Вариационная задача о стационарном значении

На прямом пути удовлетворяются уравнения Лагранжа системы поэтому все выражения, стоящие в скобках под знаком интеграла в формуле (61), тождественно равны нулю. Отсюда сразу следует, что на прямом пути вариация действия по Гамильтону равна нулю, т. е. что прямой путь является экстремалью рассматриваемой вариационной задачи — на прямом пути действие по Гамильтону достигает стационарного значения. [c.279]

Подобно тому как статические задачи теории упругости допускают вариационную формулировку, решение динамической задачи может быть сведено к отысканию стационарного значения интеграла действия [c.432]

Как оказалось, в задачах сдвижении существенны лишь стационарные значения некоторых определенных интегралов. Поэтому имеется заметное различие между вариационным исчислением — ветвью чистой математики, с одной стороны, и его приложением к задачам механики—с другой. С точки зрения чистой математики задача о нахождении стационарных значений не представляет большого интереса. После установления критерия для стационарных точек идут дальше и ищут дополнительные критерии для истинных экстремумов. Для вариационных принципов механики, однако, эти последние исследования представляют интерес только при решении задач устойчивости, когда ищется дей-ЗВ [c.59]

Резюме. Метод неопределенных множителей Лагранжа сводит вариационную задачу с дополнительными условиями к свободной вариационной задаче. Функция F, для которой ищется стационарное значение, преобразуется путем прибавления левых частей дополнительных условий, каждая из которых умножается предварительно на некоторый неопределенный множитель К. Вариационная задача для преобразованной функции решается как свободная. Получающиеся условия стационарности вместе с имеющимися дополнительными условиями определяют искомые значения переменных и множители X. [c.70]

Вывод условий стационарности определенного интеграла методами вариационного исчисления. Рассмотрим еще раз задачу из п. 7, но на этот раз непосредственно методом вариационного исчисления. Пусть требуется найти стационарное значение некоторого определенного интеграла [c.80]

Дифференциальные уравнения Эйлера — Лагранжа в случае п степеней свободы. В механике приходится иметь дело с вариационными задачами следующего вида. Требуется найти стационарное значение определенного интеграла [c.83]

Вариационное исчисление и граничные условия. Задача об упругом стержне Во всех наших предыдущих рассуждениях мы интересовались в основном дифференциальными уравнениями, которые получались как решение задачи о стационарном значении заданного определенного интеграла. Вывод этих уравнений при помощи интегрирования по частям показывает, что вариация определенного интеграла состоит из двух частей из интеграла,распространенного на данный интервал, и граничного члена. Мы не рассматривали до сих пор этот член, так как задача решалась при граничных условиях, обращавших его в нуль. Однако имеются случаи, когда граничный член играет более активную роль. Ниже, при изучении работ Гамильтона по решению дифференциальных уравнений динамики при помощи уравнения в частных производных, мы увидим, что в математически более сложных вопросах механики этот ранее отброшенный член окажется существенным. Здесь, однако, мы хотим обсудить другой аспект вопроса о граничном члене, имеющий более непосредственный физический смысл. [c.92]

Замечательное свойство вариационных задач заключается в том, что в них всегда автоматически возникает нужное число граничных условий. Эти граничные условия, не обусловливаемые имеющимися внешними обстоятельствами, следуют из сути вариационной задачи. Для наличия стационарного значения эти дополнительные граничные условия существенны в такой же степени, как и выполнение дифференциальных уравнений Эйлера — Лагранжа. Появление этих дополнительных условий связано с граничным членом в Ы. Наложенные извне (внешние) и естественные граничные условия, вместе взятые, обеспечивают единственность решения. [c.93]

Это тождество следует рассматривать как дополнительное условие вариационной задачи, в которой ищется стационарное значение интеграла [c.323]

