Экстремум безусловный

Задачи, в которых экстремум ищут в пределах неограниченного пространства переменных проектирования, относятся к задачам б е з у с л о в и о й оптимизации. Найденные при этом экстремумы называют безусловными. Наличие ограничений любого вида приводит к задачам условной оптимизации, решение которых дает условный экстремум. [c.277]

Рассмотрим необходимые и достаточные условия экстремума. Классические методы оптимизации используют тогда, когда известно аналитическое выражение функции Р (X) и известно, что она по крайней мере дважды дифференцируема по переменным проектирования. Тогда для определения экстремума используют необходимые и достаточные условия безусловного экстремума. Эти условия легко получить с помощью разложения f (X) в окрестностях экстремальной точки X в ряд Тейлора [c.278]

Методы поиска экстремума классифицируются по следующим признакам в зависимости от характера экстремума существуют методы условной и безусловной, локальной и глобальной оптимизации по числу переменных проектирования различают методы одномерного и многомерного поиска, а по характеру информации о виде целевой функции — методы нулевого, первого и второго порядков, причем в методах первого порядка используют градиент целевой функции, поэтому эти методы называются градиентными, в методах второго порядка применяют вторые производные, а в методах нулевого порядка производные не используют. [c.281]

Если допустимое множество Dz включает все точки р-мерного пространства Z, ...,Zp, т. е. отсутствуют ограничения Я/, то абсолютные и относительные максимумы и минимумы являются безусловными. В подобных случаях максимумы и минимумы называются также экстремумами. Если же имеются ограничения Hj, что обычно соответствует практическим задачам проектирования, то максимумы и минимумы могут быть условными. Условность заключается в том, что множества Dz или Ьг° могут не включать все точки даже малой окрестности г. [c.79]

Методы нелинейного программирования, а) При отсутствии ограничений. Общая задача, решаемая в данном случае, представляет частный случай задачи Д, когда ограничения Wj отсутствуют, а допустимое множество точек Ог совпадает с полным множеством точек р-мерного пространства параметров Z,,. .., zp, в котором определяется целевая функция Но, т. е. когда минимумы (максимумы) являются безусловными и совпадают с экстремумами. [c.241]

Я , Яс. Поскольку условный экстремум функции U п безусловный экстремум функции L совпадают, из (17.14) следует, что при равновесии [c.149]

Теорема 8.11.3 обосновывает метод множителей Лагранжа для изопериметрических задач (сравните с замечанием 4.6.2). Рецепт решения задач по этому методу состоит в том, что ищется безусловный экстремум функционала Ф -I- АФ. Его экстремаль 7 будет зависеть от скалярного параметра А. Параметр А находится из условия, что Ф(7 ) = с. [c.605]

При описании комплексной целевой функции нелинейными зависимостями от внутренних параметров задача оптимизации решается методами линейного программирования если же целевая функция является линейной функцией от внутренних параметров, то имеет место задача линейного программирования. В общем случае целевая функция может иметь несколько экстремумов, отличающихся по абсолютной величине. В зависимости от типа экстремума, в котором заканчивается поиск оптимального решения, различают методы поиска локального и глобального экстремума. Если на значение определяемых параметров наложены некоторые ограничения, то решение задачи синтеза механизмов осуществляется методами условной оптимизации. В противном случае (при отсутствии ограничений) при синтезе механизмов для поиска значений определяемых параметров используют методы безусловной оптимизации. [c.316]

Среди методов поиска локального экстремума методы безусловной оптимизации составляют наиболее многочисленную группу. Сущность этих методов заключается в том, что строится такая последовательность значений вектора внутренних параметров х , Хц Х.2, при которой в случае поиска минимума целевой функции в [c.316]

В этом случае возникает задача об отыскании условного экстремума величины Ov. Для этого достаточно найти безусловный экстремум функции [c.46]

Найдем площадки, на которых касательное напряжение Tv принимает экстремальные значения. Ориентация каждой площадки характеризуется единичным вектором нормали v, определяемым формулой (2.3) и условием (2.18). В этом случае в соответствии с методом неопределенных множителей Лагранжа достаточно найти безусловный экстремум функции [c.49]

Эта задача на условный экстремум сводится к задаче о нахождении безусловного экстремума функции [c.287]

Кроме рассмотренных задач на безусловный экстремум для функционалов, возможны задачи на условный экстремум. В таких задачах функции, от которых зависят исследуемые функционалы, связаны некоторыми дополнительными условиями. [c.306]

Пределы и должны отражать пределы технически возможного достижения параметров. Нахождение значений параметров внутри допустимого диапазона [fe,- ] позволяет использовать метод определения безусловного экстремума. [c.43]

