Метод Краевая задача и ее вариационная формулировка

Различные приближенные аналитические методы связаны с вариационными формулировками и основываются на том, что существует тесная связь между вариационными проблемами и соответствующими краевыми задачами, выражаемая дифференциальными уравнениями Эйлера — Лагранжа. Эта взаимосвязь имеет большое значение для теории (см. гл. 4). Для краевой задачи всегда можно сформулировать соответствующую вариационную задачу и искать затем ее решение. При этом были развиты численные методы, чтобы решать вариационную задачу, не применяя дифференциальных уравнений Эйлера — Лагранжа, а посредством так называемых прямых методов вариационного исчисления. [c.129]

Метод конечных элементов используется также при расчете на жесткость несущих систем, узлов и отдельных деталей металлорежущих станков. В частности, пользуясь приведенной методикой, по уравнению (1) и краевым условиям у 0 = у (О О можно составить вариационную формулировку задачи расчета шпинделя на жесткость. Экстремалью в этой задаче будет являться упругая линия шпинделя у х). [c.144]

Замечание 1.2.5. В этой книге, вообще говоря, можно опустить все ссылки на соответствующие классические краевые задачи, так как метод конечных элементов основан только на вариационных формулировках. Наоборот, конечноразностные методы основываются, как правило, на классических формулировках. [c.41]

Укажем здесь на удачные модификации разностного метода, разработанные Саусвеллом [ ]. Далее, вариационные формулировки соответствующих краевых задач также могут быть использованы для построения приближенных решений (см. 67, 68). [c.92]

При исследовании и решении задач теории упругости широко применяются энергетические (вариационные) методы. В их основе лежит использование тех или иных энергетических теорем (вариационных принципов, а в задачах с краевыми условиями в форме альтернативных равенств и неравенств и вариационных неравенств). Подробное изложение энергетических теорем с анализом класса задач, для которых та или иная из них наиболее эффективна, содержится, например в [19, 90,93, 123, 134, 135, 138, 225]. В дальнейшем понадобится главным образом теорема о минимуме потенциальной энергии, а также теорема о минимуме дополнительной работы. Приведем необходимые определения и формулировки. [c.94]

Как было отмечено, вариационные методы являются надежным средством для вывода краевых условий. Одна из сложнейших задач в нелинейной теории — формулировка геометрических граничных условий в усилиях и моментах — успешно решена не без помощи вариационных уравнений К. 3. Галимовым (1958, 1960). [c.235]

Настоящая глава посвящена изложению одного из наиболее перспективных способов дискретизации непрерывных задач — методу конечных элементов. Метод будет сформулирован как обобщение матричных методов сил н перемещений строительной механики на случай континуальных систем. Преимущества такой формулировки — в очевидных возможностях обобщения на случай нелинейных и неконсервативных систем, недостаток —в завуали-рованности связи с традиционными вариационными методами — Ритца и Бубнова — Галеркина, а также в трудностях перенесения на краевые задачи немеханического происхождения. [c.130]

Способ Галеркина (1915). Для краевых задач, допускающих вариационную формулировку, в частности для задач теории упругости, этот приближенный способ интегрирования дифференциальных уравнений представляет упрощающее вычисление видоизменение метода Ритца. Приближение (2.3.1) [c.154]

В случае простейших объектов (пластинки, круговой цилиндрической и сферической оболочек) алгоритм степенного ряда может быть доведен до ИЗЯШ.НЫХ формул символического метода А, И. Лурье (1942, 1955) или до метода начальных функций В. 3. Власова (1955). Символический метод применен также для вывода упрош,енных уравнений динамики с малыми показателями изменяемости (У. К. Нигул, 1963) однако краевые условия к уравнениям равновесия толстых пластинок получены с использованием вариационной формулировки задачи (В. К. Прокопов, 1965). [c.262]

Теория пластичности находится в несколько особом положении. Это связано с тем, что постановка даже простейших задач, например, для вязконластической среды, приводит к краевым задачам для нелинейных уравнений в областях с неизвестными границами. Общие математические методы исследования таких задач возникли лишь в последние 15 лет. Здесь весьма плодотворными оказались метод вариационных неравенств [33, 34] и вариационный подход [35]. Вариационные неравенства охватывают несколько более широкий класс задач ло сравнению с задачами, описываемыми в рамках вариационного подхода. Однако в задачах, допускающих вариационную формулировку, теория вариационных неравенств, по существу не дает дополнительной информации. [c.7]

В главе I даются различные вариационные формулировки краевых задач для линейных дифференциальных уравнений. Это связано прежде всего с вариационной основой метода конечных элементов. Далее автор проводит дискретизацию вариационных задач и излагает схему мetoдa конечных элементов. [c.6]

В главе 1 описаны типичные линейные краевые задачи второго и четвертого порядка, указаны приемы перехода от классической, операторной постановки к обойденной вариационной формулировке, в том числе смешанной. Для однородности изложения рассматривался только один вариационный принцип — метод Бубнова—Галёркина. Большинство результатов переносится как на метод Ритца, так и на метод наименьших квадратов. [c.11]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...