Наличие двойственной вариационной формулировки стационарной задачи теплопроводности на основе функционалов (2.48) и (2.50) позволяет получить интегральную оценку погрешности приближенного решения по разности [12] aJ = J(T) - J(T, q). Чем ближе приближенные распределения температуры Г и компонентов плотности теплового потока к истинным распределениям, тем ближе между собой значения J(T) и J(T, q) и меньше 52 [c.52]

Уравнение (3) есть уравнение Остроградского — Эйлера для вариационной задачи о стационарных значениях квадратичного функционала [c.168]

Когда полная система собственных функций неизвестна (п<М ) и они вместе с собственными значениями определены приближенно, бесконечные суммы в (4.3.44) и (4.3.45) заменяют конечными, состоящими из М слагаемых, каждое из которых может быть вычислено с некоторой погрешностью. Тогда (4.3.44) и (4.3.46) дают лишь приближенно аналитическое решение рассматриваемой задачи стационарной теплопроводности. Среднюю квадратическую погрешность такого решения можно оценить на основе вариационного подхода [27]. [c.207]

Обобщение задачи нахождения стационарных значений и экстремумов функции при нахождении стационарных значений и экстремумов определенных интегралов рассматривается в вариационном исчислении. Рассмотрим, например, определенный интеграл [c.382]

Однако при приближенном решении задачи значения А/ (Т) и jui неизвестны. Для достоверной оценки Z (Т) достаточно располагать приближенными значениями ДУ (Т) и [I l, причем должны выполняться условия AJ (Т) Д/ (Т) и < III. Значение ц[ обычно нетрудно получить из общих свойств собственных значений [9], а AJ (Т) можно найти на основе дополнительного вариационного принципа для задачи стационарной теплопроводности (1.65)—(1.67). Этот принцип приводит к выражению для встречного функционала по отношению к основному (1.88), имеющего с ним совпадающие экстремальные значения, но достигающего на истинном решении задачи не минимума, как основной функционал (1.88), а максимума. [c.29]

Методами взвешенных невязок удается решать и нелинейные задачи нестационарной теплопроводности, но при этом для определения Вп (t) в (4.48) получается система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, которую в общем случае приходится интегрировать численно. Таким образом, температурное поле в теле в фиксированный момент времени описывается аналитической зависимостью, но переход от одного момента времени к другому связан с определением значений (t) численным интегрированием. Переход к конечным интервалам времени позволяет использовать вариационную формулировку нелинейных задач [13], представляя анализ процесса нестационарной теплопроводности как последовательность решений ряда задач стационарной теплопроводности. [c.166]

Итак, предлагается следующая формулировка вариационной задачи статистической динамики найти совместную плотность вероятности фазовых переменных р (х) для стационарного режима, при которой функционал энтропии S принимает максимальное значение, а уравнение движения удовлетворяется в вероятностном смысле, т. е. выполняются соотношения относительно моментных функций. 5 [c.41]

Частная вариационная теорема. Уравнения Эйлера и естественные граничные условия задачи на условное стационарное значение частного функционала составляют вместе с дополнительными условиями полный комплекс уравнений и граничных условий данной теории. [c.32]

Возможность приближенного решения вариационной задачи определяется тем, что существует последовательность конечномерных задач на стационарное значение, размерность которых стремится к бесконечности н решения которых сходятся к решению исходной задачи. Существование такой последовательности связано с сепарабельностью (см. Приложение 1) пространства или, что эквивалентно, с наличием в нем счетной базы. [c.173]

Различные методы получения энергетических оценок погрешности и их трактовка с точки зрения теории преобразования вариационных проблем. Будем считать, что имеется приближенное решение вариационной задачи на основе одного из экстремальных (для определенности — минимальных) функционалов. Для энергетической оценки погрешности нужно [0.11] построить максимальный функционал Э р), имеющий то же стационарное значение, что и данный Э и), решить приближенно вариационную задачу для построенного функционала и вычислить его значение. Разность [c.198]

