Точные решения уравнений Навье—Стокса

Сборник объединяет работы, опубликованные автором в научных журналах в 1957-1998 гг. Предложены вариационные принципы газовой динамики без дополнительных ограничений и магнитной гидродинамики при бесконечной проводимости. Выведены полные системы законов сохранения газовой динамики и электромагнитной динамики совершенного газа. Дано аналитическое решение задач оптимизации формы тел, обтекаемых плоскопараллельным и осесимметричным потоками газа, а также формы сверхзвуковых сопел. Построены точные решения уравнений Навье—Стокса для стационарных течений несжимаемой жидкости, воспроизводящие вихревые кольца, пары колец, образования типа разрушения вихря , цепочки таких образований и др. [c.2]

Иначе дело обстоит с решением вариационных задач газовой динамики и с точными решениями уравнений Навье—Стокса. Эти результаты своеобразно и тесно переплетены с численными и экспериментальными исследованиями. Решение краевых задач при оптимизации формы тел в сверхзвуковом потоке газа первоначально проводилось численно, итерационным путем. Обращение в нуль одной из рассчитываемых функций подсказало путь аналитического решения и открыло путь к исследованию необходимых условий минимума и к получению новых решений. При использовании этих результатов для практики в потоках внутри сопел рассчитывался пограничный слой, а результирующая сила тяги была проверена на специальной опытной установке. Расхождение между расчетной силой тяги и ее экспериментальной величиной не превысило 0,1%. [c.5]

Ввиду невозможности получить точное решение уравнений Навье — Стокса и уравнения энергии для подавляющего большинства задач гидродинамики и газовой динамики прибегают либо к приближенным решениям, либо к экспериментам на моделях. В последнем случае возникает вопрос об условиях подобия для обтекания натурного объекта и его модели. [c.75]

К одному из простых частных случаев точного решения уравнений Навье — Стокса мы приходим в случае так называемых слоистых течений, когда сохраняется лишь одна составляющая скорости, а остальные две всюду равны нулю [c.86]

Формула (37) получена из точного решения уравнения Навье — Стокса для медленного течения несжимаемой жидкости, когда инерционными членами, стоящими в левой части уравнения, можно пренебречь граничным условием является равенство нулю скорости течения на поверхности сферы. [c.146]

Это обстоятельство позволило Гамелю и ряду других авторов в задаче о движении жидкости в угле между двумя плоскостями получить точные решения уравнений Навье — Стокса [c.118]

Это обстоятельство хорошо иллюстрировать на примере задачи о движении тела в несжимаемой жидкости. Легко видеть, что подробно изученные раньше поля скоростей и давлений, возникающие при решениях задач о потенциальном обтекании тел несжимаемой жидкостью, являются также точными решениями уравнений Навье — Стокса. Это очевидно непосредственно, так как для потенциальных движений несжимаемой жидкости верны равенства [c.253]

Примеры точных решений уравнений Навье — Стокса [c.145]

Рассмотренные примеры точных решений уравнений Навье — Стокса были получены для определенного класса течений, характерной чертой которых являлось равенство нулю нелинейных членов в левой части уравнения (2.47). [c.151]

Точное решение уравнений Навье — Стокса и уравнений пограничного слоя Прандтля аналогичны двумерной задаче плоского течения между двумя непараллельными стенками [3, 10, 14, 16, 23]. [c.164]

S.4. Некоторые точные решения уравнения Навье-Стокса [c.45]

В XIX в. было получено фактически только несколько точных решений уравнений Навье — Стокса для несжимаемой жидкости. Прежде всего — [c.69]

Хотя результаты, приведенные в этом пункте, строго говоря, не являются точным решением уравнений Навье — Стокса, они иллюстрируют применение двух точных решений, рассмотренных в предыдущем пункте. [c.206]

Одно из решений первой категории было приведено в связи с точными решениями уравнений Навье—Стокса. В этом и в последующих разделах будет рассмотрено по одному или по два характерных случая, относящихся к каждой из оставшихся трех категорий. Так как основное значение придается методологии, для рассмотрения выбраны только типичные случаи, иллюстрирующие метод и интересные с практической точки зрения. [c.222]

Прандтль принял, что безотрывное обтекание потоком твердой стенки позволяет считать весь поток, за исключением тонкого слоя у стенки, невязким. В пограничном слое силы вязкости имеют по меньшей мере тот же порядок, что и силы инерции, и именно в пограничном слое сконцентрировано тормозящее действие стенки. Существование такого слоя подтверждается экспериментом, а также незначительным количеством имеющихся точных решений уравнений Навье—Стокса при больших числах Рейнольдса, например в случае ламинарного потока на бесконечно большой пластине, рассмотренном в главе V. [c.283]