Решение задачи связано с нахождением условного экстремума. Для нахождения безусловного экстремума задачу необходимо преобразовать так, чтобы она стала задачей на безусловный минимум. Одним из способов преобразования задачи является метод неопределенных множителей Лагранжа. [c.44]

Составляющие систему (25) уравнения выражают необходимые условия безусловного экстремума более сложной функции [c.45]

Преобразование задачи на условный экстремум в задачи на безусловный может осуществляться и другими способами, выбор которых зависит от сложности и трудоемкости вычислений. [c.45]

Решение задачи связано с нахождением условного экстремума. Для нахождения безусловного экстремума задачу необходимо преобразовать так, чтобы она стала задачей на безусловный минимум. Это преобразование может осуществляться различными способами, выбор которых зависит от сложности и трудоемкости вычислений. Одним из эффективных способов является метод неопределенных множителей Лагранжа. Практические приемы преобразования и методы оптимизации решений достаточно подробно освещены в работах [21, 66]. [c.85]

Нахождение минимума Ф (Z , Х ) = О сводится к задаче на безусловный экстремум и решается с помощью метода наименьших квадратов по программе СПУСК, работа которой организована следующим образом. [c.85]

В аналитических расчетах по оптимизации теплоэнергетических установок функционалы и ограничения упрощаются с целью получения относительно несложных аналитических зависимостей с ограниченным количеством переменных, что позволяет использовать классические методы исследования функций на экстремум — получение аналитических выражений производных по оптимизируемым переменным и приравнивание производных нулю, т. е. удовлетворение необходимых условий экстремума. Такой подход позволяет лишь получить безусловный экстремум при непрерывных переменных. [c.57]

Для решения ряда задач условного экстремума можно перейти к вышерассмотренной задаче безусловного экстремума, вводя штрафные функции 11, 2,..., значения которых равны нулю внутри допустимой области изменения переменных или на границе и достаточно велики при выходе за границу области. [c.58]

В этом случае определяется безусловный экстремум функции [c.58]

По теореме Рауса стационарные вращения определяются через экстремальные значения измененной потенциальной энергии. Экстремум функции W рассматривается на многообразии, задаваемом тривиальным соотношением на направляющие косинусы Г = Yi + 7г + 7з — 1 = О- Поэтому, перейдя от функции W к функции Wo = PF + 7Г/2, будем искать безусловный экстремум функции W [c.23]

Метод Ньютона основан на использовании необходимых условий безусловного экстремума целевой функции ДХ) [c.164]

Известно, что задача нахождения условного экстремума, например минимизация В при ограничении Л Л , сводится к нахождению безусловного экстремума путем введения обобщенного критерия вида [c.287]

Таким образом, включением ограничений в критерий эффективности задача оптимизации сводится к задаче на безусловный экстремум требуется определить [c.308]

С введением критерия (86) задача на условный экстремум сводится к задаче на безусловный экстремум. [c.311]

Во-вторых, можно использовать способ, основанный на исключении дисперсии оо из выражения S путем решения дополнительного уравнения (3.26). При этом мы приходим к задаче на безусловный экстремум. [c.64]

Исключая из (3.41) дисперсию al при помощи уравнения (3.40), приходим к задаче на безусловный экстремум функции (3.41) по ft. Результаты расчетов показывают, что ряд (3.39) является знакопеременным. При нечетном числе членов ряда обеспечивается быстрая сходимость к точному значению дисперсии и точному закону распределения. [c.68]

Заметим, что при использовании общих решений задача на условный экстремум заменяется вспомогательной задачей на безусловный экстремум, в отличие от метода множителей Лагранжа, в котором, вообще говоря, можно утверждать лишь наличие точки стационарности у вспомогательного функционала (см. гл. 2, 3). [c.22]

Применение функционала (21) основано на теореме существует такой элемент Я,° е Ф, что решение и° задачи на условный экстремум функционала (1.1) при ограничениях (1.3) (или, в более общем случае, точка ы° условной стационарности) совпадает с безусловной точкой стационарности по и функционала Fn u,%°). Значения и° и Я,° определяются уравнениями [c.23]

Существенно отличается подход к решению задач с единственным и несколькими экстремумами. Во втором случае обычно требуется найти главный из них (так называемый глобальный). Наличие или отсутствие ограничений на искомые переменные относит задачу к области условной или безусловной оптимизации. В свою очередь линейность целевой функции или ограничений обуславливает использование методов линейного или нелинейного программирования. При постановке задачи существенное значение имеет то, что исходная информация не полностью определена и характеризуется определенными вероятностными свойствами. Такую задачу следует решать методами стохастического программирования. Наконец, подход к решению оптимизационной задачи значительно изменяется, если целевая функция приобретает не скалярный, а векторный вид. Тогда возникает необходимость оптимизации по нескольким независящим критериям. После этой краткой общей классификации остановимся более подробно на типах оптимизационных задач, наиболее подходящих для разработки приборов квантовой электроники. К таким задачам прежде всего относятся задачи параметрической оптимизации. [c.121]