Вариационное исчисление является разделом математики, в котором изучается свойство стационарности функции от функций, т. е. функционала. Таким образом, цель вариационного исчисления состоит не в отыскании экстремума функции конечного числа переменных, а в нахождении среди множества допустимых функций такой, которая придает заданному функционалу стационарное значение ). Широко известным примером является нахождение среди допустимых кривых, соединяющих две точки в заданном пространстве, такой кривой, на которой расстояние между этими точками будет минимальным. Другой типичный пример — задача отыскания кривой минимальной длины, охватывающей заданную площадь. [c.15]

Вариационное исчисление имеет обширную область приложений в математической физике благодаря тому, что физическая система часто ведет себя таким образом, что некоторый функционал, зависящий от ее поведения, принимает стационарное значение. Иначе говоря, уравнения, описывающие физические явления, часто являются условиями стационарности некоторой вариационной задачи. Типичным примером является принцип Ферма в оптике. Он состоит в том, что луч света между двумя точками проходит по пути, который Требует наименьшего времени. Отсюда непосредственно следует вывод, что в любой однородной среде свет распространяется по прямой. [c.15]

Уравнения равновесия и статические граничные условия в (3.9) при выполнении кинематических связей и определяющих соотношений (четвертая и пятая формулы (3.9)) соответствуют вариационному уравнению (3.22). Стационарное значение функционала дается формулой (3.21). Это значение минимально при выполнении достаточного критерия единственности решения задачи (3.9). Отметим, что функционалы (3.19) и (3.23) эквивалентны вследствие связи потенциальных функций (2.38). [c.118]

Рассматриваемая задача может быть сформулирована и в виде вариационного принципа. Оказывается, что из множества функций Ф, подчиняющихся на границе области Г условию (2.162), подчиняться, кроме того, и уравнению (2.152) будет та, которая придает стационарное значение функционалу [c.133]

Поскольку минимальное значение является, вообще говоря, и стационарным, рассмотренной экстремальной отвечает и вариационная задача определить стационарное значение выражения [c.260]

Величина АЭ определяется формой функции v x) и математически является функционалом. Для решения вопроса об устойчивости состояния необходимо рассмотреть всевозможные формы v x), т.е. всевозможные смежные (возмущенные) состояния стойки. Ясно, что АЭ больше нуля, когда больше нуля его минимальное значение. Так как минимум необходимо искать на множестве всевозможных функций г (ж), то мы приходим к стандартной задаче вариационного исчисления о поиске стационарного значения функционала АЭ, которая сводится к условию (5(АЭ) = О, где означает вариацию. [c.386]

Действительно, из принципа взаимности вариационных задач на условный экстремум следует, что экстремали в задаче на минимум функционала (27) при фиксированном времени движения совпадают с экстремалями задачи на минимальное время движения при фиксированном (или стационарном) действии I (27). Поэтому из (29) непосредственно получаем, что стационарному значению действия I соответствует стационарное значение функционала быстродействия. Таким образом, движение с ударами, имеющими потенциал ударных импульсов, в случае обобщённо-консервативных систем имеет аналогию с оптическим принципом Ферма. [c.141]

Таким образом, каждой задаче рассматриваемого класса соответствует некоторая функция Лагранжа L(q, д, а траекториями движения являются кривые в на которых интеграл действия по Гамильтону (функционал) принимает стационарное значение по сравнению с близкими кривыми. В вариационном исчислении такие кривые называются экстремалями функционала. Это не произвольные кривые в они описываются уравнениями (6). [c.224]

Возникает вопрос, можно ли принцип Гамильтона—Остро-градского при наличии неголономных связей трактовать как связанную задачу вариационного исчисления — изопериметрическую задачу Лагранжа о разыскании стационарного значения функционала ) [c.669]

Идея переменных параметров упругости оказывается полезной и при применении вариационных принципов типа Лагранжа или Кастильяно (Л. М. Качанов). Вместо того чтобы отыскивать стационарные значения сложного неквадратичного функционала, рассматривается последовательность квадратичных потенциалов того же типа, что и для соответствующих задач теории упругости с переменным модулем. Каждый из функционалов [c.134]