Класс течений, удовлетворяющих условию (75.1), охватывает лишь незначительную часть всех возможных течений вязкой жидкости, однако течения этого класса могут оказаться полезными для построения новых точных решений уравнений Навье — Стокса при помощи полуобратных методов ). Эти возможности еще относительно мало изучены. [c.247]

Последнее граничное условие (г), = 0) весьма затрудняет решение задач, относящихся к движению вязкой жидкости. Оно вносит гораздо большие осложнения, нежели добавочные члены в уравнениях Навье-Стокса. Можно думать, что именно вследствие трудностей, сопряженных с необходимостью удовлетворить это дополнительное граничное условие (которого нет в теории идеальной жидкости), мы имеем до сих пор чрезвычайно мало точных решений уравнений Навье-Стокса. [c.534]

На рис. 95 для случая Ве = 30, Х = 20 представлена зависимость от времени безразмерного трения Тгг = 9 (1, t)/Re и величины a t) = = 0 (О, )/Ве. Как видим, решение является периодическим с безразмерным периодом Т = 0,4. Нри дальнейшем увеличении Ие зависимость от времени усложняется. Такое поведение решения краевой задачи (41), (42) качественно напоминает поведение решений динамических систем, в частности систему Лоренца. Поэтому не исключено, что существует критическое число Рейнольдса Ве° ( ), при котором притягивающее множество нестационарных решений обретет черты странного аттрактора и решение станет стохастическим. К сожалению, исследование поведения решения нестационарной краевой задачи (41), (42) эволюционным путем с ростом Ве становится все более затруднительным, а наличие дополнительного параметра еще больше усложняет задачу. Поэтому возникновение стохастичности для точных решений уравнений Навье — Стокса, [c.250]

Неразрешимость краевой задачи (7), (10) в рамках принятых предположений означает неразрешимость полного уравнения конвективной теплопроводности (4) с полем скорости (1), (2), являющимся точным решением уравнений Навье — Стокса. Отсюда можпо было бы сделать выводы о том, что уравнение энергии и уравнения гидродинамики несовместимы Однако такой вывод является преждевременным, поскольку наши рассуждения существенно опирались на представление поля температуры в виде разложения по целым обратным степеням (5). В этой связи естественным является предположение о том, что парадокс неразрешимости связан с выбором разложения в виде (5), которое следует из условия аналитичности решений при В = >, тогда как для физически приемлемых решений достаточно их регулярности [46]. [c.263]

Рассмотрим плоскую стационарную задачу конвективной теплопроводности с полем скорости — О, отвечающим точечному источнику жидкости обильности Q, которое одновременно является точным решением уравнений Навье — Стокса для несжимаемой жидкости. Решение этой задачи, как для однородного, так и [c.268]

Основываясь на результатах Ландау (1.2) [86], получим точное решение уравнений Навье — Стокса в системе координат О (В, 0, ф) [c.313]

Интересно одно точное решение уравнений Навье — Стокса,, показывающее новые возможности получения гиперзвуковых потоков разреженного газа (В. Н. Гусев, 1968). Это — вязкое течение в сферическом стоке. Оказалось, что при определенных условиях течение переходит через звуковую линию и доходит до некоторой предельной сферы, на которой температура и давление стремятся к нулю, а скорость — к конечной величине. Вблизи этой поверхности число Маха и длина пробега стремятся к бесконечности. Течение можно представить создаваемым сферической криогенной панелью, совпадающей с предельной сферой. Строго говоря, вблизи предельной сферы уравнения Навье — Стокса теряют силу и необходим кинетический анализ течения. Известно, что при создании потоков разреженных газов с помощью сопел получению изэнтропического ядра препятствует быстрое нарастание пограничного слоя, обусловленное так называемой поперечной вязкостью. В течении от источника или стока проявляется продольная вязкость , связанная с диссипативными процессами, вызванными сильными продольными градиентами. Сравнение навье-стоксовского анализа для вязкого источника, вытекающего в вакуум (М. Д. Ладыженский, 1962), с соответствующим кинетическим решением ) показало, что уравнения Навье — Стокса завышают влияние диссипативных процессов. Возможно, что аналогичное положение имеет место и в данном случае. Ответ на этот вопрос должно дать решение уравнения Больцмана для этой задачи. [c.429]

