо разложить функции /W по и после этого собрать в разложении (8.27) члены при равных степенях . Коэффициенты при е равны гильбертовским функциям Различие между функ- [c.156]

В мгтоде Эпскога — Чспмзна параметр входит в решение более сложным, вообще говоря, не аналитическим образом. Решение, получаемое в том же приближении (при одинаковом числе членов разложения) по методу Энскога — Чепмена, может оказаться более точным, чем в методе Гильберта, [c.159]

В главе III (см. 3.6—3.8) показано, что разложение Гильберта— Энскога — Чепмена во внутренних точках течения дает решение, асимптотически сходящееся к решению уравнения Больцмана при числах Кнудсена, стремящихся к нулю. Однако при любом сколь угодно малом числе Кнудсена вблиаи границ имеется область, в которой Этот ряд не представляет решение уравнения Больцмана. Как мы видели в R.6—3.8 (и тто [c.317]

Очевидно, ЧТО если подставить оборванное разложение Гильберта в уравнение Больцмана, последнее будет выполняться с ошибкой порядка 8 . Поэтому можно использовать разложение Гильберта для аппроксимации определенных решений (нормальных решений) уравнения Больцмана со сколь угодно малой ошибкой при достаточно малом 8 (строгие оценки в случае линеаризованного уравнения Больцмана приведены в работе Грэда [6]). [c.129]

К тому же выводу мояшо прийти, если заметить, что в разложении Гильберта предполагается, что дf дt и дf дli имеют одинаковый порядок с /, в то время как они порядка flг всякий раз, когда изменения / на масштабе среднего свободного пробега существенны. Еще одной недопустимой областью для разложения Гильберта является финальный слой , т. е. эволюция на временах порядка 1/8 иа таком масштабе величина дf дt гf пре-небреяшмо мала по сравнению с /, а разложегше становится неравномерным, ибо дf дlL f стремится стать того же порядка величины, что и дf дt. [c.129]

В соответствии с проведенным анализом заключаем, что нормальные решения аппроксимируют (для достаточно малых 8) решения любых задач, если только указанные выше слои исключены. Однако для того чтобы решить дифференциальные уравнения, которым в соответствии с методом Гильберта подчиняются параметры течения необходимо дополнить их соответствующими начальными данными, граничными условиями или условиями сращивагшя на ударной волне, т. е. нуяшо пройти через те области, где теория не имеет места. Очевидно, для завершения теории мы должны решить следующие три проблемы связи через слои, внутри которых разложение Гильберта теряет силу [c.129]

Основной результат метода Чепмена — Энскога заключается в возвращении к макроскопическому описанию Навье — Стокса — Фурье путем соответствующего разложения определенных решений уравнения Больцмана. Таким образом, можно ожидать, что теория Чепмена — Энскога гораздо точнее теории Гильберта. С другой стороны, рассматривая высшие приближения метода Чепмена — Энскога, мы получаем дифференциальные уравнения все более высокого порядка (так называемые барнеттовские и супербарнеттовские уравнения), относительно которых ничего неизвестно, нет даже должных граничных условий. Эти уравнения более высокого порядка никогда не имели заметного успеха в описании отклонений от механики газа как континуума. Более того, предварительный анализ проблемы граничных слоев, по-видимому, дает одинаковое число граничных условий для приближений любого порядка (см. следующий параграф), в то время как порядок производных увеличивается. [c.130]

Ясно, что такое разложение есть только частный пример из бесконечного числа возможных разложений этого типа. Наиболее общее разложение основано на оборванном разложении производной по времени (разлоясение (3.5), оборванное на п = М) и определенных условиях, регулирующих вклады различных порядков в параметры течения (условия (3.7) для п Ф М + 1) к А = 1, 2, 3,. . . ). Разложение Гильберта соответствует значению [c.132]

Закончим этот параграф замечаниями по поводу часто задаваемого вопроса сходятся ли разложения Чепмена— Энскога и Гильберта В общем это трудный вопрос, хотя для частных случаев сходимость можно доказать или опровергнуть в рамках линеари- [c.132]

Как отмечалось выше, теория Гильберта неполна, а чтобы сделать ее полной, необходимо решить три задачи связи о начальном, пограничном и ударном слоях. Те же проблемы возникают и в случае разложения Чепмена — Энскога, а такя е и в случае модифицированного разложения, предлояленного в 4. Мы рассмотрим сначала задачу о начальном слое, следуя работе Грэда [6]. Полная теория доляша заниматься сращиванием упомянутых разлоя ений с произвольными начальными данными, однако такая теория включает в себя решение нелинейных интегро-дифферен-циальных уравнений д практически мало полезна. Действительно, принимая во внимание характер гильбертова и аналогичных ему разлоя ений, мы моя ем ограничиться выбором начального условия того же типа, что и само решение, т. е. условия, сводящегося при 8 О к максвелловской функции. Итак, начальные данные произвольны в рамках условия, согласно которому их МОЖНО записать в виде м + е/дг, где — максвелловская функция. [c.133]

Заметим, что можно вычислить вклад тг-го порядка в р - (х, 0), т. е. р (х), с помощью заданной в начальный мамент времени величины / однако необходимо знать, как эта величина должна быть распределена между р[ ) (остатком) и (разложением Гильберта). Стоит разрешить эту проблему, и начальные данные, соответствующие разложению Гильберта, будут известны пока же мы знаем только, что [c.135]

Полученные результаты показывают, что естественный подход, основанный на предположении (х, 0) == р% (х), по существу справедлив на уровне уравнений Эйлера и Навье — Стокса он неприменим на уровне уравнений Бар>нетта, статус которых, однако, не ясен, а практическая важность незначительна. Это означает, что разложение типа Гильберта корректным образом описывает начальный слой и не учитывает (обычно пренебрежимо малые) члены порядка 8 . [c.136]

Третья задача связи (ударный слой) была изучена только, с помощью аналогии с пограничными слоями (Пэн и Пробстин [15]). Решить эту задачу для разложения Гильберта с помощью кинетической теории трудно уже в нулевом приближении (задача [c.138]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...