После того как определены две указанные характеристики процесса, решение задачи оптимального управления сводится к определению значений выходных параметров, которые оптимизируют целевую функцию. При решении этой задачи можно использовать различные методы оптимизации, применяемые для задач стационарного оптимального управления. Эти методы включают дифференциальное исчисление, линейное и динамическое программирование, вариационное исчисление [13]. Все указанные математические методы применимы к рассмотренному классу задач в стационарных системах оптимального управления. [c.441]

В этом разделе изложим некоторые наиболее простые результаты вариационного исчисления. Здесь рассматриваются непрерывные (интегральные или дифференциальные) формулировки этих результатов, перенос на дискретный случай будет осуществлен в последующих разделах. Рассмотрим сначала одномерную задачу, описываемую единственной независимой переменной А(д ), где х — пространственная координата. Основной задачей вариационного исчисления является определение величины А (л ), которая доставляет стационарное значение интегралу [c.160]

В простых динамических задачах вариационный принцип непосредственно следует из принципа Лагранжа. Ищется стационарное значение интеграла [c.357]

В гл. 3 было показано, что задачи теории упругости допускают как дифференциальную формулировку, так и вариационную об отыскании таких функций, которые сообщают некоторому функционалу Э стационарное значение, когда вариация ЬЭ = 0. В связи с применением ЭВМ в решении сложных задач прикладной теории упругости в последние два-три десятилетия было установлено, что конечно-разностные аппроксимации во многих случаях предпочтительнее сочетать именно с вариационной постановкой задачи. Это позволяет удобно алгоритмизировать все этапы расчета, избежать вывода дифференциальных уравнений в сложных случаях, упрощает формула ровку граничных условий [1,5]. [c.247]

Резюме. Решение дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений не единственно, если не добавлено нужное количество граничных условий. Задачи, связанные с нахождением стационарного значения определенного интеграла, всегда имеют нужное число граничных условий. Если условия задачи не дают достаточного количества граничных условий, то недостаюш,ие условия получаются из самой вариационной задачи, потому что граничный член в вариации б/ добавляет некоторые естественные условия к имеющимся условиям, наложенным извне . Задача об упругом стержне с различными способами закрепления концов прекрасно иллюстрирует это положение. [c.96]

Введение. Мы подошли, наконец, к типичным вариационным принципам , в которых рассматривается минимум или, точнее, стационарное значение некоторого определенного интеграла. Полиген-ный характер силы инерции можно обойти при помощи интегрирования по времени. В результате такого подхода задача динамики сводится к исследованию некоторого скалярного интеграла. Из условия стационарности этого интеграла получаются все уравнения движения. [c.136]

Метод Рэлея—Ритца является универсальным методом приближенного решения основной задачи вариационного исчисления — задачи определения экстремумов или стационарных значений функционалов. Сущность этого метода состоит в замене задачи поиска стационарных значений функционалов принципиально более простой задачей поиска стационарных значений функций нескольких переменных. [c.64]

В общем случае оба основных вариационных принципа носят статико-геометрический характер, т.е. справедливы при любых свойствах материала тела. Каждый вариадаонный принцип утверждает, что для некоторого класса задач, если заданы условия задачи, из всех мыслимых состояний (процессов), совместимых с этими ушювиями, в действительности реализуется такое состояние (процесс), которое придает опреде-.тенному, характерному для этого принципа и класса задач, функционалу стационарное значение. [c.41]

Л.М. Куршин [9] рассмотрел задачу об определении формы сечения призматического стержня, имеющего максимальную крутильную жесткость при заданной площади сечения. Задача сформулирована как вариационная задача о стационарном значении функционала в области с подвижной границей при дополнительном условии. В работе [10] Л.М. Куршин и П.Н. Оноприенко рассмотрели задачу нахождения формы поперечного сечения призматического стержня с призматической продольной полостью заданной формы, работающего на кручение, из условия, чтобы при заданной площади поперечного сечения жесткость кручения была бы наибольшей. Приведены расчеты очертаний сечений при отверстиях различной формы. Задачи оптимизации границ исследовал Н.В. Баничук [11,12] в связи с определением форм скручиваемых стержней, обладающих максимальной крутильной жесткостью. [c.193]