Стабилизированное течение в расширяющихся и сужающихся каналах. Такое течение устанавливается в расширяющемся или сужающемся канале, присоединенном к длинному трубопроводу. Расчет его существенно упрощается в случае плоского или осесимметричного канала с прямыми стенками. Известно точное решение уравнений Навье — Стокса для плоского ламинарного течения внутри двугранного угла (Г. Гамель). Аналогичное решение соответствующей осесимметричной задачи (течение внутри конуса или между двумя конусами) было получено Н. А. Слезкиным (1935). [c.795]

Отыскание точных решений уравнений Навье — Стокса наталкивается в обш,ем случае на непреодолимые математические трудности. Эти трудности возникают прежде всего вследствие нелинейности уравнений Навье — Стокса, не допускающей применения принципа наложения, столь плодотворного при исследовании потенциальных течений невязкой жидкости. Тем не менее в некоторых частных случаях все же можно найти точные решения уравнений Навье — Стокса. Такими случаями являются главным образом те, в которых квадратичные члены сами собой исчезают. В настоящей главе мы рассмотрим некоторые точные решения и увидим, что большая часть этих решений в предельном случае очень малой вязкости имеет такой же характер, как течение в пограничном слое, т. е. в течениях, соответствующих этим решениям, действие трения проявляется только в тонком слое вблизи стенок. [c.86]

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА 1ГЛ. V [c.88]

Течение между двумя коаксиальными вращающимися цилиндрами. Следующим случаем, допускающим простое точное решение уравнений Навье — Стокса, является течение между двумя коаксиальными цилиндрами, вращающимися с различными, но постоян-, ными угловыми скоростями. Пусть Г1, и Г2 суть радиусы внутреннего и внешнего цилиндров, а со 1 и со2 — их угловые скорости. Поскольку рассматриваемое течение можно считать плоским, из системы уравнений Навье — Стокса в полярных координатах (3.36) остаются только первые два, которые, если окружную скорость обозначить через и, примут вид [c.90]

В дальнейщем в целях ориентировочного предварительного изучения общей задачи, содержащей вполне корректные предположения, в качестве основного течения рассматривается идеализированный случай так называемого плоского течения при наличии критической точки и исследуется его устойчивость. Это идеализированное течение описано точным решением уравнений Навье—Стокса для перпендикулярного обтекания бесконечной плоской стенки. Указанное течение можно аппроксимировать на реальное течение в окрестности передней критической точки цилиндра. Однако при этом следует иметь в виду появление известных вырождений задачи. В то же время нельзя получить критическое число Рейнольдса, если рассматривать только уравнение Навье — Стокса. Кроме того, при значительном удалении от критической точки и возрастании скорости состояние потока во всей массе жидкости можно считать состоянием как бы на бесконечности тогда возмущения, налагаемые на поток, оказывают относительно малое влияние. Таким образом, подобное предварительное исследование дает лишь качественное объяснение возникновения неустойчивости потока вблизи критической точки. [c.261]

Все изложенное относится к теории ламинарного пограничного слоя, которая находится во вполне удовлетворительном согласии с экспериментом и качественно подтверждается также имеющимися немногочисленными точными решениями уравнений Навье — Стокса. Однако на самом деле при повышении скоростей пограничный слой переходит в турбулентное состояние, что меняет весь режим течения (реальные струи, как правило, всегда турбулентны). Первоначально с этим явлением столкнулись в связи с экспериментальным исследованием коэффициента лобового сопротивления шара (Дж. Костанци, Л. Прандтль, Г. Эйфель). Оказалось, что при достижении чисел Рейнольдса порядка 10 дальнейшее увеличение числа Рейнольдса приводит к резкому падению коэффициента сопротивления шара примерно в два раза. Этому удивительному явлению дал объяснение Л. Прандтль Он показал, что при достижении указанных чисел Рейнольдса отрыв пограничного слоя вызывает его турбулизацию и последующее присоединение, что задерживает в целом отрыв потока от обтекаемого тела и тем самым резко снижает сопротивление ( кризис обтекания и сопротивления.) [c.298]

Sullivan [1959] построил точное решение уравнений Навье - Стокса в форме стационарного двухъячеистого вихря. Решение ищется в виде (3.79) и записывается как [c.166]

Точная автомодельность. Яиеев и Сквайр 35) существенно улучшили теорию Шлихтинга, получив точные решения уравнений Навье—Стокса при сохранении гипотезы подобия Шлихтинга (12.27). Их трактовку можно рассматривать как распространение на осесимметричный случай теории спиральных течений Джеффри — ГамеляЗ ) [7, гл. IV, 6] или [31, 24 и соответствующие ссылки]. Формулы Сквайра наиболее удобно вывести в сферических координатах. В этих координатах предположение (12.27) принимает вид [c.355]