Задача (3.9), (3.10) эквивалентна задаче отыскания безусловного экстремума функционала [c.204]

Вообщ,е задачи условной оптимизации более сложны, чем задачи безусловной оптимизации. Для их решения используют специально разработанные методы программирования с ограничениями. Одним из таких методов, которые относятся к методам поиска глобального экстремума, является метод сканирования, состоящий в том, что допустимая область поиска, определяемая системой ограничений, разбивается на к подобластей, в центре каждой из которых определяется значение целевой функции. Если целевая функция зависит от п параметров, необходимо выполнить вариантов расчета. Для надежного определения глобального минимума необходимо увеличивать число к подобластей, что приводит к большим затратам машинного времени. [c.319]

В зависимости от характера экст ремума различают методы условной и безусловной, а также локальной и оощей оптимизации. Наиболее удобно и просто реализовать на ЭВМ методы поиска безусловных локальных экстремумов. [c.30]

Из формул (3.8) видно, что значения а . и Xv зависят не только от Ог, но и от ориентации площадки, т. е. они являются функциями параметра а. При этом безусловно убывает с ростом угла а от П дп я./2, тогда как т., обращается в нули при а = О и а = л/2. Следовательно, в интервале 0<а<п/2 напряжение Tv принимает экстремальное значение. Необходимое условие экстремума (Tv)a = О, т. е. os 2а = 0. Корни этого уравнения а = я/4 rizkn, k = О, 1, 2,. ... Нас интересуют главные значения j = = я/4, 2 = —я/4, из которых следует, что касательные напряжения достигают наибольших значений на площадках, составляющих угол я/4 с осью продольно нагруженного стержня [c.56]

Ф. А. Слудский получил уравнение движения для системы материальных точек, рассматривая полную вариацию интеграла действия. Вычисление условного экстремума интеграла действия Слудский сводит к вычислению безусловного экстремума по способу неопределенных множителей Лагранжа, причем неопределенный множитель А определяет по способу Родригеса с помощью уравнений, относящихся к пределам интеграла. [c.834]

Пределы й,- и ki отражают пределы возможных изменений параметров техники. Нахождения численных значешй параметров в допустимом диапазоне ki ki г ) позволяет использовать метод определения безусловного экстремума . [c.83]

Если значение функции в новой точке больше предыдущего, то коэффициент пропорциональности к делится пополам и по направлению антиградиента находится новая точка. Этот процесс повторяется до тех пор, пока значение функции во вновь найденной точке не будет меньше, чем в исходной. Если в результате деления к станет меньше /1т1п=Ю , поиск считается законченным и условный экстремум достигнутым. При достижении безусловного экстремума останов осуществляется при выполнении неравенства [c.209]

Задача оптимизации сложной теплоэнергетической установки является многоэкстремальной, имеющей ряд локальных экстремумов. Для поиска среди них глобального экстремума используются комбинации методов случайного поиска с методами направленного поиска. По существу это заключается в том, что спуск производится из разных подобластей с последующим анализом кривых, соединяющих экстремальные и особые точки. Наличие ограничений превращает задачу поиска безусловного экстремума в задачу условного экстремума (возможность нахождения условного экстремума на границе). [c.58]

При численной реализации изопериметрической постановки вариационных задач на ЭВМ могут возникнуть трудности с определением стратегии поиска экстремума вспомогательного функционала (2.1.55), так как характер экстремума (максимум или минимум) последнего не всегда совпадает с типом экстремума целевого функционала Int. В таком случае удобно применять один из проекционных методов, например В.Рища (п. П2.4), и использовать один или несколько коэффициентов разложения экстремалей целевого функционала по координатным функциям для безусловного выполнения ограничений, накладываемых на экстремали целевого функционала. Тогда численная реализация на ЭВМ решаемой задачи сведется к поиску экстремума целевого функционала с учетом всех ограничений. [c.193]

Простейшей задачей нелинейного программирования является однопараметрическая задача на безусловный экстремум. Кроме того, предполагается, что в области определения целевой функции имеется всего один экстремум. Однопараметрические одноэкстремальные целевые функции получили название унимодальных функций. К таким задачам относится задача расчета оптимального межопорного расстояния шпинделя станка [125]. Наиболее распространенными методами оптимизации унимодельных целевых функций являются методы последовательного сокраш,е-ния интервала неопределенности [91. [c.205]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...