Аналогично мы поступаем в геометрии — средством определения объекта может явиться задание его дифференциальных свойств, описываемых соответствующими дифференциальными уравнениями, а может служить и некоторое вариационное требование. Так, геодезическая линия определяется как кривая на поверхности, главная нормаль в точках которой сонаправлена с нормалью поверхности и это немедленно приводит к записи дифференциальных уравнений геодезических линий но последнюю можно полностью определить как кривую, дающую кратчайшее расстояние между двумя достаточно близкими точками на поверхности. Требование, чтобы интеграл, определяющий длину линии на поверхности, имел стационарное значение, является гариационной формулировкой задачи о геодезических. [c.642]

Согласно методу Ритца, Л -тое приближение и для и, определяющего решения некоторой вариационной задачи (например, отыскание стационарного значения функционала (2.221)), ищется в виде [c.452]

Одпако при рассмотрении уравнений полей, содержащих, как правило, четыре или большее число независимых переменных х, у, г, I. .., практически невозможно воспользоваться тем, что решение является стационарным значением некоторых интегралов, так как само решепие дифференциальных уравнений в частных производных представляет больпше трудности. В этих случаях использование вариационного принципа дает преимущество лишь при выводе законов сохранения, в частности закона сохранения энергии. Другое дело, если решаются задачи с одной независимой неремеппой (время в механике или длина луча в геометрической оптике). В этом случае имеют дело с обыкновенными дифференциальными уравнениями, и оказывается, что примененне вариационного принципа существенно упрощает исследование решения задачи. Фактически такой подход является непосредственным обобщением обычной геометрической оптики. В своем современном виде оп разработан главным образом Д. Гильбертом, и рассуждения, изложенные выше, базируются на материалах его неопубликованных лекций, прочитанных в Геттингене примерно в 1903 г. Здесь приводится теория лишь для трехмерного пространства х, у, г), однако ее легко обобщить на многомерный случай. [c.663]

Это соотношение иногда называется вариационным функционалом Швиигера и обозначается Н. В данном же рассмотрении используется символ чтобы подчеркнуть эквивалентность этого выражения функционалу У. Как и для У, формально погрешность Jg имеет величину порядка бФ+бФ. Используя для Ф1 иФГ пробные функции, можно получить стационарное значение функционала Js. Оно оказывается хорошим приближением к точному значению Уо и, следовательно, как и раньше, к произведению ((3+,Фо).Были исследованы функционал в уравнении (6.М) и некоторые другие [21]. В некоторых односкоростных задачах можно получить как верхний, так и нижний предел функционала Js [22]. [c.231]

Кроме задачи Коши (когда по состоянию системы в заданный момент времени надо найти движение), в механике важное значение имеет краевая задача найти движение 1 х 1), которое в заданные моменты времени о и Ь принимает заданные значения жо и Ж1. В отличие от задачи Коши, краевая задача разрешима не всегда. Наиболее эффективным методом доказательства ее разрешимости является вариационный метод среди кривых с закрепленными концами ищется стационарное значение (обычно минимум) действия по Гамильтону. Например, в отсутствие внешних сил (тогда траектории будут геодезическими метрики на М, определяемой кинетической энергией) краевая задача имеет решение, если все движения нестеснены, т. е. определены на всей оси времени (теорема Хопфа—Ринова). Эти две задачи имеют еще одно существенное отличие краевая задача может иметь несколько различных решений. Простейшим примером служат навесные и настильные траектории снарядов. Более сложный пример доставляет теорема Серра любые две точки компактного риманова многообразия можно соединить бесконечным числом различных геодезических. Единственности решения краевой задачи препятствуют сопряженные точки, где пересекаются бесконечно близкие траектории, выходящие из одной точки. [c.72]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...