Гольдштик М. А. Одии класс точных решений уравнений Навье— Стокса Ц Куря. прикл. мехапикн и техп. физики,— 1966,— № 2,— С, 106—109. [c.324]

Теория ламинарных движений вязкой жидкости уже в первой четверти двадцатого века достигла значительного совершенства. Были найдены разнообразные точные решения уравнений Навье — Стокса, разработаны методы приближенного интегрирования этих уравнений путем линеаризации при малых значениях числа Рейнольдса и разыскания асимптотических решений при больших значениях этого числа. К решениям наиболее трудных, атносящихся к средним значениям рейнольдсовых чисел задач исследователи приближались как со стороны малых, так и со стороны больших рейнольдсовых чисел. В первом случае шли по пути увеличения числа членов в разложениях по положительны у1 степеням рейнольдсова числа, являющегося в задачах этого рода характерным малым параметром, а в последнее время стали непосредственно пользоваться численными (машинными) методами интегрирования точных,, иногда несколько зшрощенных уравнений Навье — Стокса. Во втором случае, исходя из известного факта, что прандтлевы уравнения пограничного слоя являются лишь первым приближением в методе разложения решений уравнений Навье — Стокса по степеням величины, обратной корню квадратному из рейнольдсова числа, начали учитывать следующие члены разложения. Современному состоянию этой области динамики вязкой жидкости посвящены 2 и 3. [c.508]

Точные решения уравнений Навье — Стокса для плоской неизотермической задачи о движении вязкой жидкости и газа вокруг вращающегося цилиндра в безграничном пространстве и в полости между двумя вращающимися цилиндрами бесконечной длины были впервые даны Л. Г. Степанянцем (1953). Появление электронно-вычислительных машин открыло возможность численного изучения более сложных, неплоских движений вязкой жидкости между вращающимися цилиндрами. Из рабог этого вычислительного направления отметим исследования Н. П. Жидкова, А. А. Корнейчука, А. Л. Крылова и С. Б. Мосчинской (1962), в которых получено численное решение уравнений Навье — Стокса для случая когда движение вязкой жидкости зависит от расстояния до общей оси вращения цилиндров и от азимута, и А. Л. Крылова и Е. К. Произволо-вой (1963), где найдено решение аналогичной задачи, зависящее от того же расстояния и координаты, параллельной оси цилиндров. Л, А. Дорфман и Ю. Б. Романенко (1966) также численным методом рассмотрели движение в неподвижном стакане, доверху заполненном вязкой жидкостью приводимой в движение вращающейся крышкой, соприкасающейся с жидкостью. И в этом случае обнаружено наличие зон вторичных течений в виде замкнутых линий тока, расположенных в меридиональных плоскостях (рис. 1), [c.511]

Точные решения уравнений Навье — Стокса имеют в этой проблеме значительное преимущество перед соответствующими решениями в приближении пограничного слоя, так как они описывают движение во всей безграничной области течения и позволяют тем самым рассмотреть движение вязкой жидкости вокруг и вдали от струи (явление эжекции), в та время как решение пограничного слоя дает картину движения только в самой струе. В этом отношении особый интерес представляет полученное Л. М. Симуни (1966) точное решение уравнений Навье — Стокса дла бесконечного ряда плоских струй, бьющих из отверстий, равномерно рас-, положенных вдоль бесконечной прямой линии. Проведенное им для этого случая численное решение уравнений Навье — Стокса позволило получить полную картину движения вязкой жидкости во всей полуплоскости [c.515]

Рассмотренное ламинарное течение, взятое само по себе, является точным решением уравнений Навье — Стокса для любых значений с1р1с1ху и х, следовательно, и для любых значений гг, / , л. Однако в действительности оно имеет место только до тех пор, пока число Рейнольдса Ре = ггd/v (1 — диаметр трубы) остается ниже определенного значения, называемого критическим числом Рейнольдса, Согласно опытам критическое число Рейнольдса равно примерно [c.89]

В связи со сказанным отметим, что при нестационарном течении, возникающем при распаде вихревой нити под действием вязкости, также возможно точное решение уравнений Навье — Стокса. Как показали К. В. Озеен и Г. Хамель [ ], зависимость окружной скорости от радиуса г и времени 1 определяется при таком распаде формулой [c.91]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...